Tanda kurang ganda. Ingat tanda “lebih besar dari” dan “kurang dari”! Cara paling sederhana

Seiring dengan operasi aritmatika, ada pengenalan dengan konsep-konsep abstrak seperti "lebih", "kurang" dan "sama". Tidak akan sulit bagi seorang anak untuk menentukan sisi mana yang bendanya lebih banyak dan sisi mana yang bendanya lebih sedikit. Namun pemasangan rambu terkadang menimbulkan kesulitan. Metode permainan akan membantu Anda mempelajari tanda-tandanya.

"Burung Lapar"

Untuk memainkan permainan ini Anda memerlukan tanda - paruh terbuka (tanda "lebih"). Anda bisa memotongnya dari karton atau membuat model besar dari piring sekali pakai. Untuk menarik perhatian bayi, Anda bisa merekatkan atau menambahkan mata, bulu, dan membuat mulutnya terbuka .

Penjelasannya dimulai dengan beberapa latar belakang: “Burung ini kecil dan suka makan enak. Apalagi dia selalu memilih tumpukan yang berisi makanan paling banyak.”

Setelah itu, terlihat jelas bahwa burung tersebut membuka paruhnya ke sisi yang terdapat lebih banyak benda.

Selanjutnya, informasi yang diterima dikonsolidasikan: tumpukan biji-bijian diletakkan di atas meja, dan anak menentukan ke arah mana burung itu akan memutar paruhnya. . Jika pertama kali Anda tidak dapat memposisikannya dengan benar, Anda perlu membantu dengan mengatakan lagi bahwa mulut terbuka ke arah lebih banyak makanan. Kemudian Anda dapat menawarkan beberapa tugas serupa: angka-angka ditulis di selembar kertas, Anda harus merekatkan paruhnya dengan benar.

Contohnya bisa didiversifikasi dengan mengganti burung dengan tombak, buaya, atau predator lain yang juga membuka mulutnya ke arah jumlah yang lebih banyak.

Mungkin ada situasi yang tidak biasa ketika jumlah item di kedua tumpukan sama. Jika seorang anak memperhatikan hal ini, itu berarti dia penuh perhatian.

Anda pasti harus memuji ini , lalu tunjukkan 2 garis yang identik dan jelaskan bahwa keduanya sama dengan banyaknya benda dalam tumpukan tersebut, dan karena banyaknya benda sama, maka tandanya disebut “sama”.

panah

Tanda-tanda dapat dijelaskan kepada anak sekolah kecil dengan membandingkannya dengan anak panah yang menunjuk ke arah yang berbeda.

Kesulitan mungkin timbul saat membaca ekspresi. Namun kesulitan ini juga dapat diatasi: dengan menempatkan tanda dengan benar, dia akan dapat membaca ekspresi dengan benar . Setelah menyelesaikan beberapa latihan, anak Anda akan ingat bahwa panah yang menunjuk ke kiri melambangkan tanda kurang dari. Jika dia menunjuk ke kanan, maka tandanya berbunyi: “lebih.”

Latihan konsolidasi

Setelah menjelaskan aturan penempatan tanda, Anda perlu berlatih melakukan tugas serupa.

Untuk tujuan ini, tugas jenis ini cocok:

1. "Beri tanda" (4 dan 5 – diperlukan tanda kurang dari).
2. "Kurang lebih" - anak menunjukkan tanda dengan ibu jari dan telunjuk kedua tangannya, membandingkan ukuran berbagai benda atau jumlahnya (pesawat lebih besar dari capung, stroberi lebih kecil dari semangka).
3. "Nomor berapa" — ada tandanya, ada angka yang tertulis di satu sisi, Anda perlu menebak angka apa yang ada di sisi lainnya (dalam ungkapan “_<5» на месте пропуска могут стоять числа 0 – 4).
4. "Tambahkan nomornya" — Anda harus menempatkan angka dengan benar di kiri dan kanan tanda yang ditunjukkan (angka 8 berada di sebelah kiri tanda “lebih besar dari”, dan angka 2 di sebelah kanan).

Untuk mengembangkan logika dan pemikiran, Anda dapat melengkapi latihan dengan tugas-tugas berikut:

• “Dari arah mana benda itu lari?” — Digambar 3 buah segitiga di sebelah kiri, 2 buah persegi di sebelah kanan, dan di antara keduanya ada tanda “=”. Anak harus menebak bahwa tidak ada cukup persegi di sebelah kanan agar persamaan tersebut benar. Jika Anda tidak dapat langsung melakukannya, Anda dapat menyelesaikan soal secara praktis dengan menambahkan segitiga ke kiri terlebih dahulu, lalu menambahkan persegi ke kanan.
• “Apa yang perlu dilakukan untuk memperbaiki kesenjangan?” — dengan mempertimbangkan situasinya, anak menentukan benda samping mana yang perlu dihilangkan atau ditambahkan agar tanda itu berdiri dengan benar.

Pelajaran info video akan memberi tahu Anda tentang tanda-tanda: lebih besar dari, kurang dari dan sama dengan

Aljabar abstrak menggunakan seluruh simbol untuk menyederhanakan dan mempersingkat teks, serta notasi standar untuk beberapa kelompok. Di bawah ini adalah daftar notasi aljabar yang paling umum, perintah terkait di ... Wikipedia

Notasi matematika adalah simbol yang digunakan untuk menulis persamaan dan rumus matematika secara kompak. Selain angka dan huruf dari berbagai alfabet (Latin, termasuk gaya Gotik, Yunani dan Ibrani), ... ... Wikipedia

Artikel ini berisi daftar singkatan fungsi matematika, operator, dan istilah matematika lainnya yang umum digunakan. Isi 1 Singkatan 1.1 Latin 1.2 Alfabet Yunani ... Wikipedia

Unicode, atau Unicode, adalah standar pengkodean karakter yang memungkinkan Anda merepresentasikan karakter dari hampir semua bahasa tertulis. Standar ini diusulkan pada tahun 1991 oleh organisasi nirlaba Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Daftar simbol tertentu yang digunakan dalam matematika dapat dilihat pada artikel Tabel simbol matematika Notasi matematika (“bahasa matematika”) adalah sistem notasi grafik kompleks yang digunakan untuk menyajikan abstrak ... ... Wikipedia

Istilah ini mempunyai arti lain, lihat Plus minus (arti). ± ∓ Tanda plus minus (±) adalah simbol matematika yang ditempatkan di depan suatu ekspresi dan berarti nilai ekspresi tersebut dapat berupa positif atau ... Wikipedia

Penting untuk memeriksa kualitas terjemahan dan menyesuaikan artikel dengan aturan gaya Wikipedia. Anda dapat membantu... Wikipedia

Atau simbol matematika adalah tanda yang melambangkan operasi matematika tertentu beserta argumennya. Yang paling umum meliputi: Plus: + Minus: , − Tanda perkalian: ×, ∙ Tanda pembagian: :, ∕, − Naikkan masuk... ... Wikipedia

Tanda operasi atau simbol matematika adalah tanda yang melambangkan operasi matematika tertentu beserta argumennya. Yang paling umum adalah: Plus: + Minus: , − Tanda perkalian: ×, ∙ Tanda pembagian: :, ∕, − Tanda konstruksi... ... Wikipedia

Perkembangan simbolisme matematika erat kaitannya dengan perkembangan konsep dan metode matematika secara umum. Pertama Tanda-tanda matematika ada tanda untuk menggambarkan angka - angka, yang kemunculannya rupanya mendahului penulisan. Sistem penomoran paling kuno - Babilonia dan Mesir - muncul pada awal 3 1/2 milenium SM. e.

Pertama Tanda-tanda matematika untuk jumlah sewenang-wenang muncul jauh kemudian (mulai dari abad ke 5-4 SM) di Yunani. Besaran (luas, volume, sudut) digambarkan dalam bentuk segmen, dan hasil kali dua besaran homogen sembarang digambarkan dalam bentuk persegi panjang yang dibangun pada segmen yang bersesuaian. dalam "Prinsip" Euclid (abad ke-3 SM) besaran dilambangkan dengan dua huruf - huruf awal dan akhir dari segmen yang bersesuaian, dan terkadang hanya satu. kamu Archimedes (abad ke-3 SM) metode terakhir menjadi umum. Sebutan seperti itu mengandung kemungkinan berkembangnya kalkulus huruf. Namun, dalam matematika kuno klasik, kalkulus huruf tidak diciptakan.

Awal mula representasi huruf dan kalkulus muncul pada akhir era Helenistik sebagai hasil pembebasan aljabar dari bentuk geometris. Diophantus (mungkin abad ke-3) tercatat tidak diketahui ( X) dan derajatnya dengan tanda sebagai berikut:

[ - dari istilah Yunani dunamiV (dinamis - kekuatan), yang menunjukkan kuadrat yang tidak diketahui, - dari bahasa Yunani cuboV (k_ybos) - kubus]. Di sebelah kanan yang tidak diketahui atau pangkatnya, Diophantus menulis koefisien, misalnya digambarkan 3 x 5

(di mana = 3). Saat menjumlahkan, Diophantus menghubungkan suku-suku tersebut satu sama lain, dan menggunakan tanda khusus untuk pengurangan; Diophantus melambangkan kesetaraan dengan huruf i [dari bahasa Yunani isoV (isos) - sama dengan]. Misalnya persamaan

(X 3 + 8X) - (5X 2 + 1) =X

Diophantus akan menulisnya seperti ini:

(Di Sini

berarti satuan tersebut tidak mempunyai pengali berupa pangkat yang tidak diketahui).

Beberapa abad kemudian, orang India memperkenalkan berbagai macam Tanda-tanda matematika untuk beberapa yang tidak diketahui (singkatan dari nama warna yang menunjukkan tidak diketahui), kuadrat, akar kuadrat, pengurang. Jadi, persamaannya

3X 2 + 10X - 8 = X 2 + 1

Dalam rekaman Brahmagupta (abad ke-7) akan terlihat seperti:

Ya va 3 ya 10 ru 8

Ya va 1 ya 0 ru 1

(ya - dari yawat - tawat - tidak diketahui, va - dari varga - bilangan kuadrat, ru - dari rupa - koin rupee - suku bebas, titik di atas bilangan berarti bilangan yang dikurangi).

Penciptaan simbolisme aljabar modern dimulai pada abad 14-17; itu ditentukan oleh keberhasilan aritmatika praktis dan studi persamaan. Di berbagai negara mereka muncul secara spontan Tanda-tanda matematika untuk beberapa tindakan dan untuk kekuatan yang besarnya tidak diketahui. Berpuluh-puluh tahun dan bahkan berabad-abad berlalu sebelum satu atau beberapa simbol nyaman dikembangkan. Jadi, pada akhir tanggal 15 dan. N. Shuke dan saya. Pacioli menggunakan tanda penjumlahan dan pengurangan

(dari bahasa Latin plus dan minus), matematikawan Jerman memperkenalkan + modern (mungkin singkatan dari bahasa Latin et) dan -. Kembali pada abad ke-17. Anda dapat menghitung sekitar selusin Tanda-tanda matematika untuk tindakan perkalian.

Ada juga yang berbeda Tanda-tanda matematika tidak diketahui dan derajatnya. Pada abad ke-16 - awal abad ke-17. lebih dari sepuluh notasi bersaing untuk kuadrat yang tidak diketahui saja, mis. se(dari sensus - istilah Latin yang berfungsi sebagai terjemahan dari bahasa Yunani dunamiV, Q(dari kuadratum), , A (2), , Aii, A A, sebuah 2 dll. Jadi, persamaannya

x 3 + 5 X = 12

matematikawan Italia G. Cardano (1545) akan berbentuk:

dari matematikawan Jerman M. Stiefel (1544):

dari matematikawan Italia R. Bombelli (1572):

Matematikawan Perancis F. Vieta (1591):

dari matematikawan Inggris T. Harriot (1631):

Pada abad ke-16 dan awal abad ke-17. tanda sama dengan dan tanda kurung digunakan: persegi (R. bomelli , 1550), bulat (N. Tartaglia, 1556), berpola (F. Vietnam, 1593). Pada abad ke-16 tampilan modern menerima notasi pecahan.

Sebuah langkah maju yang signifikan dalam pengembangan simbolisme matematika adalah pengenalan oleh Viet (1591) Tanda-tanda matematika untuk besaran konstan sembarang berupa huruf konsonan kapital abjad latin B, D, yang memberinya kesempatan untuk pertama kalinya menuliskan persamaan aljabar dengan koefisien sembarang dan mengoperasikannya. Viet menggambarkan hal yang tidak diketahui dengan vokal dalam huruf kapital A, E,... Misalnya rekaman Viet

Dalam simbol kami terlihat seperti ini:

x 3 + 3bx = D.

Viet adalah pencipta rumus aljabar. R. Descartes (1637) memberikan tanda-tanda aljabar tampilan modern, yang menunjukkan hal-hal yang tidak diketahui dengan huruf terakhir Lat. alfabet x, kamu, z, dan nilai data arbitrer - dengan huruf awal a, b, c. Rekor gelar saat ini adalah miliknya. Notasi Descartes memiliki keunggulan besar dibandingkan semua notasi sebelumnya. Oleh karena itu, mereka segera mendapat pengakuan universal.

Pengembangan lebih lanjut Tanda-tanda matematika terkait erat dengan penciptaan analisis yang sangat kecil, untuk pengembangan simbolisme yang sebagian besar dasarnya telah disiapkan dalam aljabar.

Tanggal asal beberapa simbol matematika

dan untuk peningkatan yang sangat kecil Hai. Agak sebelumnya J. Wallis (1655) mengusulkan tanda tak terhingga ¥.

Pencipta simbolisme modern kalkulus diferensial dan integral adalah G. Leibniz. Secara khusus, dia memiliki yang saat ini digunakan Tanda-tanda matematika perbedaan

dx,d 2 x,d 3 X

dan integral

Penghargaan yang sangat besar untuk menciptakan simbolisme matematika modern adalah milik L. Euler. Ia memperkenalkan (1734) ke dalam penggunaan umum tanda pertama suatu operasi variabel, yaitu tanda fungsi F(X) (dari fungsi Latin). Setelah karya Euler, tanda-tanda untuk banyak fungsi individual, seperti fungsi trigonometri, menjadi standar. Euler adalah penulis notasi konstanta e(dasar logaritma natural, 1736), p [mungkin dari bahasa Yunani perijereia (periphereia) - lingkaran, pinggiran, 1736], satuan imajiner

(dari bahasa Perancis imaginaire - imaginary, 1777, diterbitkan 1794).

Pada abad ke-19 peran simbolisme semakin meningkat. Pada saat ini, tanda-tanda nilai absolut |x| muncul. (KE. Weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), determinan

(A. Cayley, 1841), dll. Banyak teori yang muncul pada abad ke-19, misalnya kalkulus tensor, tidak dapat dikembangkan tanpa simbolisme yang sesuai.

Seiring dengan proses standardisasi yang ditentukan Tanda-tanda matematika dalam sastra modern sering ditemukan Tanda-tanda matematika, digunakan oleh masing-masing penulis hanya dalam lingkup penelitian ini.

Dari sudut pandang logika matematika, antara lain Tanda-tanda matematika Kelompok utama berikut dapat diuraikan: A) tanda-tanda benda, B) tanda-tanda operasi, C) tanda-tanda hubungan. Misalnya tanda 1, 2, 3, 4 melambangkan bilangan, yaitu benda-benda yang dipelajari secara aritmatika. Tanda penjumlahan + dengan sendirinya tidak mewakili objek apa pun; ia menerima isi pokok bahasan bila ditunjukkan bilangan mana yang dijumlahkan: notasi 1 + 3 melambangkan bilangan 4. Tanda > (lebih besar dari) merupakan tanda hubungan antar bilangan. Tanda relasi menerima isi yang benar-benar pasti bila ditunjukkan antara objek mana yang dianggap relasinya. Ke tiga kelompok utama yang terdaftar Tanda-tanda matematika berdekatan dengan yang keempat: D) ​​tanda bantu yang menetapkan urutan kombinasi tanda utama. Gagasan yang cukup tentang tanda-tanda tersebut diberikan oleh tanda kurung yang menunjukkan urutan tindakan.

Tanda-tanda masing-masing dari tiga kelompok A), B) dan C) ada dua jenis: 1) tanda-tanda individu dari objek, operasi dan hubungan yang terdefinisi dengan baik, 2) tanda-tanda umum dari objek, operasi yang “tidak dapat diubah” atau “tidak diketahui” dan hubungan.

Contoh tanda jenis pertama adalah (lihat juga tabel):

A 1) Penunjukan bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; angka transendental e dan hal; satuan imajiner Saya.

B 1) Tanda operasi hitung +, -, ·, ´,:; ekstraksi akar, diferensiasi

tanda-tanda jumlah (gabungan) È dan hasil kali (persimpangan) Ç dari himpunan; ini juga termasuk tanda-tanda fungsi individu sin, tg, log, dll.

1) Tanda sama dengan dan pertidaksamaan =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Tanda jenis kedua menggambarkan objek, operasi dan relasi arbitrer dari kelas atau objek tertentu, operasi dan relasi yang tunduk pada kondisi tertentu yang telah disepakati sebelumnya. Misalnya saat menulis identitas ( A + B)(A - B) = A 2 -B 2 huruf A Dan B mewakili angka arbitrer; ketika mempelajari ketergantungan fungsional pada = X 2 huruf X Dan kamu - bilangan arbitrer yang dihubungkan oleh hubungan tertentu; saat menyelesaikan persamaan

X menunjukkan bilangan apa pun yang memenuhi persamaan ini (sebagai hasil penyelesaian persamaan ini, kita mengetahui bahwa hanya dua kemungkinan nilai +1 dan -1 yang sesuai dengan kondisi ini).

Dari sudut pandang logis, adalah sah untuk menyebut tanda-tanda umum tersebut sebagai tanda-tanda variabel, seperti yang lazim dalam logika matematika, tanpa takut pada kenyataan bahwa “domain perubahan” suatu variabel dapat terdiri dari satu variabel. objek atau bahkan “kosong” (misalnya, dalam kasus persamaan, tanpa solusi). Contoh lebih lanjut dari jenis tanda ini dapat berupa:

A 2) Penunjukan titik, garis, bidang, dan bangun geometri yang lebih kompleks dengan huruf dalam geometri.

B 2) Sebutan F, , j untuk fungsi dan notasi kalkulus operator, bila dengan satu huruf L mewakili, misalnya, operator sembarang dalam bentuk:

Notasi untuk “hubungan variabel” kurang umum; hanya digunakan dalam logika matematika (lihat. Aljabar logika ) dan dalam studi matematika yang relatif abstrak, sebagian besar aksiomatik.

menyala.: Cajori., Sejarah notasi matematika, v. 1-2, Bab., 1928-29.

Artikel tentang kata " Tanda-tanda matematika" dalam Ensiklopedia Besar Soviet dibaca 39931 kali

Ketakterbatasan.J.Walis (1655).

Pertama kali ditemukan dalam risalah matematikawan Inggris John Valis "On Conic Sections".

Basis logaritma natural. L.Euler (1736).

Konstanta matematika, bilangan transendental. Nomor ini kadang-kadang dihubungi tidak berbulu untuk menghormati orang Skotlandia ilmuwan Napier, penulis karya “Deskripsi Tabel Logaritma yang Menakjubkan” (1614). Konstanta pertama kali muncul secara diam-diam dalam lampiran terjemahan bahasa Inggris dari karya Napier yang disebutkan di atas, yang diterbitkan pada tahun 1618. Konstanta itu sendiri pertama kali dihitung oleh ahli matematika Swiss Jacob Bernoulli ketika memecahkan masalah nilai batas pendapatan bunga.

2,71828182845904523...

Penggunaan konstanta ini yang pertama kali diketahui, yang dilambangkan dengan huruf B, ditemukan dalam surat Leibniz kepada Huygens, 1690-1691. Surat e Euler mulai menggunakannya pada tahun 1727, dan publikasi pertama dengan surat ini adalah karyanya “Mechanics, or the Science of Motion, Dijelaskan Secara Analitik” pada tahun 1736. Masing-masing, e biasa dipanggil bilangan Euler. Mengapa surat itu dipilih? e, tepatnya tidak diketahui. Mungkin ini karena kata itu diawali dengan itu eksponensial(“indikatif”, “eksponensial”). Asumsi lainnya adalah huruf A, B, C Dan D telah digunakan cukup luas untuk tujuan lain, dan e adalah surat "gratis" pertama.

Perbandingan keliling dengan diameter. W.Jones (1706), L.Euler (1736).

Konstanta matematika, bilangan irasional. Angka “pi”, nama lamanya adalah angka Ludolph. Seperti bilangan irasional lainnya, π direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak hingga:

π =3,141592653589793...

Untuk pertama kalinya, penunjukan angka ini dengan huruf Yunani π digunakan oleh ahli matematika Inggris William Jones dalam bukunya "A New Introduction to Mathematics", dan menjadi diterima secara umum setelah karya Leonhard Euler. Sebutan ini berasal dari huruf awal kata Yunani περιφερεια - lingkaran, pinggiran dan περιμετρος - keliling. Johann Heinrich Lambert membuktikan irasionalitas π pada tahun 1761, dan Adrienne Marie Legendre membuktikan irasionalitas π 2 pada tahun 1774. Legendre dan Euler berasumsi bahwa π bisa bersifat transendental, yaitu. tidak dapat memenuhi persamaan aljabar apa pun dengan koefisien bilangan bulat, yang akhirnya dibuktikan pada tahun 1882 oleh Ferdinand von Lindemann.

Satuan imajiner. L. Euler (1777, dalam cetakan - 1794).

Diketahui persamaan tersebut x 2 =1 memiliki dua akar: 1 Dan -1 . Satuan imajiner adalah salah satu dari dua akar persamaan x 2 = -1, dilambangkan dengan huruf latin Saya, akar lain: -Saya. Penunjukan ini diusulkan oleh Leonhard Euler, yang mengambil huruf pertama dari kata Latin untuk tujuan ini imajinasi(imajiner). Dia juga memperluas semua fungsi standar ke domain kompleks, yaitu. kumpulan angka yang dapat direpresentasikan sebagai a+ib, Di mana A Dan B- bilangan real. Istilah "bilangan kompleks" mulai digunakan secara luas oleh ahli matematika Jerman Carl Gauss pada tahun 1831, meskipun istilah tersebut sebelumnya telah digunakan dalam pengertian yang sama oleh ahli matematika Perancis Lazare Carnot pada tahun 1803.

Vektor satuan. W.Hamilton (1853).

Vektor satuan sering dikaitkan dengan sumbu koordinat suatu sistem koordinat (khususnya sumbu sistem koordinat Kartesius). Vektor satuan diarahkan sepanjang sumbu X, dilambangkan Saya, vektor satuan diarahkan sepanjang sumbu Y, dilambangkan J, dan vektor satuan diarahkan sepanjang sumbu Z, dilambangkan k. vektor Saya, J, k disebut vektor satuan, mereka mempunyai modul satuan. Istilah "ort" diperkenalkan oleh ahli matematika dan insinyur Inggris Oliver Heaviside (1892), dan notasinya Saya, J, k- Matematikawan Irlandia William Hamilton.

Bagian bilangan bulat dari bilangan tersebut, antie. K.Gauss (1808).

Bagian bilangan bulat dari bilangan [x] dari bilangan x adalah bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. Jadi, =5, [-3,6]=-4. Fungsi [x] disebut juga "antier dari x". Simbol fungsi seluruh bagian diperkenalkan oleh Carl Gauss pada tahun 1808. Beberapa ahli matematika lebih suka menggunakan notasi E(x), yang diusulkan pada tahun 1798 oleh Legendre.

Sudut paralelisme. N.I. Lobachevsky (1835).

Pada bidang Lobachevsky - sudut antara garis lurusB, melewati titik tersebutTENTANGsejajar dengan garisA, tidak mengandung poinTENTANG, dan tegak lurus dariTENTANG pada A. α - panjang tegak lurus ini. Saat intinya menjauhTENTANG dari garis lurus Asudut paralelisme berkurang dari 90° menjadi 0°. Lobachevsky memberikan rumus sudut paralelismeP( α )=2arctg e - α /Q , Di mana Q— beberapa konstanta yang terkait dengan kelengkungan ruang Lobachevsky.

Besaran yang tidak diketahui atau berubah-ubah. R.Descartes (1637).

Dalam matematika, variabel adalah besaran yang dicirikan oleh himpunan nilai yang dapat diambilnya. Ini mungkin berarti kuantitas fisik nyata, yang untuk sementara dianggap terpisah dari konteks fisiknya, dan beberapa kuantitas abstrak yang tidak memiliki analogi di dunia nyata. Konsep variabel muncul pada abad ke-17. awalnya di bawah pengaruh tuntutan ilmu pengetahuan alam, yang mengedepankan studi tentang gerak, proses, dan bukan hanya keadaan. Konsep ini membutuhkan bentuk-bentuk baru untuk ekspresinya. Bentuk baru tersebut adalah aljabar huruf dan geometri analitik Rene Descartes. Untuk pertama kalinya, sistem koordinat persegi panjang dan notasi x, y diperkenalkan oleh Rene Descartes dalam karyanya “Discourse on Method” pada tahun 1637. Pierre Fermat juga berkontribusi pada pengembangan metode koordinat, namun karyanya pertama kali diterbitkan setelah kematiannya. Descartes dan Fermat hanya menggunakan metode koordinat di pesawat. Metode koordinat untuk ruang tiga dimensi pertama kali digunakan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18.

Vektor. O.Cauchy (1853).

Sejak awal, vektor dipahami sebagai suatu benda yang memiliki besaran, arah, dan (opsional) titik penerapan. Awal mula kalkulus vektor muncul bersamaan dengan model geometri bilangan kompleks di Gauss (1831). Hamilton menerbitkan operasi yang dikembangkan dengan vektor sebagai bagian dari kalkulus angka empat (vektor dibentuk oleh komponen imajiner dari angka empat). Hamilton mengusulkan istilah tersebut vektor(dari kata Latin vektor, pembawa) dan menjelaskan beberapa operasi analisis vektor. Maxwell menggunakan formalisme ini dalam karyanya tentang elektromagnetisme, sehingga menarik perhatian para ilmuwan pada kalkulus baru. Elemen Analisis Vektor Gibbs (1880-an) segera diterbitkan, dan kemudian Heaviside (1903) memberikan analisis vektor tampilan modernnya. Tanda vektor sendiri mulai digunakan oleh matematikawan Perancis Augustin Louis Cauchy pada tahun 1853.

Penambahan, pengurangan. J.Widman (1489).

Tanda plus dan minus tampaknya ditemukan di sekolah matematika “Kossists” Jerman (yaitu, ahli aljabar). Mereka digunakan dalam buku teks Jan (Johannes) Widmann, A Quick and Pleasant Account for All Merchants, yang diterbitkan pada tahun 1489. Sebelumnya, penambahan dilambangkan dengan huruf P(dari bahasa Latin plus"lebih") atau kata Latin et(konjungsi “dan”), dan pengurangan - huruf M(dari bahasa Latin dikurangi"kurang, kurang") Bagi Widmann, simbol plus tidak hanya menggantikan penjumlahan, tetapi juga konjungsi “dan”. Asal usul simbol-simbol ini tidak jelas, namun kemungkinan besar simbol-simbol tersebut sebelumnya digunakan dalam perdagangan sebagai indikator untung dan rugi. Kedua simbol tersebut segera menjadi umum di Eropa - kecuali Italia, yang terus menggunakan sebutan lama selama sekitar satu abad.

Perkalian. W.Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Tanda perkalian berbentuk salib miring diperkenalkan pada tahun 1631 oleh orang Inggris William Oughtred. Sebelum dia, surat itu paling sering digunakan M, meskipun notasi lain juga diusulkan: simbol persegi panjang (matematikawan Perancis Erigon, 1634), asterisk (matematikawan Swiss Johann Rahn, 1659). Belakangan, Gottfried Wilhelm Leibniz mengganti tanda silang dengan titik (akhir abad ke-17) agar tidak tertukar dengan huruf. X; sebelum dia, simbolisme serupa ditemukan di antara astronom dan matematikawan Jerman Regiomontanus (abad ke-15) dan ilmuwan Inggris Thomas Herriot (1560 -1621).

Divisi. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Oughtred menggunakan garis miring / sebagai tanda pembagian. Gottfried Leibniz mulai menunjukkan pembagian dengan titik dua. Sebelumnya, surat itu juga sering digunakan D. Dimulai dengan Fibonacci, juga digunakan garis pecahan horizontal, yang digunakan oleh Heron, Diophantus dan dalam karya-karya Arab. Di Inggris dan Amerika Serikat, simbol (obelus), yang diusulkan oleh Johann Rahn (mungkin dengan partisipasi John Pell) pada tahun 1659, tersebar luas. Upaya yang dilakukan oleh Komite Nasional Standar Matematika Amerika ( Komite Nasional Persyaratan Matematika) untuk menghapus obelus dari praktik (1923) tidak berhasil.

Persen. M.de la Porte (1685).

Seperseratus dari keseluruhan, diambil sebagai satu kesatuan. Kata “persen” sendiri berasal dari bahasa latin “pro centum” yang berarti “per seratus”. Pada tahun 1685, buku “Manual of Commercial Arithmetic” oleh Mathieu de la Porte diterbitkan di Paris. Di satu tempat mereka berbicara tentang persentase, yang kemudian disebut “cto” (kependekan dari cento). Namun, juru ketik salah mengira "cto" ini sebagai pecahan dan mencetak "%". Jadi karena salah ketik, tanda ini mulai digunakan.

Derajat. R.Descartes (1637), I.Newton (1676).

Notasi modern untuk eksponen diperkenalkan oleh Rene Descartes dalam karyanya “ Geometri"(1637), namun, hanya untuk pangkat alami dengan eksponen lebih besar dari 2. Belakangan, Isaac Newton memperluas bentuk notasi ini ke eksponen negatif dan pecahan (1676), yang interpretasinya telah diusulkan saat ini: ahli matematika Flemish dan insinyur Simon Stevin, ahli matematika Inggris John Wallis dan ahli matematika Perancis Albert Girard.

Akar aritmatika N pangkat -th dari bilangan real A≥0, - bilangan non-negatif N derajat -th yang sama dengan A. Akar aritmatika derajat ke-2 disebut akar kuadrat dan dapat ditulis tanpa menunjukkan derajat: √. Akar aritmatika derajat ke-3 disebut akar pangkat tiga. Matematikawan abad pertengahan (misalnya, Cardano) melambangkan akar kuadrat dengan simbol R x (dari bahasa Latin Akar, akar). Notasi modern pertama kali digunakan oleh matematikawan Jerman Christoph Rudolf, dari aliran Cossist, pada tahun 1525. Simbol ini berasal dari huruf pertama dari kata yang sama akar. Pada awalnya tidak ada garis di atas ekspresi radikal; itu kemudian diperkenalkan oleh Descartes (1637) untuk tujuan yang berbeda (bukan tanda kurung), dan fitur ini segera digabungkan dengan tanda akar. Pada abad ke-16, akar pangkat tiga dilambangkan sebagai berikut: R x .u.cu (dari lat. Radix universalis kubika). Albert Girard (1629) mulai menggunakan notasi familiar untuk akar derajat sembarang. Format ini didirikan berkat Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.

Logaritma, logaritma desimal, logaritma natural. I.Kepler (1624), B.Cavalieri (1632), A.Prinsheim (1893).

Istilah "logaritma" milik ahli matematika Skotlandia John Napier ( “Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan”, 1614); itu muncul dari kombinasi kata Yunani λογος (kata, hubungan) dan αριθμος (angka). Logaritma J. Napier adalah bilangan bantu untuk mengukur perbandingan dua bilangan. Definisi modern tentang logaritma pertama kali diberikan oleh matematikawan Inggris William Gardiner (1742). Menurut definisi, logaritma suatu bilangan B berdasarkan A (A ≠ 1, sebuah > 0) - eksponen M, ke mana nomor tersebut harus dinaikkan A(disebut basis logaritma) untuk mendapatkan B. Ditunjuk catatan ab. Jadi, m = catatan a B, Jika saya = b.

Tabel logaritma desimal pertama diterbitkan pada tahun 1617 oleh profesor matematika Oxford Henry Briggs. Oleh karena itu, di luar negeri, logaritma desimal sering disebut logaritma Briggs. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Pietro Mengoli (1659) dan Nicholas Mercator (1668), meskipun guru matematika London John Spidell menyusun tabel logaritma natural pada tahun 1619.

Sebelum akhir XIX abad tidak ada notasi yang diterima secara umum untuk logaritma, basisnya A ditunjukkan di kiri dan di atas simbol catatan, lalu di atasnya. Pada akhirnya, para ahli matematika sampai pada kesimpulan bahwa tempat paling tepat untuk alas adalah di bawah garis, setelah simbol catatan. Tanda logaritma - hasil singkatan dari kata "logaritma" - terdapat pada berbagai jenis hampir bersamaan dengan munculnya tabel logaritma pertama, misalnya Catatan- oleh I. Kepler (1624) dan G. Briggs (1631), catatan- oleh B.Cavalieri (1632). Penamaan dalam karena logaritma natural diperkenalkan oleh matematikawan Jerman Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, cosinus, tangen, kotangen. W. Outred (pertengahan abad ke-17), I. Bernoulli (abad ke-18), L. Euler (1748, 1753).

Singkatan sinus dan cosinus diperkenalkan oleh William Oughtred pada pertengahan abad ke-17. Singkatan dari tangen dan kotangen: tg, ctg diperkenalkan oleh Johann Bernoulli pada abad ke-18, mereka tersebar luas di Jerman dan Rusia. Di negara lain, nama fungsi ini digunakan tan, ranjang bayi diusulkan oleh Albert Girard bahkan lebih awal, pada awal abad ke-17. Leonhard Euler (1748, 1753) membawa teori fungsi trigonometri ke dalam bentuk modernnya, dan kita berhutang budi padanya atas konsolidasi simbolisme yang sebenarnya.Istilah "fungsi trigonometri" diperkenalkan oleh matematikawan dan fisikawan Jerman Georg Simon Klügel pada tahun 1770.

Matematikawan India awalnya menyebut garis sinus "arha-jiva"(“setengah senar”, yaitu setengah akord), lalu kata "archa" dibuang dan garis sinus mulai disebut sederhana "jiva". Penerjemah bahasa Arab tidak menerjemahkan kata tersebut "jiva" kata Arab "vatar", yang menunjukkan string dan akord, dan ditranskripsikan dalam huruf Arab dan mulai disebut garis sinus "jiba". Karena dalam bahasa Arab tidak ada huruf vokal pendek yang diberi tanda, melainkan huruf “i” yang panjang pada kata tersebut "jiba" dilambangkan dengan cara yang sama dengan semivokal “th”, orang Arab mulai mengucapkan nama garis sinus "hinaan", yang secara harfiah berarti “berongga”, “sinus”. Saat menerjemahkan karya Arab ke Latin, penerjemah Eropa menerjemahkan kata tersebut "hinaan" kata Latin sinus, mempunyai arti yang sama.Istilah "singgung" (dari lat.garis singgung- menyentuh) diperkenalkan oleh ahli matematika Denmark Thomas Fincke dalam bukunya The Geometry of the Round (1583).

Arcsinus. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Fungsi trigonometri terbalik adalah fungsi matematika yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri. Nama fungsi trigonometri invers dibentuk dari nama fungsi trigonometri yang bersangkutan dengan menambahkan awalan “arc” (dari bahasa Lat. busur- busur).Fungsi trigonometri terbalik biasanya mencakup enam fungsi: arcsinus (arcsin), arccosine (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) dan arccosecant (arccosec). Simbol khusus fungsi trigonometri terbalik pertama kali digunakan oleh Daniel Bernoulli (1729, 1736).Cara menyatakan fungsi trigonometri terbalik dengan menggunakan awalan busur(dari lat. arcus, arc) muncul bersama ahli matematika Austria Karl Scherfer dan dikonsolidasikan berkat ahli matematika, astronom, dan mekanik Prancis Joseph Louis Lagrange. Artinya, misalnya, sinus biasa memungkinkan seseorang menemukan tali busur yang menghubungkannya di sepanjang busur lingkaran, dan fungsi invers menyelesaikan masalah sebaliknya. Hingga akhir abad ke-19, sekolah matematika Inggris dan Jerman mengusulkan notasi lain: sin -1 dan 1/sin, tetapi penggunaannya tidak luas.

Sinus hiperbolik, kosinus hiperbolik. V.Riccati (1757).

Sejarawan menemukan kemunculan pertama fungsi hiperbolik dalam karya matematikawan Inggris Abraham de Moivre (1707, 1722). Definisi modern dan studi rinci tentangnya dilakukan oleh Vincenzo Riccati dari Italia pada tahun 1757 dalam karyanya “Opusculorum”, ia juga mengusulkan sebutannya: SH,bab. Riccati memulai dari mempertimbangkan satuan hiperbola. Penemuan independen dan studi lebih lanjut tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik dilakukan oleh matematikawan, fisikawan, dan filsuf Jerman Johann Lambert (1768), yang menetapkan paralelisme luas dari rumus trigonometri biasa dan hiperbolik. N.I. Lobachevsky kemudian menggunakan paralelisme ini dalam upayanya membuktikan konsistensi geometri non-Euclidean, di mana trigonometri biasa digantikan oleh trigonometri hiperbolik.

Sama seperti sinus dan kosinus trigonometri yang merupakan koordinat suatu titik pada lingkaran koordinat, sinus dan kosinus hiperbolik adalah koordinat suatu titik pada hiperbola. Fungsi hiperbolik dinyatakan dalam bentuk eksponensial dan berkaitan erat dengan fungsi trigonometri: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(ex +e -x). Dengan analogi fungsi trigonometri, tangen hiperbolik dan kotangen didefinisikan sebagai rasio masing-masing sinus dan kosinus hiperbolik, kosinus dan sinus.

Diferensial. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1684).

Bagian utama dan linier dari kenaikan fungsi.Jika fungsinya kamu=f(x) satu variabel x ada di x=x 0turunan, dan kenaikanΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)fungsi f(x) dapat direpresentasikan dalam bentukΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , dimana anggotanya R sangat kecil dibandingkan denganΔx. Anggota pertamady=f"(x 0 )Δxdalam ekspansi ini dan disebut diferensial fungsi f(x) pada intinyax 0. DI DALAM karya Gottfried Leibniz, Jacob dan Johann Bernoulli kata"perbedaan"digunakan dalam arti “kenaikan”, dilambangkan oleh I. Bernoulli melalui Δ. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1684) menggunakan notasi untuk “perbedaan yang sangat kecil”D- huruf pertama dari kata tersebut"diferensial", dibentuk olehnya dari"perbedaan".

Integral tak tentu. G. Leibniz (1675, diterbitkan 1686).

Kata "integral" pertama kali digunakan di media cetak oleh Jacob Bernoulli (1690). Mungkin istilah tersebut berasal dari bahasa Latin bilangan bulat- utuh. Menurut asumsi lain, dasarnya adalah kata Latin integro- kembalikan ke keadaan sebelumnya, pulihkan. Tanda ∫ digunakan untuk mewakili integral dalam matematika dan merupakan representasi bergaya dari huruf pertama dari kata Latin ringkasan - jumlah. Ini pertama kali digunakan oleh matematikawan Jerman dan pendiri kalkulus diferensial dan integral, Gottfried Leibniz, pada akhir abad ke-17. Pendiri kalkulus diferensial dan integral lainnya, Isaac Newton, tidak mengusulkan simbolisme alternatif untuk integral dalam karyanya, meskipun ia mencoba berbagai pilihan: garis vertikal di atas fungsi atau simbol persegi yang berdiri di depan fungsi atau berbatasan dengannya. Integral tak tentu suatu fungsi kamu=f(x) adalah himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu.

Integral pasti. J.Fourier (1819-1822).

Integral pasti suatu fungsi f(x) dengan batas bawah A dan batas atas B dapat didefinisikan sebagai perbedaan F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Di mana F(x)- beberapa antiturunan dari suatu fungsi f(x) . Integral pasti a ∫ b f(x)dx secara numerik sama dengan luas bangun yang dibatasi oleh sumbu x dan garis lurus x=sebuah Dan x=b dan grafik fungsinya f(x). Desain integral tertentu dalam bentuk yang kita kenal diusulkan oleh matematikawan dan fisikawan Perancis Jean Baptiste Joseph Fourier di awal XIX abad.

Turunan. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivatif adalah konsep dasar kalkulus diferensial, yang mencirikan laju perubahan suatu fungsi f(x) ketika argumennya berubah X . Ini didefinisikan sebagai batas rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumennya karena kenaikan argumen cenderung nol, jika batas tersebut ada. Suatu fungsi yang mempunyai turunan berhingga pada suatu titik disebut terdiferensiasi pada titik tersebut. Proses menghitung turunannya disebut diferensiasi. Proses sebaliknya adalah integrasi. Dalam kalkulus diferensial klasik, turunan paling sering didefinisikan melalui konsep teori limit, namun secara historis teori limit muncul setelah kalkulus diferensial.

Istilah “turunan” diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun 1797, denotasi turunan dengan menggunakan guratan juga digunakan olehnya (1770, 1779), dan mati/dx- Gottfried Leibniz pada tahun 1675. Cara menyatakan turunan waktu dengan titik di atas huruf berasal dari Newton (1691).Istilah Rusia “turunan suatu fungsi” pertama kali digunakan oleh seorang ahli matematika RusiaVasily Ivanovich Viskovatov (1779-1812).

Turunan parsial. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Untuk fungsi banyak variabel, turunan parsial didefinisikan - turunan terhadap salah satu argumen, dihitung dengan asumsi bahwa argumen lainnya konstan. Sebutan ∂f/ ∂ X, ∂ z/ ∂ kamu diperkenalkan oleh matematikawan Perancis Adrien Marie Legendre pada tahun 1786; FX",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ X ∂ kamu- turunan parsial orde kedua - matematikawan Jerman Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Perbedaan, peningkatan. I. Bernoulli (akhir abad ke-17 - paruh pertama abad ke-18), L. Euler (1755).

Penunjukan kenaikan dengan huruf Δ pertama kali digunakan oleh ahli matematika Swiss Johann Bernoulli. DI DALAM Latihan umum Penggunaan lambang delta mulai digunakan setelah karya Leonhard Euler pada tahun 1755.

Jumlah. L.Euler (1755).

Jumlah adalah hasil penjumlahan besaran (bilangan, fungsi, vektor, matriks, dan lain-lain). Untuk menyatakan jumlah n bilangan a 1, a 2, ..., an, digunakan huruf Yunani “sigma” Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 sebuah saya. Tanda Σ untuk penjumlahan diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1755.

Bekerja. K.Gauss (1812).

Hasil kali adalah hasil perkalian. Untuk menyatakan hasil kali n bilangan a 1, a 2, ..., an, digunakan huruf Yunani pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Misalnya, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Tanda Π untuk suatu hasil kali diperkenalkan oleh matematikawan Jerman Carl Gauss pada tahun 1812. Dalam literatur matematika Rusia, istilah “produk” pertama kali ditemukan oleh Leonty Filippovich Magnitsky pada tahun 1703.

Faktorial. K.Crump (1808).

Faktorial suatu bilangan n (dilambangkan n!, diucapkan "en faktorial") adalah hasil kali semua bilangan asli sampai dengan n inklusif: n! = 1·2·3·...·n. Misalnya, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Berdasarkan definisi, diasumsikan 0! = 1. Faktorial didefinisikan hanya untuk bilangan bulat non-negatif. Faktorial dari n sama dengan banyaknya permutasi dari n elemen. Misalnya, 3! = 6, memang,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Keenam dan hanya enam permutasi dari tiga elemen.

Istilah "faktorial" diperkenalkan oleh ahli matematika dan politikus Perancis Louis Francois Antoine Arbogast (1800), sebutan n! - Matematikawan Perancis Christian Crump (1808).

Modulus, nilai absolut. K.Weierstrass (1841).

Nilai absolut suatu bilangan real x adalah bilangan non-negatif yang didefinisikan sebagai berikut: |x| = x untuk x ≥ 0, dan |x| = -x untuk x ≤ 0. Misalnya, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modulus bilangan kompleks z = a + ib adalah bilangan real yang sama dengan √(a 2 + b 2).

Istilah “modul” diyakini dikemukakan oleh ahli matematika dan filsuf Inggris, murid Newton, Roger Cotes. Gottfried Leibniz juga menggunakan fungsi ini, yang disebutnya “modulus” dan dilambangkan: mol x. Notasi nilai absolut yang diterima secara umum diperkenalkan pada tahun 1841 oleh ahli matematika Jerman Karl Weierstrass. Untuk bilangan kompleks, konsep ini diperkenalkan oleh matematikawan Perancis Augustin Cauchy dan Jean Robert Argan pada awal abad ke-19. Pada tahun 1903, ilmuwan Austria Konrad Lorenz menggunakan simbolisme yang sama untuk panjang sebuah vektor.

Norma. E.Schmidt (1908).

Norma adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang vektor dan menggeneralisasi konsep panjang suatu vektor atau modulus suatu bilangan. Tanda "norma" (dari kata Latin "norma" - "aturan", "pola") diperkenalkan oleh ahli matematika Jerman Erhard Schmidt pada tahun 1908.

Membatasi. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), banyak ahli matematika (sampai awal abad kedua puluh)

Limit merupakan salah satu konsep dasar analisis matematis, artinya suatu nilai variabel tertentu dalam proses perubahannya yang dipertimbangkan tanpa batas waktu mendekati nilai konstanta tertentu. Konsep limit digunakan secara intuitif pada paruh kedua abad ke-17 oleh Isaac Newton, serta oleh matematikawan abad ke-18 seperti Leonhard Euler dan Joseph Louis Lagrange. Definisi ketat pertama dari limit barisan diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1816 dan Augustin Cauchy pada tahun 1821. Simbol lim (3 huruf pertama dari kata Latin limes - border) muncul pada tahun 1787 oleh ahli matematika Swiss Simon Antoine Jean Lhuillier, namun penggunaannya belum menyerupai yang modern. Ekspresi lim dalam bentuk yang lebih familiar pertama kali digunakan oleh matematikawan Irlandia William Hamilton pada tahun 1853.Weierstrass memperkenalkan sebutan yang mirip dengan sebutan modern, tetapi alih-alih menggunakan panah biasa, ia menggunakan tanda sama dengan. Panah muncul pada awal abad ke-20 di antara beberapa ahli matematika sekaligus - misalnya ahli matematika Inggris Godfried Hardy pada tahun 1908.

Fungsi Zeta, d Fungsi Riemann zeta. B.Riemann (1857).

Fungsi analitik variabel kompleks s = σ + it, untuk σ > 1, ditentukan secara absolut dan seragam oleh deret Dirichlet yang konvergen:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Untuk σ > 1, representasi dalam bentuk perkalian Euler adalah valid:

ζ(s) = Π P (1-p -s) -s,

dimana hasil kali diambil alih seluruh p prima. Fungsi zeta memainkan peran besar dalam teori bilangan.Sebagai fungsi variabel riil, fungsi zeta diperkenalkan pada tahun 1737 (diterbitkan tahun 1744) oleh L. Euler, yang menunjukkan perluasannya menjadi suatu produk. Fungsi ini kemudian dipertimbangkan oleh ahli matematika Jerman L. Dirichlet dan, khususnya berhasil, oleh ahli matematika dan mekanik Rusia P.L. Chebyshev ketika mempelajari hukum distribusi bilangan prima. Namun, sifat paling mendalam dari fungsi zeta ditemukan kemudian, setelah karya matematikawan Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), di mana fungsi zeta dianggap sebagai fungsi variabel kompleks; Dia juga memperkenalkan nama “fungsi zeta” dan sebutan ζ(s) pada tahun 1857.

Fungsi gamma, fungsi Euler Γ. A. Legendre (1814).

Fungsi Gamma adalah fungsi matematika yang memperluas konsep faktorial ke bidang bilangan kompleks. Biasanya dilambangkan dengan Γ(z). Fungsi G pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1729; itu ditentukan oleh rumus:

Γ(z) = batasn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).

Sejumlah besar integral, hasil kali tak hingga, dan jumlah deret dinyatakan melalui fungsi G. Banyak digunakan dalam teori bilangan analitis. Nama "Fungsi Gamma" dan notasi Γ(z) diusulkan oleh matematikawan Perancis Adrien Marie Legendre pada tahun 1814.

Fungsi beta, fungsi B, fungsi Euler B. J.Binet (1839).

Fungsi dari dua variabel p dan q, didefinisikan untuk p>0, q>0 dengan persamaan:

B(hal, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Fungsi beta dapat dinyatakan melalui fungsi Γ: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Sama seperti fungsi gamma untuk bilangan bulat yang merupakan generalisasi dari faktorial, fungsi beta, dalam arti tertentu, merupakan generalisasi dari koefisien binomial.

Fungsi beta menjelaskan banyak propertipartikel elementer berpartisipasi dalam interaksi yang kuat. Fitur ini diperhatikan oleh fisikawan teoretis ItaliaGabriele Veneziano pada tahun 1968. Ini menandai permulaan teori string.

Nama “fungsi beta” dan sebutan B(p, q) diperkenalkan pada tahun 1839 oleh matematikawan, mekanik, dan astronom Perancis Jacques Philippe Marie Binet.

Operator Laplace, Laplacian. R.Murphy (1833).

Operator diferensial linier Δ, yang menetapkan fungsi φ(x 1, x 2, ..., x n) dari n variabel x 1, x 2, ..., x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

Khususnya, untuk fungsi φ(x) dari satu variabel, operator Laplace bertepatan dengan operator turunan ke-2: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Persamaan Δφ = 0 biasa disebut persamaan Laplace; Dari sinilah nama “operator Laplace” atau “Laplacian” berasal. Penunjukan Δ diperkenalkan oleh fisikawan dan matematikawan Inggris Robert Murphy pada tahun 1833.

Operator Hamilton, operator nabla, Hamiltonian. O.Heaviside (1892).

Operator diferensial vektor dari bentuk

∇ = ∂/∂x Saya+ ∂/∂y · J+ ∂/∂z · k,

Di mana Saya, J, Dan k- vektor satuan koordinat. Operasi dasar analisis vektor, serta operator Laplace, dinyatakan secara alami melalui operator Nabla.

Pada tahun 1853, matematikawan Irlandia William Rowan Hamilton memperkenalkan operator ini dan menciptakan simbol ∇ sebagai huruf Yunani terbalik Δ (delta). Di Hamilton, ujung simbol menunjuk ke kiri; kemudian, dalam karya matematikawan dan fisikawan Skotlandia Peter Guthrie Tate, simbol tersebut memperoleh bentuk modernnya. Hamilton menyebut simbol ini “atled” (kata “delta” dibaca terbalik). Belakangan, para sarjana Inggris, termasuk Oliver Heaviside, mulai menyebut simbol ini "nabla", diambil dari nama huruf ∇ dalam alfabet Fenisia, tempat simbol itu muncul. Asal usul huruf dikaitkan dengan alat musik seperti harpa, ναβλα (nabla) dalam bahasa Yunani kuno berarti “harpa”. Operator tersebut disebut operator Hamilton, atau operator nabla.

Fungsi. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Sebuah konsep matematika yang mencerminkan hubungan antar elemen himpunan. Kita dapat mengatakan bahwa suatu fungsi adalah sebuah "hukum", sebuah "aturan" yang menyatakan bahwa setiap elemen dari suatu himpunan (disebut domain definisi) dikaitkan dengan beberapa elemen dari himpunan lain (disebut domain nilai). Konsep matematika suatu fungsi mengungkapkan gagasan intuitif tentang bagaimana suatu besaran sepenuhnya menentukan nilai besaran lain. Seringkali istilah "fungsi" mengacu pada fungsi numerik; yaitu, fungsi yang menempatkan beberapa angka dalam korespondensi dengan angka lainnya. Untuk waktu yang lama, ahli matematika menentukan argumen tanpa tanda kurung, misalnya, seperti ini - φх. Notasi ini pertama kali digunakan oleh matematikawan Swiss Johann Bernoulli pada tahun 1718.Tanda kurung hanya digunakan jika ada banyak argumen atau jika argumennya berupa ekspresi kompleks. Gema pada masa itu adalah rekaman yang masih digunakan sampai sekarangdosa x, log xdll. Namun lambat laun penggunaan tanda kurung, f(x) , menjadi peraturan umum. Dan penghargaan utama untuk ini adalah milik Leonhard Euler.

Persamaan. R. Rekam (1557).

Tanda sama dengan diusulkan oleh dokter dan ahli matematika Welsh Robert Record pada tahun 1557; garis besar simbol itu jauh lebih panjang daripada yang sekarang, karena meniru gambar dua segmen paralel. Penulis menjelaskan bahwa tidak ada yang lebih setara di dunia ini selain dua segmen sejajar yang panjangnya sama. Sebelumnya, dalam matematika kuno dan abad pertengahan, kesetaraan dilambangkan secara verbal (misalnya itu setara). Pada abad ke-17, Rene Descartes mulai menggunakan æ (dari lat. sama dengan), dan dia menggunakan tanda sama dengan modern untuk menunjukkan bahwa koefisiennya bisa negatif. François Viète menggunakan tanda sama dengan untuk menunjukkan pengurangan. Simbol Rekam tidak serta merta menyebar luas. Penyebaran simbol Rekam terhambat oleh fakta bahwa sejak zaman kuno simbol yang sama digunakan untuk menunjukkan paralelisme garis lurus; Pada akhirnya diputuskan untuk membuat simbol paralelisme menjadi vertikal. Di benua Eropa, tanda "=" diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz hanya pada pergantian abad 17-18, yaitu lebih dari 100 tahun setelah kematian Robert Record, yang pertama kali menggunakannya untuk tujuan ini.

Kurang lebih sama, kurang lebih sama. A.Gunther (1882).

Tanda " ≈ " mulai digunakan sebagai simbol relasi "kira-kira sama" oleh matematikawan dan fisikawan Jerman Adam Wilhelm Sigmund Günther pada tahun 1882.

Kurang lebih. T.Harriot (1631).

Kedua tanda ini mulai digunakan oleh astronom, matematikawan, etnografer dan penerjemah Inggris Thomas Harriot pada tahun 1631; sebelum itu, kata “lebih” dan “kurang” digunakan.

Keterbandingan. K.Gauss (1801).

Perbandingan adalah hubungan antara dua bilangan bulat n dan m, artinya selisih n-m dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan bilangan bulat tertentu a, yang disebut modulus perbandingan; tertulis: n≡m(mod а) dan berbunyi “bilangan n dan m sebanding modulo a”. Misalnya, 3≡11(mod 4), karena 3-11 habis dibagi 4; angka 3 dan 11 sebanding modulo 4. Kongruensi memiliki banyak sifat yang mirip dengan persamaan. Dengan demikian, suatu suku yang terletak pada suatu bagian perbandingan dapat dipindahkan dengan tanda yang berlawanan ke bagian yang lain, dan perbandingan dengan modul yang sama dapat dijumlahkan, dikurangi, dikalikan, kedua bagian perbandingan dapat dikalikan dengan bilangan yang sama, dan seterusnya. . Misalnya,

3≡9+2(mod 4) dan 3-2≡9(mod 4)

Pada saat yang sama, perbandingan yang benar. Dan dari sepasang perbandingan yang benar 3≡11(mod 4) dan 1≡5(mod 4) berikut ini:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

Teori bilangan berkaitan dengan metode untuk menyelesaikan berbagai perbandingan, yaitu. metode untuk menemukan bilangan bulat yang memenuhi perbandingan satu jenis atau lainnya. Perbandingan modulo pertama kali digunakan oleh matematikawan Jerman Carl Gauss dalam bukunya Arithmetic Studies tahun 1801. Dia juga mengusulkan simbolisme untuk perbandingan yang ditetapkan dalam matematika.

Identitas. B.Riemann (1857).

Identitas adalah persamaan dua ekspresi analitis, yang berlaku untuk setiap nilai yang diperbolehkan dari huruf-huruf yang termasuk di dalamnya. Persamaan a+b = b+a berlaku untuk semua nilai numerik a dan b, dan oleh karena itu merupakan suatu identitas. Untuk mencatat identitas, dalam beberapa kasus, sejak tahun 1857, telah digunakan tanda “≡” (dibaca “identik sama”), yang penulisnya dalam penggunaan ini adalah ahli matematika Jerman Georg Friedrich Bernhard Riemann. Anda bisa menuliskannya a+b ≡ b+a.

Sifat tegak lurus. P.Erigon (1634).

Tegak lurus adalah kedudukan relatif dua garis lurus, bidang, atau garis lurus dan bidang, yang bangun-bangunnya membentuk sudut siku-siku. Tanda ⊥ untuk menunjukkan tegak lurus diperkenalkan pada tahun 1634 oleh matematikawan dan astronom Perancis Pierre Erigon. Konsep tegak lurus memiliki beberapa generalisasi, tetapi semuanya biasanya disertai dengan tanda ⊥.

Paralelisme. W. Outred (edisi anumerta 1677).

Paralelisme adalah hubungan antara bangun-bangun geometri tertentu; misalnya lurus. Didefinisikan secara berbeda tergantung pada geometri yang berbeda; misalnya, dalam geometri Euclid dan geometri Lobachevsky. Tanda paralelisme sudah dikenal sejak zaman dahulu, digunakan oleh Heron dan Pappus dari Alexandria. Pada awalnya, simbol ini mirip dengan tanda sama dengan saat ini (hanya lebih diperluas), tetapi dengan munculnya tanda sama dengan yang terakhir, untuk menghindari kebingungan, simbol tersebut diputar secara vertikal ||. Ia muncul dalam bentuk ini untuk pertama kalinya dalam edisi anumerta karya matematikawan Inggris William Oughtred pada tahun 1677.

Persimpangan, persatuan. J.Peano (1888).

Perpotongan himpunan adalah himpunan yang memuat elemen-elemen itu dan hanya elemen-elemen yang secara simultan menjadi milik semua himpunan tertentu. Gabungan himpunan adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan aslinya. Persimpangan dan penyatuan disebut juga operasi pada himpunan yang menugaskan himpunan baru ke himpunan tertentu menurut aturan yang disebutkan di atas. Dilambangkan dengan ∩ dan ∪, masing-masing. Misalnya jika

SEBUAH= (♠ ♣ ) Dan B= (♣ ♦),

Itu

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Berisi, berisi. E.Schroeder (1890).

Jika A dan B adalah dua himpunan dan tidak ada anggota A yang bukan anggota B, maka dikatakan A terdapat di dalam B. Ditulis A⊂B atau B⊃A (B berisi A). Misalnya,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Simbol “mengandung” dan “mengandung” muncul pada tahun 1890 oleh ahli matematika dan logika Jerman Ernst Schroeder.

Afiliasi. J.Peano (1895).

Jika a adalah salah satu anggota himpunan A, tulislah a∈A dan bacalah “a milik A”. Jika a bukan anggota himpunan A, tulislah a∉A dan bacalah “a bukan anggota A”. Pada mulanya relasi “terkandung” dan “milik” (“adalah suatu unsur”) tidak dibedakan, namun seiring berjalannya waktu konsep-konsep tersebut memerlukan pembedaan. Simbol ∈ pertama kali digunakan oleh matematikawan Italia Giuseppe Peano pada tahun 1895. Simbol ∈ berasal dari huruf pertama kata Yunani εστι - menjadi.

Penghitung universalitas, penghitung keberadaan. G.Gentzen (1935), C.Pierce (1885).

Quantifier adalah nama umum untuk operasi logika yang menunjukkan domain kebenaran suatu predikat (pernyataan matematis). Para filsuf telah lama memperhatikan operasi logis yang membatasi domain kebenaran suatu predikat, namun belum mengidentifikasinya sebagai kelas operasi terpisah. Meskipun konstruksi bilangan-logis banyak digunakan baik dalam percakapan ilmiah maupun sehari-hari, formalisasinya baru terjadi pada tahun 1879, dalam buku "The Calculus of Concepts" karya ahli logika, matematikawan, dan filsuf Jerman Friedrich Ludwig Gottlob Frege. Notasi Frege tampak seperti konstruksi grafis yang rumit dan tidak diterima. Selanjutnya, lebih banyak simbol sukses yang diusulkan, namun notasi yang diterima secara umum adalah ∃ untuk bilangan eksistensial (baca “ada”, “ada”), yang diusulkan oleh filsuf, ahli logika, dan matematikawan Amerika Charles Peirce pada tahun 1885, dan ∀ untuk bilangan universal (baca “setiap”, “masing-masing”, “semua orang”), dibentuk oleh ahli matematika dan logika Jerman Gerhard Karl Erich Gentzen pada tahun 1935 dengan analogi dengan simbol bilangan keberadaan (huruf pertama kata bahasa Inggris terbalik Keberadaan (eksistensi) dan Any (apapun)). Misalnya, rekam

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

berbunyi seperti ini: “untuk setiap ε>0 terdapat δ>0 sehingga untuk semua x tidak sama dengan x 0 dan memenuhi pertidaksamaan |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Set kosong. N. Bourbaki (1939).

Himpunan yang tidak mengandung satu elemen pun. Tanda himpunan kosong diperkenalkan dalam buku Nicolas Bourbaki pada tahun 1939. Bourbaki adalah nama samaran kolektif dari sekelompok matematikawan Perancis yang dibentuk pada tahun 1935. Salah satu anggota kelompok Bourbaki adalah Andre Weil, penulis simbol Ø.

Q.E.D. D.Knuth (1978).

Dalam matematika, pembuktian dipahami sebagai rangkaian penalaran yang dibangun berdasarkan aturan-aturan tertentu, yang menunjukkan bahwa suatu pernyataan tertentu benar. Sejak Renaisans, akhir dari suatu pembuktian telah dilambangkan oleh para ahli matematika dengan singkatan "Q.E.D.", dari ungkapan Latin "Quod Erat Demonstrandum" - "Apa yang perlu dibuktikan." Saat membuat sistem tata letak komputer ΤΕΧ pada tahun 1978, profesor ilmu komputer Amerika Donald Edwin Knuth menggunakan simbol: kotak berisi, yang disebut “simbol Halmos”, diambil dari nama ahli matematika Amerika kelahiran Hongaria, Paul Richard Halmos. Saat ini penyelesaian suatu pembuktian biasanya ditandai dengan Simbol Halmos. Sebagai alternatif, tanda lain digunakan: kotak kosong, segitiga siku-siku, // (dua garis miring), serta singkatan Rusia “ch.t.d.”