Numerické riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc. Numerické riešenie diferenciálnych rovníc (1) Numerické metódy riešenia nelineárnych diferenciálnych rovníc

Uvažujeme len o riešení Cauchyho problému. Do tvaru treba previesť sústavu diferenciálnych rovníc alebo jednu rovnicu

Kde ,
–n-rozmerné vektory; r– neznáma vektorová funkcia; X- nezávislý argument,
. Najmä ak n= 1, potom sa systém zmení na jednu diferenciálnu rovnicu. Počiatočné podmienky sú nastavené takto:
, Kde
.

Ak
v blízkosti bodu
je spojitý a má spojité parciálne derivácie vzhľadom na r, potom veta o existencii a jedinečnosti zaručuje, že existuje iba jedna spojitá vektorová funkcia
, definované v niektoré susedstve bodu , splnenie rovnice (7) a podmienky
.

Venujme pozornosť skutočnosti, že okolie bodu , kde je určené riešenie, môže byť veľmi malé. Pri približovaní sa k hranici tohto okolia môže ísť riešenie do nekonečna, oscilovať s nekonečne sa zvyšujúcou frekvenciou, vo všeobecnosti sa správať tak zle, že sa v ňom nedá pokračovať za hranicu okolia. V súlade s tým takéto riešenie nemožno sledovať numerickými metódami na väčšom segmente, ak je to špecifikované vo vyhlásení problému.

Riešenie Cauchyho problému na [ a; b] je funkcia. V numerických metódach je funkcia nahradená tabuľkou (tabuľka 1).

stôl 1

Tu
,
. Vzdialenosť medzi susednými uzlami tabuľky sa zvyčajne považuje za konštantnú:
,
.

Existujú tabuľky s variabilnými krokmi. Krok tabuľky je určený požiadavkami inžinierskeho problému a nepripojený s presnosťou nájdenia riešenia.

Ak r je vektor, potom tabuľka hodnôt riešenia bude mať formu tabuľky. 2.

Tabuľka 2

V systéme MATHCAD sa namiesto tabuľky používa matica, ktorá sa transponuje vzhľadom na zadanú tabuľku.

Vyriešte Cauchyho problém s presnosťou ε znamená získať hodnoty v zadanej tabuľke (čísla alebo vektory),
, také že
, Kde
- presné riešenie. Je možné, že riešenie segmentu špecifikovaného v probléme nepokračuje. Potom musíte odpovedať, že problém sa nedá vyriešiť v celom segmente a musíte nájsť riešenie v segmente, kde existuje, aby bol tento segment čo najväčší.

Malo by sa pamätať na to, že presné riešenie
nevieme (prečo inak používať numerickú metódu?). stupňa
musí byť odôvodnené inými dôvodmi. Spravidla nie je možné získať 100% záruku, že sa posúdenie vykonáva. Preto sa na odhad hodnoty používajú algoritmy
, ktoré sa ukázali ako účinné pri väčšine inžinierskych problémov.

Všeobecný princíp riešenia Cauchyho problému je nasledovný. Úsečka [ a; b] je rozdelená do niekoľkých segmentov integračnými uzlami. Počet uzlov k nemusí zodpovedať počtu uzlov m konečná tabuľka rozhodovacích hodnôt (tabuľky 1, 2). zvyčajne k > m. Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že vzdialenosť medzi uzlami je konštantná,
;h nazývaný integračný krok. Potom, podľa určitých algoritmov, poznať hodnoty pri i < s, vypočítajte hodnotu . Čím menší je krok h, tým je hodnota nižšia sa bude líšiť od hodnoty presného riešenia
. Krok h v tomto delení je už determinované nie požiadavkami inžinierskeho problému, ale požadovanou presnosťou riešenia Cauchyho problému. Okrem toho musí byť vybraný tak, aby v jednom kroku stôl. 1, 2 sa zmestia na celý počet krokov h. V tomto prípade hodnoty r, získané ako výsledok výpočtov s krokmi h v bodoch
, sú použité v tabuľke. 1 alebo 2.

Najjednoduchším algoritmom na riešenie Cauchyho úlohy pre rovnicu (7) je Eulerova metóda. Výpočtový vzorec je:

(8)

Pozrime sa, ako sa hodnotí správnosť nájdeného riešenia. Predstierajme to
je presné riešenie Cauchyho problému a tiež to
, aj keď to takmer vždy neplatí. Kde je potom konštanta C závisí od funkcie
v blízkosti bodu
. Takto pri jednom kroku integrácie (hľadania riešenia) dostaneme chybu v poradí . Pretože treba podniknúť kroky
, potom je prirodzené očakávať, že totálna chyba v poslednom bode
všetko bude v poriadku
, t.j. objednať h. Preto sa Eulerova metóda nazýva metóda prvého poriadku, t.j. chyba má poradie prvej mocniny kroku h. V skutočnosti možno v jednom kroku integrácie odôvodniť nasledujúci odhad. Nechaj
– presné riešenie Cauchyho úlohy s počiatočnou podmienkou
. To je jasné
sa nezhoduje s požadovaným presným riešením
pôvodný Cauchyho problém rovnice (7). Avšak pri malom h a "dobrá" funkcia
tieto dve presné riešenia sa budú len málo líšiť. Taylorov vzorec zvyšku to zabezpečuje
, to spôsobí chybu integračného kroku. Konečná chyba pozostáva nielen z chýb v každom integračnom kroku, ale aj z odchýlok požadovaného presného riešenia
z presných riešení
,
a tieto odchýlky môžu byť veľmi veľké. Avšak konečný odhad chyby v Eulerovej metóde pre „dobrú“ funkciu
stále vyzerá
,
.

Pri aplikácii Eulerovej metódy výpočet prebieha nasledovne. Podľa špecifikovanej presnosti ε určiť približný krok
. Určenie počtu krokov
a opäť približne zvoľte krok
. Potom ho opäť upravíme smerom nadol tak, aby pri každom kroku bol stôl. 1 alebo 2 sa zmestia na celý počet integračných krokov. Dostávame krok h. Podľa vzorca (8), vedieť A , nájdeme. Podľa nájdenej hodnoty A
nachádzame tak ďalej.

Výsledný výsledok nemusí a vo všeobecnosti nebude mať požadovanú presnosť. Preto znížime krok na polovicu a opäť aplikujeme Eulerovu metódu. Porovnávame výsledky prvej aplikácie metódy a druhej v identické bodov . Ak sú všetky nezrovnalosti menšie ako špecifikovaná presnosť, potom posledný výsledok výpočtu možno považovať za odpoveď na problém. Ak nie, znížime krok opäť na polovicu a znova použijeme Eulerovu metódu. Teraz porovnáme výsledky poslednej a predposlednej aplikácie metódy atď.

Eulerova metóda sa používa pomerne zriedkavo vzhľadom na to, že na dosiahnutie danej presnosti ε je potrebný veľký počet krokov v poradí
. Ak však
má diskontinuity alebo nespojité deriváty, potom metódy vyššieho rádu vyvolajú rovnakú chybu ako Eulerova metóda. To znamená, že bude potrebné rovnaké množstvo výpočtov ako pri Eulerovej metóde.

Z metód vyššieho rádu sa najčastejšie používa metóda štvrtého rádu Runge–Kutta. V ňom sa výpočty vykonávajú podľa vzorcov

Táto metóda za prítomnosti spojitých štvrtých derivácií funkcie
dáva chybu v jednom kroku objednávky , t.j. vo vyššie uvedenom zápise,
. Vo všeobecnosti, na integračnom intervale, za predpokladu, že presné riešenie je určené na tomto intervale, bude integračná chyba rádovo .

Výber integračného kroku prebieha rovnakým spôsobom, ako je opísané v Eulerovej metóde, s tým rozdielom, že počiatočná približná hodnota kroku je vybraná zo vzťahu
, t.j.
.

Väčšina programov používaných na riešenie diferenciálnych rovníc používa automatický výber krokov. Podstatou je toto. Nech je už vypočítaná hodnota . Hodnota sa vypočíta
v krokoch h, zvolený počas výpočtu . Potom sa vykonajú dva integračné kroky s krokom , t.j. je pridaný ďalší uzol
v strede medzi uzlami A
. Vypočítajú sa dve hodnoty
A
v uzloch
A
. Hodnota sa vypočíta
, Kde p– poradie metódy. Ak δ je menšia ako presnosť špecifikovaná používateľom, potom sa predpokladá
. Ak nie, vyberte nový krok h rovnaké a zopakujte kontrolu presnosti. Ak pri prvej kontrole δ je oveľa menšia ako špecifikovaná presnosť, potom sa vykoná pokus o zvýšenie kroku. Na tento účel sa počíta
v uzle
v krokoch h z uzla
a vypočíta sa
v krokoch po 2 h z uzla . Hodnota sa vypočíta
. Ak menšia ako špecifikovaná presnosť, potom krok 2 h za prijateľné. V tomto prípade je priradený nový krok
,
,
. Ak väčšiu presnosť, potom krok zostane rovnaký.

Treba brať do úvahy, že programy s automatickým výberom integračného kroku dosahujú špecifikovanú presnosť len pri vykonaní jedného kroku. K tomu dochádza v dôsledku presnosti aproximácie roztoku prechádzajúceho bodom
, t.j. aproximácia riešenia
. Takéto programy neberú do úvahy, koľko riešenia
sa líši od požadovaného riešenia
. Preto nie je zaručené, že špecifikovaná presnosť bude dosiahnutá počas celého integračného intervalu.

Popísané metódy Euler a Runge–Kutta patria do skupiny jednokrokových metód. To znamená počítať
v bode
stačí poznať význam v uzle . Je prirodzené očakávať, že ak sa použije viac informácií o rozhodnutí, bude sa brať do úvahy niekoľko jeho predchádzajúcich hodnôt
,
atď., potom nová hodnota
bude možné zistiť presnejšie. Táto stratégia sa používa vo viacstupňových metódach. Aby sme ich popísali, zavedieme notáciu
.

Predstaviteľmi viackrokových metód sú metódy Adams-Bashforth:

Metóda k-tá objednávka dáva chybu lokálnej objednávky
alebo globálny – poriadok .

Tieto metódy patria do skupiny extrapolačných metód, t.j. nový význam je jasne vyjadrený prostredníctvom predchádzajúcich. Ďalším typom sú interpolačné metódy. V nich musíte v každom kroku vyriešiť nelineárnu rovnicu pre novú hodnotu . Zoberme si Adams-Moulton metódy ako príklad:

Ak chcete použiť tieto metódy, musíte na začiatku počítania poznať niekoľko hodnôt
(ich počet závisí od poradia metódy). Tieto hodnoty je potrebné získať inými metódami, napríklad metódou Runge–Kutta s malým krokom (na zvýšenie presnosti). Interpolačné metódy sa v mnohých prípadoch ukazujú ako stabilnejšie a umožňujú podniknúť väčšie kroky ako extrapolačné metódy.

Aby sa pri interpolačných metódach neriešila nelineárna rovnica v každom kroku, používajú sa Adamsove prediktorovo-korekčné metódy. Pointa je, že metóda extrapolácie sa najskôr aplikuje v kroku a výslednej hodnote
sa dosadí na pravú stranu interpolačnej metódy. Napríklad v metóde druhého rádu

Hlavné problémy diskutované v prednáške:

1. Vyhlásenie problému

2. Eulerova metóda

3. Metódy Runge-Kutta

4. Viackrokové metódy

5. Riešenie okrajovej úlohy pre lineárnu diferenciálnu rovnicu 2. rádu

6. Numerické riešenie parciálnych diferenciálnych rovníc

1. Vyhlásenie problému

Najjednoduchšia obyčajná diferenciálna rovnica (ODR) je rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu: y " = f (x, y) (1). Hlavný problém spojený s touto rovnicou je známy ako Cauchyho problém: nájdite a riešenie rovnice (1) v tvare funkcie y (x), spĺňajúce počiatočnú podmienku: y (x0) = y0 (2).
DE n-tého rádu y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), pre ktoré je Cauchyho úlohou nájsť riešenie y = y(x), ktoré spĺňa počiatočné podmienky:
y (x0) = y0, y" (x0) = y"0, :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0, kde y0, y"0, :, y(n- 1)0 - dané čísla, možno redukovať na systém DE prvého poriadku.

· Eulerova metóda

Eulerova metóda je založená na myšlienke grafickej konštrukcie riešenia diferenciálnej rovnice, ale rovnaká metóda poskytuje aj číselnú formu požadovanej funkcie. Nech je daná rovnica (1) s počiatočnou podmienkou (2).
Získanie tabuľky hodnôt požadovanej funkcie y (x) pomocou Eulerovej metódy spočíva v cyklickom aplikovaní vzorca: , i = 0, 1, :, n. Aby sme geometricky zostrojili Eulerovu prerušovanú čiaru (pozri obrázok), vyberieme pól A(-1,0) a vynesieme úsečku PL=f(x0, y0) na zvislú os (bod P je počiatkom súradníc). Je zrejmé, že uhlový koeficient lúča AL sa bude rovnať f(x0, y0), preto na získanie prvého spojenia Eulerovej prerušovanej čiary stačí nakresliť priamku MM1 z bodu M rovnobežne s lúčom. AL, kým sa nepretne s priamkou x = x1 v určitom bode M1(x1, y1). Ak vezmeme za počiatočný bod M1(x1, y1), nanesieme na os Oy úsečku PN = f (x1, y1) a nakreslíme priamku cez bod M1 M1M2 | | AN až po priesečník v bode M2(x2, y2) s priamkou x = x2 atď.

Nevýhody metódy: nízka presnosť, systematické hromadenie chýb.

· Metódy Runge-Kutta

Hlavná myšlienka metódy: namiesto použitia parciálnych derivátov funkcie f (x, y) v pracovných vzorcoch použite iba túto funkciu, ale v každom kroku vypočítajte jej hodnoty v niekoľkých bodoch. Aby sme to dosiahli, budeme hľadať riešenie rovnice (1) v tvare:


Zmenou α, β, r, q získame rôzne verzie metód Runge-Kutta.
Pre q=1 dostaneme Eulerov vzorec.
Pri q=2 a r1=r2=½ dostaneme, že α, β= 1, a preto máme vzorec: , ktorý sa nazýva vylepšená Euler-Cauchyho metóda.
Pre q=2 a r1=0, r2=1 dostaneme, že α, β = ½, a preto máme vzorec: - druhá vylepšená Euler-Cauchyho metóda.
Pre q=3 a q=4 existujú aj celé rodiny vzorcov Runge-Kutta. V praxi sa využívajú najčastejšie, pretože nezvyšujte chyby.
Zoberme si schému riešenia diferenciálnej rovnice metódou Runge-Kutta 4. rádu presnosti. Výpočty pri použití tejto metódy sa vykonávajú podľa vzorcov:

Je vhodné zahrnúť ich do nasledujúcej tabuľky:

· Viacstupňové metódy

Vyššie diskutované metódy sú takzvané metódy postupnej integrácie diferenciálnej rovnice. Vyznačujú sa tým, že hodnota riešenia v ďalšom kroku sa hľadá pomocou riešenia získaného iba v jednom predchádzajúcom kroku. Ide o takzvané jednokrokové metódy.
Hlavnou myšlienkou viackrokových metód je použiť niekoľko predchádzajúcich hodnôt riešenia pri výpočte hodnoty riešenia v ďalšom kroku. Tieto metódy sa tiež nazývajú m-krokové metódy založené na čísle m použitom na výpočet predchádzajúcich hodnôt riešenia.
Vo všeobecnom prípade na určenie približného riešenia yi+1 sú schémy m-krokových rozdielov napísané takto (m 1):
Zoberme si konkrétne vzorce, ktoré implementujú najjednoduchšie explicitné a implicitné Adamsove metódy.

Explicitná Adamsova metóda 2. rádu (2-kroková explicitná Adamsova metóda)

Máme a0 = 0, m = 2.
Toto sú teda výpočtové vzorce explicitnej Adamsovej metódy 2. rádu.
Pre i = 1 máme neznáme y1, ktoré nájdeme pomocou Runge-Kuttovho spôsobu pre q = 2 alebo q = 4.
Pre i = 2, 3, : všetky potrebné hodnoty sú známe.

Implicitná Adamsova metóda 1. rádu

Máme: a0 0, m = 1.
Ide teda o výpočtové vzorce implicitnej Adamsovej metódy 1. rádu.
Hlavný problém implicitných schém je nasledovný: yi+1 je zahrnuté na pravej aj ľavej strane prezentovanej rovnosti, takže máme rovnicu na nájdenie hodnoty yi+1. Táto rovnica je nelineárna a je napísaná vo forme vhodnej pre iteračné riešenie, takže na jej riešenie použijeme jednoduchú iteračnú metódu:
Ak je krok h zvolený dobre, potom iteračný proces rýchlo konverguje.
Táto metóda tiež nie je samospúšťacia. Takže na výpočet y1 potrebujete vedieť y1 (0). Dá sa nájsť pomocou Eulerovej metódy.

Definícia Eulerovej diferenciálnej rovnice. Zvažujú sa spôsoby jeho riešenia.

Eulerova diferenciálna rovnica je rovnica tvaru
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + ...+ a n- 1 xy′ + a n y = f(x).

Vo všeobecnejšej forme má Eulerova rovnica tvar:
.
Táto rovnica je redukovaná substitúciou t = ax+b na jednoduchší tvar, ktorý budeme uvažovať.

Redukcia Eulerovej diferenciálnej rovnice na rovnicu s konštantnými koeficientmi.

Zvážte Eulerovu rovnicu:
(1) .
Substitúciou sa redukuje na lineárnu rovnicu s konštantnými koeficientmi:
x = et.
Teda naozaj
;
;
;

;
;
..........................

Činitele obsahujúce x m sa teda rušia. Zvyšné členy sú tie s konštantnými koeficientmi. V praxi je však na riešenie Eulerových rovníc možné použiť metódy riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi bez použitia vyššie uvedenej substitúcie.

Riešenie homogénnej Eulerovej rovnice

Zvážte homogénnu Eulerovu rovnicu:
(2) .
Hľadáme riešenie rovnice (2) v tvare
.
;
;
........................
.
Dosadíme v (2) a znížime o x k. Získame charakteristickú rovnicu:
.
Vyriešime to a dostaneme n koreňov, ktoré môžu byť zložité.

Pozrime sa na skutočné korene. Nech k i je násobná odmocnina z násobnosti m. Týmto m koreňom zodpovedá m lineárne nezávislých riešení:
.

Uvažujme o zložitých koreňoch. Vyskytujú sa v pároch spolu s komplexnými konjugátmi. Nech k i je násobná odmocnina z násobnosti m. Vyjadrime komplexný koreň k i z hľadiska reálnych a imaginárnych častí:
.
Týmto m koreňom a m komplexným konjugovaným koreňom zodpovedá 2 m lineárne nezávislé riešenia:
;
;
..............................
.

Po získaní n lineárne nezávislých riešení dostaneme všeobecné riešenie rovnice (2):
(3) .

Príklady

Riešte rovnice:


Riešenie príkladov >> >

Riešenie nehomogénnej Eulerovej rovnice

Uvažujme o nehomogénnej Eulerovej rovnici:
.
Metóda variácie konštánt (Lagrangeova metóda) je aplikovateľná aj na Eulerove rovnice.

Najprv vyriešime homogénnu rovnicu (2) a získame jej všeobecné riešenie (3). Potom konštanty považujeme za funkcie premennej x. Diferencovať (3) n - 1 raz. Získame výrazy pre n - 1 deriváty y vzhľadom na x. Pri každej diferenciácii sa termíny obsahujúce deriváty rovnajú nule. Takže dostaneme n- 1 rovnice týkajúce sa derivátov. Ďalej nájdeme n-tú deriváciu y. Výsledné derivácie dosadíme do (1) a získame n-tu rovnicu týkajúcu sa derivácií. Z týchto rovníc určíme . Potom integráciou získame všeobecné riešenie rovnice (1).

Príklad

Vyriešte rovnicu:

Riešenie >> >

Nehomogénna Eulerova rovnica so špeciálnou nehomogénnou časťou

Ak má nehomogénna časť určitý tvar, potom je jednoduchšie získať všeobecné riešenie nájdením konkrétneho riešenia nehomogénnej rovnice. Táto trieda obsahuje rovnice v tvare:
(4)
,
kde sú polynómy mocnin a , resp.

V tomto prípade je jednoduchšie vykonať náhradu
,
a rozhodnúť sa

To je známe obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu má tvar: .Riešením tejto rovnice je diferencovateľná funkcia, ktorá ju po dosadení do rovnice zmení na identitu. Graf na riešenie diferenciálnej rovnice (obrázok 1) je tzv integrálna krivka.

Deriváciu v každom bode možno geometricky interpretovať ako dotyčnicu dotyčnice ku grafu riešenia prechádzajúceho týmto bodom, t.j.:.

Pôvodná rovnica definuje celú rodinu riešení. Ak chcete vybrať jedno riešenie, nastavte počiatočný stav: , kde je nejaká daná hodnota argumentu a – počiatočná hodnota funkcie.

Cauchy problém spočíva v nájdení funkcie, ktorá spĺňa pôvodnú rovnicu a počiatočnú podmienku. Zvyčajne sa riešenie Cauchyho problému určuje na segmente umiestnenom napravo od počiatočnej hodnoty, t.j.

Ani pre jednoduché diferenciálne rovnice prvého rádu nie je vždy možné získať analytické riešenie. Preto majú numerické metódy riešenia veľký význam. Numerické metódy umožňujú určiť približné hodnoty požadovaného riešenia na vybranej mriežke hodnôt argumentov. Body sú tzv uzly mriežky a hodnota je krok mriežky. Často zvažované uniforma sieť, pre ktoré je krok konštantný. V tomto prípade sa riešenie získa vo forme tabuľky, v ktorej každý uzol mriežky zodpovedá približným hodnotám funkcie v uzloch mriežky.

Numerické metódy neumožňujú nájsť riešenie vo všeobecnej forme, ale sú použiteľné pre širokú triedu diferenciálnych rovníc.

Konvergencia numerických metód riešenia Cauchyho úlohy. Nech je riešením Cauchyho problému. Zavolajme chyba numerická metóda je funkcia špecifikovaná v uzloch siete. Berme hodnotu ako absolútnu chybu.

Numerická metóda riešenia Cauchyho úlohy je tzv konvergentné, ak pre neho pri. O metóde sa hovorí, že má poradie presnosti, ak má chyba nasledujúci odhad: – konštantný,.

Eulerova metóda

Najjednoduchšou metódou riešenia Cauchyho úlohy je Eulerova metóda. Vyriešime Cauchyho problém

na segmente. Vyberme kroky a zostavme mriežku so systémom uzlov. V Eulerovej metóde sa približné hodnoty funkcie počítajú v uzloch mriežky:. Nahradením derivácie konečnými rozdielmi na segmentoch získame približnú rovnosť:,, ktorú môžeme prepísať nasledovne:,.

Tieto vzorce a počiatočná podmienka sú výpočtové vzorce Eulerovej metódy.

Geometrický výklad jedného kroku Eulerovej metódy je taký, že riešenie na úsečke je nahradené dotyčnicou nakreslenou v bode integrálnej krivky prechádzajúcej týmto bodom. Po dokončení krokov je neznáma integrálna krivka nahradená prerušovanou čiarou (Eulerova prerušovaná čiara).

Odhad chyby. Na odhad chyby Eulerovej metódy použijeme nasledujúcu vetu.

Veta. Nech funkcia spĺňa podmienky:

.

Potom je pre Eulerovu metódu platný nasledujúci odhad chyby: , kde je dĺžka segmentu. Vidíme, že Eulerova metóda má presnosť prvého poriadku.

Odhadnúť chybu Eulerovej metódy je často ťažké, pretože si vyžaduje výpočet derivácií funkcie. Poskytuje hrubý odhad chyby Rungeovo pravidlo (pravidlo dvojitého počítania), ktorý sa používa pre rôzne jednokrokové metódy s -tým rádom presnosti. Rungeho pravidlo je nasledovné. Nech sú aproximácie získané krokom a nech sú aproximácie získané krokom. Potom platí približná rovnosť:

.

Preto, aby ste mohli odhadnúť chybu jednokrokovej metódy s krokom, musíte nájsť rovnaké riešenie s krokmi a vypočítať hodnotu vpravo v poslednom vzorci, t. j. keďže Eulerova metóda má prvý rád presnosti , t.j. približná rovnosť má názor:.

Pomocou Rungeovho pravidla je možné zostrojiť postup na približný výpočet riešenia Cauchyho úlohy s danou presnosťou . Ak to chcete urobiť, musíte začať s výpočtami od určitej hodnoty kroku a postupne túto hodnotu znižovať na polovicu, pričom zakaždým vypočítate približnú hodnotu, . Výpočty sa zastavia, keď je splnená podmienka: . Pre Eulerovu metódu bude mať táto podmienka tvar:. Približným riešením by boli hodnoty .

Príklad 1 Nájdime riešenie na segmente nasledujúceho Cauchyho problému:,. Urobme krok. Potom.

Výpočtový vzorec pre Eulerovu metódu je:

, .

Uveďme riešenie vo forme tabuľky 1:

stôl 1

Pôvodná rovnica je Bernoulliho rovnica. Jeho riešenie možno nájsť v explicitnej forme: .

Pre porovnanie presných a približných riešení uvádzame presné riešenie vo forme tabuľky 2:

tabuľka 2

Tabuľka ukazuje, že chyba je

Obyčajné diferenciálne rovnice sú také rovnice, ktoré obsahujú jednu alebo viac derivácií požadovanej funkcie y=y (x). Môžu byť napísané vo forme

kde x je nezávislá premenná.

Najvyšší rád n derivácie zahrnutej v rovnici sa nazýva rád diferenciálnej rovnice.

Metódy riešenia obyčajných diferenciálnych rovníc možno rozdeliť do nasledujúcich skupín: grafické, analytické, približné a numerické.

Grafické metódy využívajú geometrické konštrukcie.

Analytické metódy nájdete v predmete o diferenciálnych rovniciach. Pre rovnice prvého rádu (so separovateľnými premennými, homogénne, lineárne atď.), ako aj pre niektoré typy rovníc vyššieho rádu (napríklad lineárne s konštantnými koeficientmi), je možné získať riešenia vo forme vzorcov prostredníctvom analytických transformácií.

Približné metódy využívajú rôzne zjednodušenia samotných rovníc rozumným odmietnutím niektorých pojmov v nich obsiahnutých, ako aj špeciálny výber tried hľadaných funkcií.

Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc sú v súčasnosti hlavným nástrojom pri štúdiu vedeckých a technických problémov opísaných diferenciálnymi rovnicami. Je potrebné zdôrazniť, že tieto metódy sú účinné najmä v kombinácii s využitím moderných počítačov.

Najjednoduchšou numerickou metódou na riešenie Cauchyho úlohy pre ODR je Eulerova metóda. Uvažujme rovnicu v okolí uzlov (i=1,2,3,...) a nahraďme deriváciu na ľavej strane pravým rozdielom. V tomto prípade nahradíme hodnoty funkcie uzla hodnotami funkcie mriežky:

Výsledná aproximácia DE je prvého rádu, pretože pri nahradení je povolená chyba.

Všimnite si, že z rovnice to vyplýva

Preto predstavuje približné určenie hodnoty funkcie v bode pomocou rozšírenia Taylorovho radu s vyradením členov druhého a vyššieho rádu. Inými slovami, predpokladá sa, že prírastok funkcie sa rovná jej diferenciálu.

Za predpokladu, že i=0, pomocou vzťahu nájdeme hodnotu mriežkovej funkcie pri:

Tu požadovaná hodnota je daná počiatočnou podmienkou, t.j.

Podobne možno nájsť hodnoty funkcie mriežky v iných uzloch:

Vybudovaný algoritmus sa nazýva Eulerova metóda

Obrázok - 19 Eulerova metóda

Geometrický výklad Eulerovej metódy je uvedený na obrázku. Sú znázornené prvé dva kroky, t.j. Je znázornený výpočet funkcie mriežky v bodoch. Integrálne krivky 0,1,2 opisujú presné riešenia rovnice. V tomto prípade krivka 0 zodpovedá presnému riešeniu Cauchyho úlohy, pretože prechádza počiatočným bodom A (x 0 ,y 0). Body B, C boli získané ako výsledok numerického riešenia Cauchyho úlohy pomocou Eulerovej metódy. Ich odchýlky od krivky 0 charakterizujú chybu metódy. Každým krokom vlastne skončíme na inej integrálnej krivke. Segment AB je úsečka dotyčnica ku krivke 0 v bode A, jej sklon je charakterizovaný hodnotou jej derivácie. Chyba sa objaví, pretože prírastok hodnoty funkcie pri prechode z x 0 na x 1 je nahradený prírastkom v ordinate ordináty ku krivke 0 v bode A. Dotyčnica BC je už nakreslená k inej integrálnej krivke 1 Chyba Eulerovej metódy teda vedie k tomu, že v každom kroku sa približné riešenie posúva k ďalšej integrálnej krivke.