Menghasilkan fungsi distribusi normal. Distribusi normal

Teori singkat

Normal adalah distribusi probabilitas suatu variabel acak kontinu yang kepadatannya berbentuk:

dimana adalah ekspektasi matematis dan merupakan simpangan baku.

Kemungkinan bahwa ia akan mengambil nilai yang termasuk dalam interval:

di mana fungsi Laplace:

Probabilitas nilai absolut deviasi lebih kecil dari bilangan positif:

Khususnya, ketika kesetaraan berlaku:

Ketika memecahkan masalah yang diajukan oleh latihan, kita harus berurusan dengan berbagai distribusi variabel acak kontinu.

Selain distribusi normal, hukum dasar distribusi variabel acak kontinu:

Contoh penyelesaian masalah

Suatu bagian dibuat pada mesin. Panjangnya merupakan variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal dengan parameter , . Tentukan peluang panjang bagian tersebut antara 22 dan 24,2 cm Berapa simpangan panjang bagian tersebut yang dapat dijamin dengan probabilitas 0,92; 0,98? Dalam batas berapa, simetris terhadap , hampir semua dimensi bagian akan terletak?

Larutan:

Peluang suatu variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal akan berada dalam interval:

Kita mendapatkan:

Peluang suatu variabel acak yang berdistribusi normal akan menyimpang dari mean tidak lebih dari .

Hukum distribusi normal (sering disebut hukum Gauss) memegang peranan yang sangat penting dalam teori probabilitas dan menempati posisi khusus di antara hukum distribusi lainnya. Ini adalah hukum distribusi yang paling sering ditemui dalam praktiknya. Ciri utama yang membedakan hukum normal dengan hukum lain adalah bahwa hukum ini merupakan hukum pembatas, yang mana hukum distribusi lain dapat didekati dalam kondisi tipikal yang sangat umum.

Dapat dibuktikan bahwa jumlah dari sejumlah besar variabel acak independen (atau dependen lemah), yang tunduk pada hukum distribusi apa pun (yang tunduk pada beberapa batasan yang sangat longgar), kira-kira mematuhi hukum normal, dan hal ini berlaku lebih akurat, yaitu semakin besar jumlah variabel acak yang dijumlahkan. Sebagian besar variabel acak yang ditemui dalam praktik, seperti kesalahan pengukuran, kesalahan pengambilan gambar, dll., dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari sejumlah besar suku yang relatif kecil - kesalahan dasar, yang masing-masing disebabkan oleh a penyebab yang terpisah, independen dari yang lain. Tidak peduli hukum distribusi apa yang dipatuhi oleh kesalahan dasar individu, ciri-ciri distribusi ini dalam jumlah sejumlah besar suku akan diratakan, dan jumlahnya ternyata tunduk pada hukum yang mendekati normal. Keterbatasan utama yang dikenakan pada kesalahan penjumlahan adalah bahwa kesalahan-kesalahan tersebut secara seragam memainkan peran yang relatif kecil dalam total. Jika kondisi ini tidak terpenuhi dan, misalnya, salah satu kesalahan acak ternyata sangat dominan pengaruhnya terhadap jumlah dibandingkan kesalahan lainnya, maka hukum distribusi kesalahan yang berlaku ini akan mempengaruhi jumlah tersebut dan menentukannya. ciri-ciri utama hukum distribusi.

Teorema-teorema yang menetapkan hukum normal sebagai limit jumlah suku-suku acak kecil seragam yang independen akan dibahas lebih rinci pada Bab 13.

Hukum distribusi normal dicirikan oleh kepadatan probabilitas dalam bentuk:

Kurva distribusi normal mempunyai penampakan berbentuk bukit yang simetris (Gbr. 6.1.1). Ordinat maksimum kurva, sama dengan , sesuai dengan titik ; Ketika Anda menjauh dari suatu titik, kepadatan distribusi berkurang, dan pada , kurva mendekati absis secara asimtotik.

Mari kita cari tahu arti dari parameter numerik dan termasuk dalam ekspresi hukum normal (6.1.1); Mari kita buktikan bahwa nilai tersebut tidak lebih dari ekspektasi matematis, dan nilai tersebut merupakan simpangan baku dari nilai tersebut. Untuk melakukan ini, kami menghitung karakteristik numerik utama kuantitas - ekspektasi matematis dan dispersi.

Menggunakan perubahan variabel

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa interval pertama dari dua interval dalam rumus (6.1.2) sama dengan nol; yang kedua adalah integral Euler-Poisson yang terkenal:

. (6.1.3)

Karena itu,

itu. parameter mewakili ekspektasi matematis dari nilai tersebut. Parameter ini, khususnya pada soal menembak, sering disebut dengan pusat dispersi (disingkat c.r.).

Mari kita hitung varians kuantitasnya:

.

Menerapkan perubahan variabel lagi

Mengintegrasikan berdasarkan bagian, kita mendapatkan:

Suku pertama dalam tanda kurung kurawal sama dengan nol (karena penurunan lebih cepat daripada kenaikan pangkat), suku kedua menurut rumus (6.1.3) sama dengan , dari mana

Oleh karena itu, parameter dalam rumus (6.1.1) tidak lain adalah simpangan baku nilainya.

Mari kita cari tahu pengertian parameter dan distribusi normal. Dari rumus (6.1.1) terlihat jelas bahwa pusat simetri distribusi adalah pusat dispersi. Hal ini terlihat dari kenyataan bahwa ketika tanda selisih dibalik, persamaan (6.1.1) tidak berubah. Jika pusat penyebaran diubah, kurva distribusi akan bergeser sepanjang sumbu absis tanpa mengubah bentuknya (Gbr. 6.1.2). Pusat sebaran mencirikan posisi sebaran pada sumbu absis.

Dimensi pusat hamburan sama dengan dimensi variabel acak.

Parameter tersebut tidak mencirikan posisinya, tetapi bentuk kurva distribusinya. Inilah ciri-ciri dispersi. Ordinat terbesar kurva distribusi berbanding terbalik dengan; saat Anda bertambah, ordinat maksimumnya berkurang. Karena luas kurva distribusi harus selalu sama dengan satu, maka bila bertambah, kurva distribusi menjadi lebih datar, memanjang sepanjang sumbu x; sebaliknya, ketika menurun, kurva distribusi memanjang ke atas, sekaligus memampatkan dari samping, dan menjadi lebih berbentuk jarum. Pada Gambar. 6.1.3 menunjukkan tiga kurva normal (I, II, III) di ; di antaranya, kurva I sesuai dengan nilai terbesar, dan kurva III dengan nilai terkecil. Mengubah parameter sama dengan mengubah skala kurva distribusi - meningkatkan skala di sepanjang satu sumbu dan mengurangi skala di sepanjang sumbu lainnya.

Hukum distribusi normal paling sering ditemui dalam praktik. Ciri utama yang membedakannya dengan undang-undang lain adalah bahwa ia merupakan undang-undang yang membatasi, yang didekati oleh hukum distribusi lain dalam kondisi tipikal yang sangat umum.

Definisi. Variabel acak kontinu yang dimiliki X hukum biasa distribusi(hukum Gauss )dengan parameter a dan σ 2 jika kepadatan probabilitasnya f(X) seperti:

Kurva distribusi normal disebut normal atau Kurva Gaussian. Pada Gambar. 6.5 a), b) menunjukkan kurva normal dengan parameter A Dan σ 2 dan grafik fungsi distribusi.

Mari kita perhatikan fakta bahwa kurva normal adalah simetris terhadap garis lurus X = A, memiliki titik maksimum X = A, sama dengan , dan dua titik belok X = A σ dengan ordinat.

Dapat dicatat bahwa dalam ekspresi hukum kepadatan normal, parameter distribusi ditunjukkan dengan huruf A Dan σ 2, yang kami gunakan untuk menunjukkan ekspektasi dan dispersi matematis. Kebetulan ini bukanlah suatu kebetulan. Mari kita perhatikan sebuah teorema yang menetapkan makna teoretis probabilistik dari parameter hukum normal.

Dalil. Ekspektasi matematis dari variabel acak X, yang terdistribusi menurut hukum normal, sama dengan parameter a dari distribusi ini, yaitu.

dan dispersinya – ke parameter σ 2, yaitu.

Mari kita cari tahu bagaimana kurva normal akan berubah ketika parameternya berubah A Dan σ .

Jika σ = const, dan parameternya berubah A (A 1 < A 2 < A 3), yaitu pusat simetri distribusi, maka kurva normal akan bergeser sepanjang sumbu absis tanpa mengubah bentuknya (Gbr. 6.6).

Beras. 6.6

Beras. 6.7

Jika A= const dan parameternya berubah σ , maka ordinat maksimum kurva berubah f maks(A) = . Ketika meningkat σ ordinat maksimumnya berkurang, tetapi karena luas di bawah kurva distribusi harus tetap sama dengan satu, kurva menjadi lebih datar dan memanjang sepanjang sumbu x. Saat menurun σ Sebaliknya, kurva normal memanjang ke atas sekaligus menekan dari samping (Gbr. 6.7).

Jadi parameternya A mencirikan posisi, dan parameter σ – bentuk kurva normal.

Hukum distribusi normal suatu variabel acak dengan parameter A= 0 dan σ = 1 dipanggil standar atau dinormalisasi, dan kurva normal yang sesuai adalah standar atau dinormalisasi.

Sulitnya mencari secara langsung fungsi distribusi suatu variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal karena integral fungsi distribusi normal tidak dinyatakan melalui fungsi dasar. Namun, dapat dihitung melalui fungsi khusus yang menyatakan integral tertentu dari ekspresi atau. Fungsi ini disebut Fungsi Laplace, tabel telah dikompilasi untuk itu. Ada banyak ragam fungsi ini, misalnya:

, .

Kami akan menggunakan fungsinya

Mari kita perhatikan sifat-sifat variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal.

1. Peluang suatu variabel acak X yang terdistribusi menurut hukum normal berada dalam interval [α , β ] sama dengan

Dengan menggunakan rumus ini, kami menghitung probabilitas untuk berbagai nilai δ (menggunakan tabel nilai fungsi Laplace):

pada δ = σ = 2Ф(1) = 0,6827;

pada δ = 2σ = 2Ф(2) = 0,9545;

pada δ = 3σ = 2Ф(3) = 0,9973.

Hal ini mengarah pada apa yang disebut “ aturan tiga sigma»:

Jika suatu variabel acak X mempunyai hukum distribusi normal dengan parameter a dan σ, maka hampir dapat dipastikan nilainya terletak pada interval tersebut.(A – 3σ ; A + 3σ ).

Contoh 6.3. Dengan asumsi tinggi badan laki-laki pada kelompok umur tertentu merupakan variabel acak yang berdistribusi normal X dengan parameter A= 173 dan σ 2 = 36, cari:

1. Ekspresi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi suatu variabel acak X;

2. Bagian pakaian dengan tinggi ke-4 (176 - 183 cm) dan bagian pakaian dengan tinggi ke-3 (170 - 176 cm), yang harus dimasukkan dalam total volume produksi untuk kelompok umur ini;

3. Merumuskan “aturan tiga sigma” untuk variabel acak X.

1. Menemukan kepadatan probabilitas

dan fungsi distribusi variabel acak X

= .

2. Kami menemukan proporsi pakaian dengan tinggi 4 (176 – 182 cm) sebagai probabilitas

R(176 ≤ X ≤ 182) = = Ф(1,5) – Ф(0,5).

Menurut tabel nilai fungsi Laplace ( Lampiran 2) kami menemukan:

F(1,5) = 0,4332, F(0,5) = 0,1915.

Akhirnya kita dapatkan

R(176 ≤ X ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.

Pembagian setelan dengan tinggi ke-3 (170 – 176 cm) dapat dicari dengan cara serupa. Namun, hal ini lebih mudah dilakukan jika kita memperhitungkan bahwa interval ini simetris terhadap ekspektasi matematis A= 173, yaitu ketimpangan 170 ≤ X≤ 176 setara dengan ketimpangan │ X– 173│≤ 3. Lalu

R(170 ≤X ≤176) = R(│X– 173│≤ 3) = 2Ф(3/6) = 2Ф(0,5) = 2·0,1915 = 0,3830.

3. Mari kita rumuskan “aturan tiga sigma” untuk variabel acak X:

Hampir dapat dipastikan tinggi badan pria pada kelompok umur ini berkisar antara A – 3σ = 173 – 3 6 = 155 sampai A + 3σ = 173 + 3·6 = 191, mis. 155 ≤ X ≤ 191. ◄

7. TEOREMA BATAS TEORI PROBABILITAS

Seperti yang telah disebutkan ketika mempelajari variabel acak, tidak mungkin untuk memprediksi terlebih dahulu berapa nilai yang akan diperoleh variabel acak sebagai hasil dari satu pengujian - ini tergantung pada banyak alasan yang tidak dapat diperhitungkan.

Namun, ketika pengujian diulang berkali-kali, perilaku penjumlahan variabel acak hampir kehilangan karakter acaknya dan menjadi wajar. Kehadiran pola justru diasosiasikan dengan sifat massa dari fenomena yang secara keseluruhan menghasilkan variabel acak yang tunduk pada hukum yang terdefinisi dengan baik. Inti dari stabilitas fenomena massa adalah sebagai berikut: ciri-ciri spesifik dari setiap fenomena acak hampir tidak berpengaruh pada hasil rata-rata massa fenomena tersebut; penyimpangan acak dari rata-rata, yang tidak dapat dihindari dalam setiap fenomena individu, saling dibatalkan, diratakan, diratakan dalam massa.

Stabilitas rata-rata inilah yang mewakili kandungan fisik dari "hukum bilangan besar", yang dipahami dalam arti luas: dengan sejumlah besar fenomena acak, hasilnya secara praktis tidak lagi acak dan dapat diprediksi dengan menggunakan tingkat kepastian yang tinggi.

Dalam arti sempit, “hukum bilangan besar” dalam teori probabilitas dipahami sebagai serangkaian teorema matematika, yang masing-masing, untuk kondisi tertentu, menetapkan fakta bahwa karakteristik rata-rata dari sejumlah besar eksperimen mendekati tertentu. konstanta tertentu.

Hukum bilangan besar memainkan peran penting dalam penerapan praktis teori probabilitas. Sifat variabel acak, dalam kondisi tertentu, untuk berperilaku secara praktis seperti variabel non-acak memungkinkan seseorang untuk beroperasi dengan percaya diri dengan besaran-besaran ini dan memprediksi hasil fenomena acak massal dengan kepastian yang hampir sempurna.

Kemungkinan prediksi semacam itu di bidang fenomena acak massa semakin diperluas dengan hadirnya kelompok teorema limit lain, yang tidak menyangkut nilai pembatas variabel acak, tetapi hukum distribusi pembatas. Kita berbicara tentang sekelompok teorema yang dikenal sebagai “teorema limit pusat”. Berbagai bentuk teorema limit pusat berbeda satu sama lain dalam kondisi di mana sifat pembatas dari jumlah variabel acak ini ditetapkan.

Berbagai bentuk hukum bilangan besar dengan berbagai bentuk teorema limit pusat membentuk himpunan yang disebut membatasi teorema teori probabilitas. Teorema limit memungkinkan tidak hanya membuat prakiraan ilmiah dalam bidang fenomena acak, tetapi juga mengevaluasi keakuratan prakiraan tersebut.

Hukum distribusi probabilitas normal dari variabel acak kontinu menempati tempat khusus di antara berbagai hukum teoretis, karena hukum ini mendasar dalam banyak studi praktis. Ini menggambarkan sebagian besar fenomena acak yang terkait dengan proses produksi.

Fenomena acak yang mematuhi hukum distribusi normal meliputi kesalahan pengukuran parameter produksi, kesalahan distribusi teknologi produksi, tinggi dan berat sebagian besar benda biologis, dll.

Normal adalah hukum distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu, yang dijelaskan oleh fungsi diferensial

a - ekspektasi matematis dari variabel acak;

Simpangan baku dari distribusi normal.

Grafik fungsi diferensial berdistribusi normal disebut kurva normal (kurva Gaussian) (Gbr. 7).

Beras. 7 Kurva Gaussian

Sifat-sifat kurva normal (kurva Gaussian):

1. kurva simetris terhadap garis lurus x = a;

2. kurva normal terletak di atas sumbu X, yaitu untuk semua nilai X, fungsi f(x) selalu positif;

3. Sumbu sapi adalah asimtot mendatar dari grafik tersebut, karena

4. untuk x = a, fungsi f(x) mempunyai maksimum sama dengan

,

di titik A dan B di dan kurva mempunyai titik belok yang ordinatnya sama.

Pada saat yang sama, peluang bahwa nilai absolut simpangan suatu variabel acak berdistribusi normal dari ekspektasi matematisnya tidak akan melebihi simpangan baku adalah sebesar 0,6826.

di titik E dan G, untuk dan , nilai fungsi f(x) sama dengan

dan peluang bahwa nilai absolut simpangan suatu variabel acak berdistribusi normal dari ekspektasi matematisnya tidak akan melebihi dua kali simpangan baku adalah 0,9544.

Mendekati sumbu x secara asimtotik, kurva Gaussian di titik C dan D, di dan , mendekati sumbu x sangat dekat. Pada titik tersebut nilai fungsi f(x) sangat kecil

dan peluang bahwa nilai absolut simpangan suatu variabel acak berdistribusi normal dari ekspektasi matematisnya tidak akan melebihi tiga kali simpangan baku adalah 0,9973. Properti kurva Gaussian ini disebut " aturan tiga sigma".

Jika suatu variabel acak berdistribusi normal, maka nilai absolut simpangannya dari ekspektasi matematis tidak melebihi tiga kali simpangan baku.

Mengubah nilai parameter a (ekspektasi matematis suatu variabel acak) tidak mengubah bentuk kurva normal, tetapi hanya menyebabkan perpindahannya sepanjang sumbu X: ke kanan jika a bertambah, dan ke kiri jika a berkurang.

Jika a=0, kurva normalnya simetris terhadap ordinat.

Mengubah nilai parameter (deviasi standar) mengubah bentuk kurva normal: dengan meningkatnya ordinat kurva normal, kurva tersebut berkurang, kurva membentang sepanjang sumbu X dan menekannya. Semakin menurun, ordinat kurva normal bertambah, kurva menyusut sepanjang sumbu X dan menjadi lebih “runcing”.

Pada saat yang sama, untuk nilai apa pun dan luas yang dibatasi oleh kurva normal dan sumbu X tetap sama dengan satu (yaitu, probabilitas bahwa variabel acak yang terdistribusi normal akan mengambil nilai yang dibatasi pada sumbu X dari kurva normal sama dengan 1).

Distribusi normal dengan parameter arbitrer dan , yaitu dijelaskan oleh fungsi diferensial

ditelepon distribusi normal umum.

Distribusi normal dengan parameter disebut distribusi yang dinormalisasi(Gbr. 8). Dalam distribusi ternormalisasi, fungsi distribusi diferensial sama dengan:

Beras. 8 Kurva yang dinormalisasi

Fungsi kumulatif dari distribusi normal umum berbentuk:

Biarkan variabel acak X terdistribusi menurut hukum normal pada interval (c, d). Maka peluang X mengambil nilai yang termasuk dalam interval (c, d) adalah sama dengan

Contoh. Variabel acak X terdistribusi menurut hukum normal. Ekspektasi matematis dan deviasi standar dari variabel acak ini sama dengan a=30 dan . Tentukan peluang X akan mengambil nilai pada interval (10, 50).

Dengan syarat: . Kemudian

Menggunakan tabel Laplace yang sudah jadi (lihat Lampiran 3), kami punya.

Definisi 1

Variabel acak $X$ berdistribusi normal (distribusi Gaussian) jika kepadatan distribusinya ditentukan dengan rumus:

\[\varphi \kiri(x\kanan)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

Di sini $aϵR$ adalah ekspektasi matematis, dan $\sigma >0$ adalah deviasi standar.

Kepadatan distribusi normal.

Mari kita tunjukkan bahwa fungsi ini memang merupakan kepadatan distribusi. Untuk melakukannya, mari kita periksa kondisi berikut:

Pertimbangkan integral tak wajar $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a)) ^ 2)(2(\sigma )^2))dx)$.

Mari kita lakukan penggantian: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

Karena $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ adalah fungsi genap, maka

Persamaan terpenuhi, yang berarti fungsi $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2 )(2 (\sigma )^2))$ memang merupakan kepadatan distribusi beberapa variabel acak.

Mari kita pertimbangkan beberapa sifat sederhana dari fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal $\varphi \left(x\right)$:

1. Grafik fungsi kepadatan probabilitas berdistribusi normal simetris terhadap garis lurus $x=a$.
2. Fungsi $\varphi \left(x\right)$ mencapai maksimum pada $x=a$, dan $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
3. Fungsi $\varphi \left(x\right)$ menurun jika $x>a$ dan meningkat jika $x
4. Fungsi $\varphi \left(x\right)$ memiliki titik belok di $x=a+\sigma $ dan $x=a-\sigma $.
5. Fungsi $\varphi \left(x\right)$ mendekati sumbu $Ox$ secara asimtotik sebagai $x\to \pm \infty $.
6. Grafik skemanya terlihat seperti ini (Gambar 1).

Gambar 1. Gambar. 1. Grafik kepadatan distribusi normal

Perhatikan bahwa jika $a=0$, maka grafik fungsinya simetris terhadap sumbu $Oy$. Oleh karena itu, fungsi $\varphi \left(x\right)$ adalah genap.

Fungsi distribusi probabilitas normal.

Untuk mencari fungsi distribusi probabilitas pada distribusi normal, kita menggunakan rumus berikut:

Karena itu,

Definisi 2

Fungsi $F(x)$ disebut berdistribusi normal baku jika $a=0,\ \sigma =1$, yaitu:

Di sini $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ - Fungsi Laplace.

Definisi 3

Fungsi $Ф\kiri(x\kanan)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ disebut integral probabilitas.

Ciri-ciri numerik berdistribusi normal.

Ekspektasi matematis: $M\left(X\right)=a$.

Varians: $D\left(X\right)=(\sigma )^2$.

Distribusi kuadrat rata-rata: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

Contoh 1

Contoh penyelesaian masalah pada konsep distribusi normal.

Masalah 1: Panjang jalur $X$ adalah variabel kontinu acak. $X$ didistribusikan menurut hukum distribusi normal, nilai rata-ratanya sama dengan $4$ kilometer, dan deviasi standarnya sama dengan $100$ meter.

1. Temukan fungsi kepadatan distribusi $X$.
2. Gambarlah grafik skema kepadatan distribusi.
3. Temukan fungsi distribusi variabel acak $X$.
4. Temukan variansnya.

1. Untuk memulainya, mari kita bayangkan semua besaran dalam satu dimensi: 100m=0,1km

Dari Definisi 1 kita peroleh:

\[\varphi \kiri(x\kanan)=\frac(1)(0,1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0,02 ))\]

(karena $a=4\ km,\ \sigma =0,1\ km)$

1. Dengan menggunakan sifat-sifat fungsi kepadatan distribusi, kita mendapatkan bahwa grafik fungsi $\varphi \left(x\right)$ adalah simetris terhadap garis lurus $x=4$.

Fungsi mencapai maksimumnya di titik $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt( 2\pi )))$

Grafik skemanya terlihat seperti:

Gambar 2.

1. Berdasarkan definisi fungsi distribusi $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac( -( (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$, kita punya:

1. $D\kiri(X\kanan)=(\sigma )^2=0,01$.