बच्चों के लिए ज्वरनाशक दवाएं बाल रोग विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित की जाती हैं। लेकिन बुखार के साथ आपातकालीन स्थितियाँ होती हैं जब बच्चे को तुरंत दवा देने की आवश्यकता होती है। तब माता-पिता जिम्मेदारी लेते हैं और ज्वरनाशक दवाओं का उपयोग करते हैं। शिशुओं को क्या देने की अनुमति है? आप बड़े बच्चों में तापमान कैसे कम कर सकते हैं? कौन सी दवाएँ सबसे सुरक्षित हैं?
हम केवल कॉची समस्या के समाधान पर विचार करते हैं। विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली या एक समीकरण को रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए
कहाँ 
,
–एन-आयामी वैक्टर; य– अज्ञात वेक्टर फ़ंक्शन; एक्स– स्वतंत्र तर्क, 
. विशेषकर, यदि एन= 1, तो सिस्टम एक अंतर समीकरण में बदल जाता है। प्रारंभिक शर्तें इस प्रकार निर्धारित की गई हैं: 
, कहाँ 
.
अगर 
एक बिंदु के आसपास 
निरंतर है और इसके संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं य, तो अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय गारंटी देता है कि केवल एक सतत वेक्टर फ़ंक्शन है 
, में परिभाषित किया गया है कुछएक बिंदु का पड़ोस 
, संतोषजनक समीकरण (7) और स्थिति 
.
आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि बिंदु का पड़ोस 
, जहां समाधान निर्धारित है, बहुत छोटा हो सकता है। इस पड़ोस की सीमा के करीब पहुंचने पर, समाधान अनंत तक जा सकता है, असीम रूप से बढ़ती आवृत्ति के साथ दोलन कर सकता है, सामान्य तौर पर इतना खराब व्यवहार कर सकता है कि इसे पड़ोस की सीमा से परे जारी नहीं रखा जा सकता है। तदनुसार, ऐसे समाधान को बड़े खंड पर संख्यात्मक तरीकों से ट्रैक नहीं किया जा सकता है, यदि कोई समस्या विवरण में निर्दिष्ट है।
कॉची समस्या का समाधान [ ए; बी] एक फ़ंक्शन है. संख्यात्मक तरीकों में, फ़ंक्शन को एक तालिका (तालिका 1) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
तालिका नंबर एक
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यहाँ 
,
. आसन्न तालिका नोड्स के बीच की दूरी आमतौर पर स्थिर मानी जाती है: 
,
.
परिवर्तनीय चरणों वाली तालिकाएँ हैं। तालिका चरण इंजीनियरिंग समस्या की आवश्यकताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है और जुड़े नहीं हैंसमाधान खोजने की सटीकता के साथ.
अगर यएक वेक्टर है, तो समाधान मानों की तालिका एक तालिका का रूप ले लेगी। 2.
तालिका 2
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MATHCAD प्रणाली में, एक तालिका के बजाय एक मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है, और इसे निर्दिष्ट तालिका के संबंध में स्थानांतरित किया जाता है।
कॉची समस्या को सटीकता से हल करें ε
निर्दिष्ट तालिका में मान प्राप्त करना है 
(संख्या या वेक्टर), 
, ऐसा है कि 
, कहाँ 
- सटीक समाधान. यह संभव है कि समस्या में निर्दिष्ट खंड का समाधान जारी न रहे। फिर आपको यह उत्तर देने की आवश्यकता है कि समस्या को पूरे खंड पर हल नहीं किया जा सकता है, और आपको उस खंड पर समाधान प्राप्त करने की आवश्यकता है जहां यह मौजूद है, इस खंड को जितना संभव हो उतना बड़ा बनाना।
यह याद रखना चाहिए कि सटीक समाधान 
हम नहीं जानते (अन्यथा संख्यात्मक विधि का उपयोग क्यों करें?)। श्रेणी 
किसी अन्य आधार पर उचित ठहराया जाना चाहिए। एक नियम के रूप में, 100% गारंटी प्राप्त करना संभव नहीं है कि मूल्यांकन किया जा रहा है। इसलिए, मूल्य का अनुमान लगाने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है 
, जो अधिकांश इंजीनियरिंग कार्यों में कारगर साबित होते हैं।
कॉची समस्या को हल करने का सामान्य सिद्धांत इस प्रकार है। रेखा खंड [ ए;
बी] को एकीकरण नोड्स द्वारा कई खंडों में विभाजित किया गया है। नोड्स की संख्या कनोड्स की संख्या से मेल खाना जरूरी नहीं है एमनिर्णय मूल्यों की अंतिम तालिका (तालिका 1, 2)। आम तौर पर, क > एम. सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि नोड्स के बीच की दूरी स्थिर है, 
;एचएकीकरण कदम कहा जाता है. फिर, कुछ एल्गोरिदम के अनुसार, मूल्यों को जानना 
पर मैं < एस, मूल्य की गणना करें 
. कदम उतना ही छोटा एच, मान उतना ही कम होगा 
सटीक समाधान के मूल्य से भिन्न होगा 
. कदम एचइस विभाजन में पहले से ही इंजीनियरिंग समस्या की आवश्यकताओं से नहीं, बल्कि कॉची समस्या को हल करने की आवश्यक सटीकता से निर्धारित किया गया है। इसके अलावा, इसे चुना जाना चाहिए ताकि एक चरण में तालिका हो। 1, 2 चरणों की पूर्णांक संख्या में फ़िट होते हैं एच. इस मामले में मान य, चरणों के साथ गणना के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया एचबिंदुओं पर 
, तालिका के अनुसार उपयोग किया जाता है। 1 ओर 2।
समीकरण (7) के लिए कॉची समस्या को हल करने के लिए सबसे सरल एल्गोरिदम यूलर विधि है। गणना सूत्र है:
(8)
आइए देखें कि पाए गए समाधान की सटीकता का आकलन कैसे किया जाता है। चलिए ऐसा दिखावा करते हैं 
कॉची समस्या का सटीक समाधान है, और वह भी 
, हालाँकि लगभग हमेशा ऐसा नहीं होता है। फिर स्थिरांक कहां है सीकार्य पर निर्भर करता है 
एक बिंदु के आसपास 
. इस प्रकार, एकीकरण के एक चरण (समाधान खोजने) पर हमें क्रम की त्रुटि मिलती है 
. क्योंकि कदम तो उठाने ही होंगे 
, तो यह उम्मीद करना स्वाभाविक है कि अंतिम बिंदु पर पूर्ण त्रुटि होगी 
सब कुछ ठीक हो जाएगा 
, अर्थात। आदेश एच. इसलिए, यूलर की विधि को प्रथम क्रम विधि कहा जाता है, अर्थात। त्रुटि में चरण की पहली शक्ति का क्रम है एच. वास्तव में, एकीकरण के एक चरण में निम्नलिखित अनुमान को उचित ठहराया जा सकता है। होने देना 
- प्रारंभिक स्थिति के साथ कॉची समस्या का सटीक समाधान 
. यह स्पष्ट है कि 
आवश्यक सटीक समाधान से मेल नहीं खाता 
समीकरण की मूल कॉची समस्या (7)। हालाँकि, छोटे स्तर पर एचऔर "अच्छा" कार्य 
ये दो सटीक समाधान थोड़ा भिन्न होंगे। टेलर शेषफल सूत्र यह सुनिश्चित करता है 
, यह एकीकरण चरण त्रुटि देता है। अंतिम त्रुटि में न केवल प्रत्येक एकीकरण चरण में त्रुटियां शामिल हैं, बल्कि वांछित सटीक समाधान के विचलन भी शामिल हैं 
सटीक समाधान से 
,
, और ये विचलन बहुत बड़े हो सकते हैं। हालाँकि, "अच्छे" फ़ंक्शन के लिए यूलर विधि में त्रुटि का अंतिम अनुमान 
अभी भी दिखता है 
,
.
यूलर की विधि लागू करते समय, गणना निम्नानुसार आगे बढ़ती है। निर्दिष्ट सटीकता के अनुसार ε
अनुमानित चरण निर्धारित करें 
. चरणों की संख्या का निर्धारण 
और फिर से लगभग चरण का चयन करें 
. फिर हम इसे नीचे की ओर समायोजित करते हैं ताकि प्रत्येक चरण पर तालिका हो। 1 या 2 एकीकरण चरणों की पूर्णांक संख्या में फिट होते हैं। हमें एक कदम मिलता है एच. सूत्र (8) के अनुसार जानना 
और 
, हम देखतें है। पाए गए मूल्य से 
और 
हम बहुत कुछ पाते हैं।
परिणामी परिणाम में वांछित सटीकता नहीं हो सकती है और आमतौर पर नहीं होगी। इसलिए, हम चरण को आधा कर देते हैं और फिर से यूलर विधि लागू करते हैं। हम विधि के पहले अनुप्रयोग और दूसरे के परिणामों की तुलना करते हैं समानअंक 
. यदि सभी विसंगतियाँ निर्दिष्ट सटीकता से कम हैं, तो अंतिम गणना परिणाम को समस्या का उत्तर माना जा सकता है। यदि नहीं, तो हम चरण को फिर से आधा कर देते हैं और यूलर की विधि को फिर से लागू करते हैं। अब हम विधि के अंतिम और अंतिम प्रयोग आदि के परिणामों की तुलना करते हैं।
किसी निश्चित सटीकता को प्राप्त करने के लिए यूलर विधि का प्रयोग अपेक्षाकृत कम ही किया जाता है ε
के क्रम में बड़ी संख्या में कदमों की आवश्यकता होती है 
. हालांकि, यदि 
असंततताएं या असंतत व्युत्पन्न हैं, तो उच्च क्रम की विधियां यूलर की विधि के समान त्रुटि उत्पन्न करेंगी। अर्थात्, यूलर विधि के समान ही गणनाओं की आवश्यकता होगी।
उच्च क्रम की विधियों में से, चौथे क्रम की रनगे-कुट्टा विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इसमें सूत्रों के अनुसार गणना की जाती है
यह विधि, फ़ंक्शन के निरंतर चौथे व्युत्पन्न की उपस्थिति में 
आदेश के एक चरण पर त्रुटि देता है 
, अर्थात। ऊपर प्रस्तुत संकेतन में, 
. सामान्य तौर पर, एकीकरण अंतराल पर, बशर्ते कि इस अंतराल पर सटीक समाधान निर्धारित किया गया हो, एकीकरण त्रुटि के क्रम की होगी 
.
एकीकरण चरण का चयन उसी तरह से होता है जैसा कि यूलर की विधि में वर्णित है, सिवाय इसके कि चरण का प्रारंभिक अनुमानित मूल्य संबंध से चुना गया है 
, अर्थात। 
.
अंतर समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अधिकांश प्रोग्राम स्वचालित चरण चयन का उपयोग करते हैं। इसका सार यह है. मान लीजिए कि मूल्य की गणना पहले ही की जा चुकी है 
. मूल्य की गणना की जाती है 
चरणों में एच, गणना के दौरान चुना गया 
. फिर दो एकीकरण चरणों को चरणबद्ध तरीके से निष्पादित किया जाता है 
, अर्थात। अतिरिक्त नोड जोड़ा गया है 
नोड्स के बीच में 
और 
. दो मानों की गणना की जाती है 
और 
नोड्स में 
और 
. मूल्य की गणना की जाती है 
, कहाँ पी- विधि क्रम. अगर δ
उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट सटीकता से कम है, तो इसे मान लिया जाता है 
. यदि नहीं, तो एक नया चरण चुनें एचबराबर करें और सटीकता जांच दोहराएं। यदि पहली जांच के दौरान δ
निर्दिष्ट सटीकता से बहुत कम है, तो चरण बढ़ाने का प्रयास किया जाता है। इसी उद्देश्य से इसकी गणना की जाती है 
नोड पर 
चरणों में एचनोड से 
और गणना की जाती है 
2 के चरणों में एचनोड से 
. मूल्य की गणना की जाती है 
. अगर 
निर्दिष्ट सटीकता से कम है, तो चरण 2 एचस्वीकार्य माना जाता है. इस मामले में, एक नया चरण सौंपा गया है 
,
,
. अगर 
अधिक सटीकता, तो चरण वही छोड़ दिया जाता है।
यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि एकीकरण चरण के स्वचालित चयन वाले प्रोग्राम केवल एक चरण निष्पादित करते समय निर्दिष्ट सटीकता प्राप्त करते हैं। यह बिंदु से गुजरने वाले समाधान के सन्निकटन की सटीकता के कारण होता है 
, अर्थात। समाधान का सन्निकटन 
. ऐसे कार्यक्रम इस बात पर ध्यान नहीं देते कि समाधान कितना है 
वांछित समाधान से भिन्न है 
. इसलिए, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि संपूर्ण एकीकरण अंतराल के दौरान निर्दिष्ट सटीकता हासिल की जाएगी।
वर्णित यूलर और रनगे-कुट्टा विधियाँ एक-चरणीय विधियों के समूह से संबंधित हैं। इसका मतलब है कि गणना करना 
बिंदु पर 
मतलब जानना ही काफी है 
नोड पर 
. यह अपेक्षा करना स्वाभाविक है कि यदि किसी निर्णय के बारे में अधिक जानकारी का उपयोग किया जाता है, तो निर्णय के कई पिछले मूल्यों को ध्यान में रखा जाएगा 
,
आदि, फिर नया मान 
अधिक सटीक रूप से पता लगाना संभव होगा। इस रणनीति का उपयोग बहु-चरणीय विधियों में किया जाता है। उनका वर्णन करने के लिए, हम संकेतन का परिचय देते हैं 
.
बहु-चरणीय विधियों के प्रतिनिधि एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ हैं:
तरीका क-वां ऑर्डर स्थानीय ऑर्डर त्रुटि देता है 
या वैश्विक - क्रम 
.
ये विधियाँ एक्सट्रपलेशन विधियों के समूह से संबंधित हैं, अर्थात्। नया अर्थ पिछले अर्थों के माध्यम से स्पष्ट रूप से व्यक्त होता है। दूसरा प्रकार प्रक्षेप विधियाँ है। उनमें, प्रत्येक चरण पर, आपको एक नए मान के लिए एक अरेखीय समीकरण को हल करना होता है 
. आइए एक उदाहरण के रूप में एडम्स-मौल्टन विधियों को लें:
इन विधियों का उपयोग करने के लिए, आपको गिनती की शुरुआत में कई मान जानने होंगे 
(उनकी संख्या विधि के क्रम पर निर्भर करती है)। इन मूल्यों को अन्य तरीकों से प्राप्त किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए एक छोटे कदम के साथ रनगे-कुट्टा विधि (सटीकता बढ़ाने के लिए)। कई मामलों में इंटरपोलेशन विधियां अधिक स्थिर होती हैं और एक्सट्रपलेशन विधियों की तुलना में बड़े कदम उठाने की अनुमति देती हैं।
प्रक्षेप विधियों में प्रत्येक चरण पर एक अरेखीय समीकरण को हल न करने के लिए, एडम्स भविष्यवक्ता-सुधार विधियों का उपयोग किया जाता है। लब्बोलुआब यह है कि एक्सट्रपलेशन विधि को पहले चरण और परिणामी मूल्य पर लागू किया जाता है 
इंटरपोलेशन विधि के दाईं ओर प्रतिस्थापित किया गया है। उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम की विधि में 
व्याख्यान में चर्चा किये गये मुख्य मुद्दे:
1. समस्या का विवरण
2. यूलर की विधि
3. रंज-कुट्टा विधियाँ
4. बहु-चरणीय विधियाँ
5. दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण के लिए सीमा मान समस्या का समाधान
6. आंशिक अवकल समीकरणों का संख्यात्मक समाधान
1. समस्या का विवरण
सबसे सरल साधारण अंतर समीकरण (ODE) व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया एक प्रथम-क्रम समीकरण है: y " = f (x, y) (1)। इस समीकरण से जुड़ी मुख्य समस्या को कॉची समस्या के रूप में जाना जाता है: एक खोजें फ़ंक्शन y (x) के रूप में समीकरण (1) का समाधान, प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है: y (x0) = y0 (2)।
nवें क्रम का DE y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), जिसके लिए कॉची समस्या का समाधान y = y(x) खोजना है जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता हो:
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , जहां y0 , y"0 , :, y(n- 1)0 - दी गई संख्याओं को प्रथम क्रम डीई प्रणाली में घटाया जा सकता है।
· यूलर विधि
यूलर विधि एक विभेदक समीकरण के समाधान को ग्राफिक रूप से बनाने के विचार पर आधारित है, लेकिन वही विधि वांछित फ़ंक्शन का एक संख्यात्मक रूप भी प्रदान करती है। मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति (2) के साथ समीकरण (1) दिया गया है।
यूलर विधि का उपयोग करके वांछित फ़ंक्शन y (x) के मानों की एक तालिका प्राप्त करने में सूत्र को चक्रीय रूप से लागू करना शामिल है: , i = 0, 1, :, n। ज्यामितीय रूप से यूलर की टूटी हुई रेखा का निर्माण करने के लिए (चित्र देखें), हम ध्रुव A(-1,0) का चयन करते हैं और कोटि अक्ष पर खंड PL=f(x0, y0) को आलेखित करते हैं (बिंदु P निर्देशांक का मूल है)। जाहिर है, किरण AL का कोणीय गुणांक f(x0, y0) के बराबर होगा, इसलिए, यूलर टूटी हुई रेखा का पहला लिंक प्राप्त करने के लिए, किरण के समानांतर बिंदु M से सीधी रेखा MM1 खींचना पर्याप्त है। AL जब तक कि यह सीधी रेखा x = x1 के साथ किसी बिंदु M1(x1, y1) पर प्रतिच्छेद न कर दे। बिंदु M1(x1, y1) को प्रारंभिक बिंदु के रूप में लेते हुए, हम खंड PN = f (x1, y1) को Oy अक्ष पर आलेखित करते हैं और बिंदु M1 M1M2 से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं | | AN जब तक बिंदु M2(x2, y2) पर रेखा x = x2, आदि के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। 
विधि के नुकसान: कम सटीकता, त्रुटियों का व्यवस्थित संचय।
· रंज-कुट्टा विधियाँ
विधि का मुख्य विचार: कार्य सूत्रों में फ़ंक्शन f (x, y) के आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग करने के बजाय, केवल इस फ़ंक्शन का उपयोग करें, लेकिन प्रत्येक चरण में कई बिंदुओं पर इसके मानों की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण (1) का समाधान इस रूप में खोजेंगे: 
α, β, r, q को बदलने पर, हम रनगे-कुट्टा विधियों के विभिन्न संस्करण प्राप्त करेंगे।
q=1 के लिए हमें यूलर का सूत्र प्राप्त होता है।
q=2 और r1=r2=½ से हम पाते हैं कि α, β= 1 और, इसलिए, हमारे पास सूत्र है:, जिसे बेहतर यूलर-कॉची विधि कहा जाता है।
q=2 और r1=0, r2=1 के लिए हम पाते हैं कि α, β = ½ और, इसलिए, हमारे पास सूत्र है: - दूसरा बेहतर यूलर-कॉची विधि।
q=3 और q=4 के लिए, रनगे-कुट्टा सूत्रों के पूरे परिवार भी हैं। व्यवहार में, इनका उपयोग सबसे अधिक बार किया जाता है, क्योंकि त्रुटियाँ न बढ़ाएँ.
आइए सटीकता के चौथे क्रम की रनगे-कुट्टा विधि का उपयोग करके एक अंतर समीकरण को हल करने की योजना पर विचार करें। इस पद्धति का उपयोग करते समय गणना सूत्रों के अनुसार की जाती है: 
इन्हें निम्नलिखित तालिका में शामिल करना सुविधाजनक है:
| एक्स | य | y" = f (x,y) | k=h f(x,y) | Δय |
| X 0 | य0 | f(x0,y0) | k1(0) | k1(0) |
| x0 + ½ घंटा | y0 + ½ k1(0) | f(x0 + ½ h, y0 + ½ k1(0)) | k2(0) | 2k2(0) |
| x0 + ½ घंटा | y0 + ½ k2(0) | f(x0 + ½ h, y0 + ½ k2(0)) | k3(0) | 2k3(0) |
| x0 + एच | y0 + k3(0) | f(x0 + h, y0 + k3(0)) | k4(0) | k4(0) |
| Δy0 = Σ / 6 | ||||
| x1 | y1 = y0 + Δy0 | एफ(x1,y1) | k1(1) | k1(1) |
| x1 + ½ घंटा | y1 + ½ k1(1) | f(x1 + ½ h, y1 + ½ k1(1)) | k2(1) | 2k2(1) |
| x1 + ½ घंटा | y1 + ½ k2(1) | f(x1 + ½ h, y1 + ½ k2(1)) | k3(1) | 2k3(1) |
| x1 + एच | y1 + k3(1) | f(x1 + h, y1 + k3(1)) | k4(1) | k4(1) |
| Δy1 = Σ / 6 | ||||
| x2 | y2 = y1 + Δy1 | वगैरह। | जब तक आपको सभी आवश्यक चीजें प्राप्त नहीं हो जातीं | y मान |
· बहु-चरणीय विधियाँ
ऊपर चर्चा की गई विधियाँ विभेदक समीकरण के चरण-दर-चरण एकीकरण की तथाकथित विधियाँ हैं। उनकी विशेषता यह है कि अगले चरण में समाधान का मूल्य केवल पिछले चरण में प्राप्त समाधान का उपयोग करके मांगा जाता है। ये तथाकथित एक-चरणीय विधियाँ हैं।
बहु-चरणीय विधियों का मुख्य विचार अगले चरण में समाधान मान की गणना करते समय कई पिछले समाधान मानों का उपयोग करना है। साथ ही, पिछले समाधान मानों की गणना के लिए उपयोग की जाने वाली संख्या m के आधार पर इन विधियों को m-चरण विधियाँ कहा जाता है।
सामान्य स्थिति में, अनुमानित समाधान yi+1 निर्धारित करने के लिए, एम-चरण अंतर योजनाएं निम्नानुसार लिखी जाती हैं (एम 1):
आइए विशिष्ट सूत्रों पर विचार करें जो सरलतम स्पष्ट और अंतर्निहित एडम्स विधियों को लागू करते हैं।
स्पष्ट द्वितीय क्रम एडम्स विधि (2-चरणीय स्पष्ट एडम्स विधि)
हमारे पास a0 = 0, m = 2 है।
इस प्रकार, ये दूसरे क्रम की स्पष्ट एडम्स पद्धति के गणना सूत्र हैं।
i = 1 के लिए, हमारे पास एक अज्ञात y1 है, जिसे हम q = 2 या q = 4 के लिए रनगे-कुट्टा विधि का उपयोग करके पाएंगे।
i = 2, 3, के लिए: सभी आवश्यक मान ज्ञात हैं।
अंतर्निहित प्रथम क्रम एडम्स विधि
हमारे पास: a0 0, m = 1.
इस प्रकार, ये प्रथम क्रम की अंतर्निहित एडम्स विधि के गणना सूत्र हैं।
अंतर्निहित योजनाओं के साथ मुख्य समस्या निम्नलिखित है: प्रस्तुत समानता के दाएं और बाएं दोनों पक्षों में yi+1 शामिल है, इसलिए हमारे पास yi+1 का मान ज्ञात करने के लिए एक समीकरण है। यह समीकरण अरेखीय है और इसे पुनरावृत्तीय समाधान के लिए उपयुक्त रूप में लिखा गया है, इसलिए हम इसे हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करेंगे:
यदि चरण h को अच्छी तरह से चुना गया है, तो पुनरावृत्तीय प्रक्रिया शीघ्रता से परिवर्तित हो जाती है।
यह विधि भी स्व-प्रारंभिक नहीं है. तो y1 की गणना करने के लिए आपको y1(0) जानना होगा। इसे यूलर विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है।
यूलर के विभेदक समीकरण की परिभाषा. इसके समाधान के तरीकों पर विचार किया जाता है।
सामग्रीयूलर का अवकल समीकरण रूप का एक समीकरण है
ए 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ ए एन- 1 xy′ + a n y = f(x).
अधिक सामान्य रूप में, यूलर समीकरण का रूप इस प्रकार है:
.
इस समीकरण को t = ax+b के प्रतिस्थापन द्वारा सरल रूप में घटाया गया है, जिस पर हम विचार करेंगे।
यूलर के अंतर समीकरण को स्थिर गुणांक वाले समीकरण में कम करना।
यूलर के समीकरण पर विचार करें:
(1)
.
यह प्रतिस्थापन द्वारा स्थिर गुणांक वाले एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है:
एक्स = इ टी .
वास्तव में, फिर
;
;
;
;
;
..........................
इस प्रकार, x m वाले कारक रद्द हो जाते हैं। शेष पद अचर गुणांक वाले हैं। हालाँकि, व्यवहार में, यूलर के समीकरणों को हल करने के लिए, उपरोक्त प्रतिस्थापन का उपयोग किए बिना निरंतर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों का उपयोग करना संभव है।
सजातीय यूलर समीकरण का समाधान
सजातीय यूलर समीकरण पर विचार करें:
(2)
.
हम फॉर्म में समीकरण (2) का हल ढूंढ रहे हैं
.
;
;
........................
.
हम (2) में स्थानापन्न करते हैं और x k से कम करते हैं। हमें विशेषता समीकरण प्राप्त होता है:
.
हम इसे हल करते हैं और n जड़ें प्राप्त करते हैं, जो जटिल हो सकती हैं।
आइए वास्तविक जड़ों पर नजर डालें। मान लीजिए k i बहुलता m का एक गुणज मूल है। ये m जड़ें m रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के अनुरूप हैं:
.
आइए जटिल जड़ों पर विचार करें। वे जटिल संयुग्मों के साथ जोड़े में दिखाई देते हैं। मान लीजिए k i बहुलता m का एक गुणज मूल है। आइए जटिल मूल k i को वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में व्यक्त करें:
.
ये m जड़ें और m जटिल संयुग्म जड़ें संगत हैं 2 मीरैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान:
;
;
..............................
.
n रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त होने के बाद, हम समीकरण (2) का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं:
(3)
.
उदाहरण
समीकरण हल करें:
उदाहरणों का समाधान > > >
अमानवीय यूलर समीकरण का समाधान
अमानवीय यूलर समीकरण पर विचार करें:
.
स्थिरांकों की भिन्नता की विधि (लैग्रेंज विधि) यूलर के समीकरणों पर भी लागू होती है।
सबसे पहले, हम सजातीय समीकरण (2) को हल करते हैं और इसका सामान्य समाधान (3) प्राप्त करते हैं। फिर हम स्थिरांकों को चर x के फलन के रूप में मानते हैं। अंतर करें (3) n - 1 एक बार। हमें n के लिए व्यंजक प्राप्त होते हैं - 1 x के संबंध में y का व्युत्पन्न। प्रत्येक विभेदन के साथ, व्युत्पन्न वाले पद शून्य के बराबर होते हैं। तो हमें n मिलता है - 1 व्युत्पन्न से संबंधित समीकरण। आगे हम y का nवाँ अवकलज ज्ञात करते हैं। हम परिणामी व्युत्पन्नों को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और व्युत्पन्नों से संबंधित nवां समीकरण प्राप्त करते हैं। इन समीकरणों से हम निर्धारित करते हैं। फिर, एकीकृत करके, हम समीकरण (1) का एक सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं।
उदाहरण
प्रश्न हल करें:
समाधान > > >
विशेष अमानवीय भाग के साथ अमानवीय यूलर समीकरण
यदि अमानवीय भाग का एक निश्चित रूप है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान ढूंढकर एक सामान्य समाधान प्राप्त करना आसान होता है। इस वर्ग में निम्न प्रकार के समीकरण शामिल हैं:
(4)
,
घातों के बहुपद कहाँ हैं और, क्रमशः।
इस मामले में प्रतिस्थापन करना आसान है
,
और निर्णय लें
ह ज्ञात है कि प्रथम कोटि साधारण अवकल समीकरण इसका रूप है: .इस समीकरण का समाधान एक अवकलनीय फलन है, जो समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर इसे एक पहचान में बदल देता है। अवकल समीकरण को हल करने के लिए ग्राफ़ (चित्र 1) कहा जाता है अभिन्न वक्र.
प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न को ज्यामितीय रूप से इस बिंदु से गुजरने वाले समाधान के ग्राफ के स्पर्शरेखा के स्पर्शरेखा के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, यानी:।
मूल समीकरण समाधानों के एक पूरे परिवार को परिभाषित करता है। एक समाधान का चयन करने के लिए, सेट करें आरंभिक दशा: ,तर्क का कुछ दिया गया मूल्य कहां है, ए- फ़ंक्शन का प्रारंभिक मान.
कॉची समस्या इसमें एक ऐसा फ़ंक्शन ढूंढना शामिल है जो मूल समीकरण और प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो। आमतौर पर कॉची समस्या का समाधान प्रारंभिक मान के दाईं ओर स्थित खंड पर निर्धारित होता है, अर्थात।
यहां तक कि सरल प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणों के लिए भी विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त करना हमेशा संभव नहीं होता है। इसलिए, संख्यात्मक समाधान विधियों का बहुत महत्व है। संख्यात्मक विधियाँ तर्क मानों के चयनित ग्रिड पर वांछित समाधान के अनुमानित मान निर्धारित करना संभव बनाती हैं। बिन्दु कहलाते हैं ग्रिड नोड्स, और मान ग्रिड चरण है। अक्सर माना जाता है वर्दी जाल,जिसके लिए कदम स्थिर है. इस मामले में, समाधान एक तालिका के रूप में प्राप्त होता है जिसमें प्रत्येक ग्रिड नोड ग्रिड नोड्स पर फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्यों से मेल खाता है।
संख्यात्मक विधियाँ किसी को सामान्य रूप में समाधान खोजने की अनुमति नहीं देती हैं, लेकिन वे अंतर समीकरणों के एक विस्तृत वर्ग पर लागू होती हैं।
कॉची समस्या को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों का अभिसरण।आइए कॉची समस्या का समाधान बनें। चलो कॉल करो गलती संख्यात्मक विधि ग्रिड नोड्स पर निर्दिष्ट एक फ़ंक्शन है। आइए मान को पूर्ण त्रुटि के रूप में लें।
कॉची समस्या को हल करने की संख्यात्मक विधि कहलाती है संमिलित, अगर उसके लिए पर. एक विधि को सटीकता का क्रम कहा जाता है यदि त्रुटि का अनुमान निम्नलिखित है: – स्थिर, ।
यूलर विधि
कॉची समस्या को हल करने की सबसे सरल विधि यूलर विधि है। हम कॉची समस्या का समाधान करेंगे
खंड पर. आइए चरणों का चयन करें और नोड्स की एक प्रणाली के साथ एक ग्रिड बनाएं। यूलर की विधि में, फ़ंक्शन के अनुमानित मानों की गणना ग्रिड नोड्स पर की जाती है:। खंडों पर परिमित अंतरों के साथ व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हुए, हम अनुमानित समानता प्राप्त करते हैं:,, जिसे निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:,।
ये सूत्र और प्रारंभिक शर्त हैं यूलर विधि के गणना सूत्र।
यूलर की विधि के एक चरण की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि खंड पर समाधान को इस बिंदु से गुजरने वाले अभिन्न वक्र पर एक बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। चरणों को पूरा करने के बाद, अज्ञात अभिन्न वक्र को एक टूटी हुई रेखा से बदल दिया जाता है (यूलर की टूटी हुई रेखा)।
त्रुटि का अनुमान.यूलर विधि की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करते हैं।
प्रमेय.फ़ंक्शन को शर्तों को पूरा करने दें:
.
फिर निम्नलिखित त्रुटि अनुमान यूलर विधि के लिए मान्य है: 
, खंड की लंबाई कहां है. हम देखते हैं कि यूलर की विधि में प्रथम कोटि की सटीकता है।
यूलर विधि की त्रुटि का अनुमान लगाना अक्सर मुश्किल होता है, क्योंकि इसमें फ़ंक्शन के डेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता होती है। त्रुटि का एक मोटा अनुमान देता है रंज का नियम (दोहरी गिनती का नियम),जिसका उपयोग सटीकता के -वें क्रम वाली विभिन्न एक-चरणीय विधियों के लिए किया जाता है। रनगे का नियम इस प्रकार है. मान लीजिए कि एक चरण से प्राप्त सन्निकटन हैं, और मान लीजिए कि एक चरण से प्राप्त सन्निकटन हैं। तब अनुमानित समानता मान्य है:
.
इस प्रकार, एक चरण के साथ एक-चरण विधि की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, आपको चरणों के साथ एक ही समाधान खोजने और अंतिम सूत्र में दाईं ओर मान की गणना करने की आवश्यकता है, यानी चूंकि यूलर विधि में सटीकता का पहला क्रम है , यानी, अनुमानित समानता का दृश्य है:।
रनगे के नियम का उपयोग करके, दी गई सटीकता के साथ कॉची समस्या के समाधान की अनुमानित गणना के लिए एक प्रक्रिया बनाना संभव है . ऐसा करने के लिए, आपको एक निश्चित चरण मान से गणना शुरू करनी होगी और प्रत्येक बार अनुमानित मान की गणना करते हुए, इस मान को क्रमिक रूप से आधा कम करना होगा। . शर्त पूरी होने पर गणना रुक जाती है: . यूलर की विधि के लिए यह स्थिति इस प्रकार होगी:. एक अनुमानित समाधान मान होगा .
उदाहरण 1।आइए हम निम्नलिखित कॉची समस्या के एक खंड पर एक समाधान खोजें:,। आइए एक कदम बढ़ाएं. तब।
यूलर विधि के लिए गणना सूत्र है:
,
.
आइए तालिका 1 के रूप में समाधान प्रस्तुत करें:
तालिका नंबर एक
मूल समीकरण बर्नौली का समीकरण है। इसका समाधान स्पष्ट रूप में पाया जा सकता है: .
सटीक और अनुमानित समाधानों की तुलना करने के लिए, हम तालिका 2 के रूप में सटीक समाधान प्रस्तुत करते हैं:
तालिका 2
तालिका से पता चलता है कि त्रुटि है
साधारण अवकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें वांछित फ़ंक्शन y=y (x) के एक या अधिक व्युत्पन्न होते हैं। इन्हें फॉर्म में लिखा जा सकता है
जहाँ x स्वतंत्र चर है।
समीकरण में शामिल व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम n को अवकल समीकरण का क्रम कहा जाता है।
साधारण अंतर समीकरणों को हल करने की विधियों को निम्नलिखित समूहों में विभाजित किया जा सकता है: ग्राफिकल, विश्लेषणात्मक, अनुमानित और संख्यात्मक।
ग्राफ़िकल विधियाँ ज्यामितीय निर्माणों का उपयोग करती हैं।
पाठ्यक्रम में विभेदक समीकरणों पर विश्लेषणात्मक विधियाँ पाई जाती हैं। प्रथम-क्रम समीकरणों (वियोज्य चर, सजातीय, रैखिक, आदि) के साथ-साथ कुछ प्रकार के उच्च-क्रम समीकरणों (उदाहरण के लिए, निरंतर गुणांक वाले रैखिक) के लिए, सूत्रों के रूप में समाधान प्राप्त करना संभव है विश्लेषणात्मक परिवर्तनों के माध्यम से।
अनुमानित विधियाँ समीकरणों के विभिन्न सरलीकरणों का उपयोग करती हैं, उनमें निहित कुछ शर्तों की उचित अस्वीकृति के साथ-साथ मांगे गए कार्यों के वर्गों की एक विशेष पसंद भी होती है।
अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके वर्तमान में अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित वैज्ञानिक और तकनीकी समस्याओं के अध्ययन में मुख्य उपकरण हैं। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि आधुनिक कंप्यूटर के उपयोग के साथ संयोजन में ये विधियां विशेष रूप से प्रभावी हैं।
ODE के लिए कॉची समस्या को हल करने की सबसे सरल संख्यात्मक विधि यूलर विधि है। आइए नोड्स (i=1,2,3,...) के आसपास के समीकरण पर विचार करें और बाईं ओर के व्युत्पन्न को दाएं अंतर से बदलें। इस मामले में, हम नोड फ़ंक्शन के मानों को ग्रिड फ़ंक्शन के मानों से प्रतिस्थापित करते हैं:
DE का परिणामी सन्निकटन पहले क्रम का है, क्योंकि इसके साथ प्रतिस्थापित करते समय एक त्रुटि की अनुमति होती है।
ध्यान दें कि समीकरण से यह निम्नानुसार है
इसलिए, यह दूसरे और उच्च क्रम के शब्दों को छोड़कर टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के मूल्य के अनुमानित निर्धारण का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरे शब्दों में, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि उसके अंतर के बराबर मानी जाती है।
i=0 मानते हुए, संबंध का उपयोग करके हम ग्रिड फ़ंक्शन का मान पाते हैं:
यहां आवश्यक मान प्रारंभिक स्थिति द्वारा दिया गया है, अर्थात।
इसी प्रकार, अन्य नोड्स पर ग्रिड फ़ंक्शन के मान पाए जा सकते हैं:
निर्मित एल्गोरिदम को यूलर की विधि कहा जाता है
चित्र - 19 यूलर विधि
यूलर की विधि की ज्यामितीय व्याख्या चित्र में दी गई है। पहले दो चरणों को दर्शाया गया है, अर्थात्। बिंदुओं पर ग्रिड फ़ंक्शन की गणना सचित्र है। समाकलन वक्र 0,1,2 समीकरण के सटीक समाधान का वर्णन करते हैं। इस मामले में, वक्र 0 कॉची समस्या के सटीक समाधान से मेल खाता है, क्योंकि यह प्रारंभिक बिंदु ए (x 0, y 0) से होकर गुजरता है। यूलर विधि का उपयोग करके कॉची समस्या के संख्यात्मक समाधान के परिणामस्वरूप अंक बी, सी प्राप्त किए गए थे। वक्र 0 से उनका विचलन विधि की त्रुटि को दर्शाता है। प्रत्येक चरण के साथ हम वास्तव में एक अलग अभिन्न वक्र पर पहुँचते हैं। खंड AB, बिंदु A पर वक्र 0 की स्पर्श रेखा है, इसका ढलान इसके व्युत्पन्न के मान से निर्धारित होता है। त्रुटि इसलिए दिखाई देती है क्योंकि x 0 से x 1 में संक्रमण के दौरान फ़ंक्शन के मान में वृद्धि को बिंदु A पर वक्र 0 की स्पर्शरेखा की कोटि में वृद्धि से प्रतिस्थापित किया जाता है। स्पर्शरेखा BC पहले से ही एक अन्य अभिन्न वक्र 1 पर खींची गई है। इस प्रकार, यूलर विधि की त्रुटि इस तथ्य की ओर ले जाती है कि प्रत्येक चरण पर, अनुमानित समाधान दूसरे अभिन्न वक्र पर चला जाता है।
