10 cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Antipiretik untuk anak-anak diresepkan oleh dokter anak. Namun ada situasi darurat demam dimana anak perlu segera diberikan obat. Kemudian orang tua mengambil tanggung jawab dan menggunakan obat antipiretik. Apa saja yang boleh diberikan kepada bayi? Bagaimana cara menurunkan suhu pada anak yang lebih besar? Obat apa yang paling aman?

Sekolah menengah pedesaan Kop'evskaya sekolah yang komprehensif

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematika

desa Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babel Kuno

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat

1.3 Persamaan kuadrat di India

1.4 Persamaan kuadrat menurut al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII

1.6 Tentang teorema Vieta

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Kesimpulan

literatur

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan penggalian yang bersifat militer, serta begitu pula dengan perkembangan ilmu astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia.

Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks runcingnya, selain teks-teks yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum menyelesaikan persamaan kuadrat.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat penyajian aljabar secara sistematis, tetapi memuat serangkaian soal yang sistematis, disertai penjelasan dan diselesaikan dengan membangun persamaan-persamaan dengan derajat yang berbeda-beda.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Temukan dua bilangan, ketahuilah bahwa jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Alasan Diophantus sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang disyaratkan tidak sama, karena jika sama maka hasil kali bilangan-bilangan tersebut bukan sama dengan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu. 10+x, yang lainnya lebih kecil, mis. 10-an. Perbedaan di antara mereka 2x.

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-an 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12 , lainnya 8 . Larutan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

pada2 - 20у + 96 = 0. (2)

Jelas bahwa dengan memilih setengah selisih dari angka-angka yang diperlukan sebagai angka yang tidak diketahui, Diophantus menyederhanakan solusinya; ia berhasil mereduksi masalahnya menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap (1).

1.3 Persamaan Kuadrat di India

Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi satu bentuk kanonik:

Oh2 + Bx = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi tersebut: “Seperti matahari menutupi bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang terpelajar melampaui kejayaan pihak lain dalam majelis rakyat dengan mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Jumlahnya ada di alun-alun, bagian 8. Berapa jumlah monyet di sana?

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan soal 13 adalah:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara menulis dengan kedok:

X2 - 64x = -768

dan untuk melengkapi sisi kiri persamaan ini ke kuadrat, tambahkan pada kedua ruasnya 32 2 , lalu dapatkan:

X2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X1 = 16,x2 = 48.

1.4 Persamaan kuadrat dalam al – Khorezmi

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. Oh2 + c =BX.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. Oh2 = s.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. Oh2 + c =BX.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka”, yaitu. Oh2 + bx= s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu.bx+ c = ah2 .

al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam masalah praktis tertentu hal itu tidak menjadi masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, al-Khorezmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometri.

Masalah 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (dengan asumsi akar persamaan x2 + 21 = 10x).

Solusi penulis kira-kira seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan sendirinya, kurangi 21 dari hasil perkaliannya, yang tersisa adalah 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5 , Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan akar.

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadrat di EropaXIII- XVIIbb

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang sangat banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik di negara-negara Islam maupun di dunia Yunani kuno, dibedakan berdasarkan kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

HALAMAN_BREAK--

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

X2 + bx= c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B, Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Penurunan rumus penyelesaian persamaan kuadrat di pandangan umum Vietnam memilikinya, namun Viet hanya mengakui akar positifnya. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

1.6 Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B+ D, dikalikan dengan A- A2 , sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D».

Untuk memahami Vieta, kita harus mengingat hal itu A, seperti huruf vokal lainnya, berarti yang tidak diketahui (kita X), vokal DI DALAM,D- koefisien untuk hal yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika ada

(sebuah +B)x - x2 = ab,

X2 - (sebuah +B)x + aB= 0,

X1 = sebuah, x2 = B.

Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viète menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun, simbolisme Viet masih jauh dari harapan tampilan modern. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus.

Dalam kursus matematika sekolah, rumus akar persamaan kuadrat dipelajari, yang dengannya Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Namun, ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang memungkinkan Anda menyelesaikan banyak persamaan dengan sangat cepat dan efisien. Ada sepuluh cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Dalam pekerjaan saya, saya menganalisis masing-masing secara rinci.

1. METODE : Memfaktorkan ruas kiri persamaan.

Mari kita selesaikan persamaannya

X2 + 10x - 24 = 0.

Mari kita faktorkan ruas kiri:

X2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut:

(x + 12)(x - 2) = 0

Karena hasil kali sama dengan nol, maka paling sedikit salah satu faktornya juga sama dengan nol. Oleh karena itu, ruas kiri persamaan menjadi nol di x = 2, dan juga kapan x = - 12. Artinya nomor tersebut 2 Dan - 12 adalah akar persamaannya X2 + 10x - 24 = 0.

2. METODE : Metode untuk memilih persegi lengkap.

Mari kita selesaikan persamaannya X2 + 6x - 7 = 0.

Pilih kotak lengkap di sisi kiri.

Untuk melakukannya, kita tulis ekspresi x2 + 6x dalam bentuk berikut:

X2 + 6x = x2 + 2x3.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, suku pertama adalah kuadrat dari bilangan x, dan suku kedua adalah hasil kali ganda dari x dengan 3. Oleh karena itu, untuk mendapatkan kuadrat lengkap, Anda perlu menjumlahkan 32, karena

x2+ 2x3+32 = (x + 3)2 .

Sekarang mari kita transformasikan ruas kiri persamaan tersebut

X2 + 6x - 7 = 0,

menjumlahkannya dan mengurangkan 32. Kita mendapatkan:

X2 + 6x - 7 = x2+ 2x3+32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

Dengan demikian, persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:

(x + 3)2 - 16 =0, (x + 3)2 = 16.

Karena itu, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, atau x + 3 = -4, x2 = -7.

3. METODE :Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.

Mari kalikan kedua ruas persamaan tersebut

Oh2 + Bx + c = 0, a ≠ 0

pada 4a dan secara berurutan kita memiliki:

4a2 X2 + 4aBx + 4ac = 0,

((2ah)2 + 2ahB+ B2 ) - B2 + 4 ac= 0,

(2kapak + b)2 = b2 - 4ac,

2kapak + b = ± √ b2 - 4ac,

2kapak = - b ± √ b2 - 4ac,

Contoh.

A) Mari selesaikan persamaannya: 4x2 + 7x + 3 = 0.

sebuah = 4,B= 7, s = 3,D= B2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D> 0, dua akar berbeda;

Jadi, dalam kasus diskriminan positif, yaitu. pada

B2 - 4 ac>0 , persamaannya Oh2 + Bx + c = 0 mempunyai dua akar yang berbeda.

B) Mari selesaikan persamaannya: 4x2 - 4x + 1 = 0,

sebuah = 4,B= - 4, s = 1,D= B2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D= 0, satu akar;

Jadi, jika diskriminannya nol, mis. B2 - 4 ac= 0 , lalu persamaannya

Oh2 + Bx + c = 0 mempunyai satu akar

V) Mari selesaikan persamaannya: 2x2 + 3x + 4 = 0,

sebuah = 2,B= 3, c = 4,D= B2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Kelanjutan
--PAGE_BREAK--

Persamaan ini tidak mempunyai akar.

Jadi, jika diskriminannya negatif, mis. B2 - 4 ac< 0 ,

persamaannya Oh2 + Bx + c = 0 tidak memiliki akar.

Rumus (1) akar-akar persamaan kuadrat Oh2 + Bx + c = 0 memungkinkan Anda menemukan akar setiap persamaan kuadrat (jika ada), termasuk tereduksi dan tidak lengkap. Rumusan (1) dinyatakan secara lisan sebagai berikut: akar-akar persamaan kuadrat sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, ditambah dikurangi akar kuadrat dari kuadrat koefisien ini tanpa melipatgandakan hasil kali koefisien pertama dengan suku bebas, dan penyebutnya dua kali lipat koefisien pertama.

4. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

Seperti diketahui, persamaan kuadrat tereduksi mempunyai bentuk

X2 + piksel+ C= 0. (1)

Akarnya memenuhi teorema Vieta, yang mana, kapan sebuah =1 seperti

/>X1 X2 = Q,

X1 + X2 = - P

Dari sini kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut (dari koefisien p dan q kita dapat memprediksi tanda-tanda akarnya).

a) Jika setengah anggota Q persamaan yang diberikan (1) adalah positif ( Q> 0 ), maka persamaan tersebut memiliki dua akar yang bertanda sama dengan dan ini bergantung pada koefisien kedua P. Jika R< 0 , maka kedua akarnya negatif jika R< 0 , maka kedua akarnya positif.

Misalnya,

X2 – 3 X+ 2 = 0; X1 = 2 Dan X2 = 1, Karena Q= 2 > 0 Dan P= - 3 < 0;

X2 + 8 X+ 7 = 0; X1 = - 7 Dan X2 = - 1, Karena Q= 7 > 0 Dan P= 8 > 0.

b) Jika anggota bebas Q persamaan yang diberikan (1) negatif ( Q< 0 ), maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda tanda, dan akar yang lebih besar akan bertanda positif jika P< 0 , atau negatif jika P> 0 .

Misalnya,

X2 + 4 X– 5 = 0; X1 = - 5 Dan X2 = 1, Karena Q= - 5 < 0 Dan P= 4 > 0;

X2 – 8 X– 9 = 0; X1 = 9 Dan X2 = - 1, Karena Q= - 9 < 0 Dan P= - 8 < 0.

5. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan metode "lempar".

Pertimbangkan persamaan kuadrat

Oh2 + Bx + c = 0, Di mana sebuah ≠ 0.

Mengalikan kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan

A2 X2 + sebuahBx + ac = 0.

Membiarkan ah = kamu, Di mana x = y/a; lalu kita sampai pada persamaannya

pada2 + oleh+ ac = 0,

setara dengan ini. Akarnya pada1 Dan pada 2 dapat ditemukan menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita dapatkan

X1 = kamu1 /A Dan X1 = kamu2 /A.

Dengan metode ini koefisiennya A dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” padanya, itulah sebabnya disebut metode transfer. Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 2x2 – 11x + 15 = 0.

Larutan. Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaannya

pada2 – 11у + 30 = 0.

Menurut teorema Vieta

/>/>/>/>/>pada1 = 5x1 = 5/2 X1 = 2,5

pada2 = 6 X2 = 6/2 X2 = 3.

Jawaban: 2.5; 3.

6. METODE: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

A. Biarkan persamaan kuadrat diberikan

Oh2 + Bx + c = 0, Di mana sebuah ≠ 0.

1) Jika, a+B+ c = 0 (yaitu jumlah koefisiennya nol), maka x1 = 1,

X2 = s/a.

Bukti. Membagi kedua ruas persamaan dengan a ≠ 0, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi

X2 + B/ A X+ C/ A= 0.

/>Menurut teorema Vieta

X1 + X2 = - B/ A,

X1 X2 = 1 C/ A.

Dengan syarat A -B+ c = 0, Di mana B= a + c. Dengan demikian,

/>X1 + x2 = - A+ b/a= -1 – c/a,

X1 X2 = - 1 (- c/a),

itu. X1 = -1 Dan X2 = C/ A, yang perlu kami buktikan.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 345x2 – 137x – 208 = 0.

Larutan. Karena sebuah +B+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Itu

X1 = 1, x2 = C/ A= -208/345.

Jawaban 1; -208/345.

2) Selesaikan persamaannya 132x2 – 247x + 115 = 0.

Larutan. Karena sebuah +B+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Itu

X1 = 1, x2 = C/ A= 115/132.

Jawaban 1; 115/132.

B. Jika koefisien kedua B= 2 k adalah bilangan genap, maka rumus akarnya

Kelanjutan
--PAGE_BREAK--

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 3x2 - 14x + 16 = 0.

Larutan. Kita punya: sebuah = 3,B= - 14, s = 16,k= - 7 ;

D= k2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D> 0, dua akar berbeda;

Jawaban: 2; 8/3

DI DALAM. Persamaan tereduksi

X2 + piksel +Q= 0

bertepatan dengan persamaan umum di mana sebuah = 1, B= hal Dan c =Q. Oleh karena itu, untuk persamaan kuadrat tereduksi, rumus akarnya adalah

mengambil bentuk:

Rumus (3) sangat nyaman digunakan ketika R- bilangan genap.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaannya X2 – 14x – 15 = 0.

Larutan. Kita punya: X1,2 =7±

Jawaban: x1 = 15; X2 = -1.

7. METODE: Solusi grafis dari persamaan kuadrat.

Jika dalam Persamaan.

X2 + piksel+ Q= 0

pindahkan suku kedua dan ketiga ke ruas kanan, kita peroleh

X2 = - piksel- Q.

Mari kita buat grafik ketergantungan y = x2 dan y = - px- q.

Grafik ketergantungan pertama adalah parabola yang melalui titik asal. Grafik ketergantungan kedua -

lurus (Gbr. 1). Kasus-kasus berikut mungkin terjadi:

Garis lurus dan parabola dapat berpotongan di dua titik, absis titik potong tersebut adalah akar-akar persamaan kuadrat;

Garis lurus dan parabola dapat bersentuhan (hanya satu titik persekutuan), yaitu. persamaan tersebut memiliki satu solusi;

Garis lurus dan parabola tidak mempunyai titik persekutuan, yaitu. persamaan kuadrat tidak mempunyai akar.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis X2 - 3x - 4 = 0(Gbr. 2).

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X2 = 3x + 4.

Mari kita membuat parabola kamu = x2 dan langsung kamu = 3x + 4. Langsung

kamu = 3x + 4 dapat dibangun dari dua titik M (0; 4) Dan

N(3; 13) . Garis lurus dan parabola berpotongan di dua titik

A Dan DI DALAM dengan absis X1 = - 1 Dan X2 = 4 . Menjawab : X1 = - 1;

X2 = 4.

2) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis (Gbr. 3) X2 - 2x + 1 = 0.

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X2 = 2x - 1.

Mari kita membuat parabola kamu = x2 dan langsung kamu = 2x - 1.

Langsung kamu = 2x - 1 membangun dari dua titik M (0; - 1)

Dan N(1/2; 0) . Garis lurus dan parabola berpotongan di suatu titik A Dengan

absis x = 1. Menjawab: x = 1.

3) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis X2 - 2x + 5 = 0(Gbr. 4).

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X2 = 5x - 5. Mari kita membuat parabola kamu = x2 dan langsung kamu = 2x - 5. Langsung kamu = 2x - 5 Mari kita membangun dari dua titik M(0; - 5) dan N(2.5; 0). Garis lurus dan parabola tidak mempunyai titik potong, mis. Persamaan ini tidak mempunyai akar.

Menjawab. Persamaannya X2 - 2x + 5 = 0 tidak memiliki akar.

8. METODE: Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris.

Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan parabola tidak nyaman. Pembuatan parabola titik demi titik memerlukan waktu yang lama, dan tingkat keakuratan hasil yang diperoleh rendah.

Saya mengusulkan metode berikut untuk mencari akar persamaan kuadrat Oh2 + Bx + c = 0 menggunakan kompas dan penggaris (Gbr. 5).

Mari kita asumsikan bahwa lingkaran yang diinginkan memotong sumbunya

absis dalam poin B(x1 ; 0) Dan D(X2 ; 0), Di mana X1 Dan X2 - akar persamaan Oh2 + Bx + c = 0, dan melewati titik-titik tersebut

SEBUAH(0; 1) Dan C(0;C/ A) pada sumbu ordinat. Kemudian, berdasarkan teorema garis potong, kita punya O.B. OD.= O.A. O.C., Di mana O.C.= O.B. OD./ O.A.= x1 X2 / 1 = C/ A.

Pusat lingkaran berada pada titik potong garis tegak lurus SF Dan S.K., dipulihkan di tengah-tengah akord AC Dan BD, Itu sebabnya

1) membangun titik-titik (pusat lingkaran) dan A(0; 1) ;

2) menggambar lingkaran dengan jari-jari S.A.;

3) absis titik potong lingkaran ini dengan sumbunya Oh adalah akar-akar persamaan kuadrat asli.

Dalam hal ini, ada tiga kasus yang mungkin terjadi.

1) Jari-jari lingkaran lebih besar dari ordinat pusatnya (SEBAGAI> S.K., atauR> A+ C/2 A) , lingkaran memotong sumbu Sapi di dua titik (Gbr. 6, a) B(x1 ; 0) Dan D(X2 ; 0) , Di mana X1 Dan X2 - akar persamaan kuadrat Oh2 + Bx + c = 0.

2) Jari-jari lingkaran sama dengan ordinat pusatnya (SEBAGAI= S.B., atauR= A+ C/2 A) , lingkaran menyentuh sumbu Ox (Gbr. 6, b) di titik tersebut B(x1 ; 0) , di mana x1 adalah akar persamaan kuadrat.

Kelanjutan
--PAGE_BREAK--

3) Jari-jari lingkaran lebih kecil dari ordinat pusatnya, lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan dengan sumbu absis (Gbr. 6, c), dalam hal ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya X2 - 2x - 3 = 0(Gbr. 7).

Larutan. Mari kita tentukan koordinat titik pusat lingkaran dengan menggunakan rumus:

Mari kita menggambar lingkaran dengan jari-jari SA, dimana A (0; 1).

Menjawab:X1 = - 1; X2 = 3.

9. METODE: Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan nomogram.

Ini adalah metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lama dan tidak dapat dilupakan, ditempatkan pada halaman 83 (lihat tabel matematika empat digit Bradis V.M. - M., Prosveshchenie, 1990).

Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z2 + hal+ Q= 0 . Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, untuk menentukan akar-akar persamaan menggunakan koefisiennya.

Skala lengkung nomogram dibuat sesuai dengan rumus (Gbr. 11):

Percaya OS = hal,ED= Q, OE = sebuah(semuanya dalam cm), dari persamaan segitiga SAN Dan CDF kita mendapatkan proporsinya

yang, setelah substitusi dan penyederhanaan, menghasilkan persamaan

z2 + hal+ Q= 0,

dan surat itu z berarti tanda titik mana pun pada skala melengkung.

Contoh.

1) Untuk persamaannya z2 - 9 z+ 8 = 0 nomogram memberikan akar

z1 = 8,0 Dan z2 = 1,0 (Gbr. 12).

2) Dengan menggunakan nomogram, kita menyelesaikan persamaan tersebut

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Membagi koefisien persamaan ini dengan 2, kita mendapatkan persamaannya

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Nomogram memberi akar z1 = 4 Dan z2 = 0,5.

3) Untuk persamaannya

z2 - 25 z+ 66 = 0

koefisien p dan q berada di luar skala, mari kita lakukan substitusi z= 5 T, kita mendapatkan persamaannya

T2 - 5 T+ 2,64 = 0,

yang kami selesaikan menggunakan nomogram dan dapatkan T1 = 0,6 Dan T2 = 4,4, Di mana z1 = 5 T1 = 3,0 Dan z2 = 5 T2 = 22,0.

10. METODE: Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Pada zaman dahulu, ketika geometri lebih berkembang daripada aljabar, persamaan kuadrat diselesaikan bukan secara aljabar, melainkan secara geometris. Saya akan memberikan contoh terkenal dari “Aljabar” al-Khorezmi.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaannya X2 + 10x = 39.

Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Sebuah kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39” (Gbr. 15).

Larutan. Misalkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibuat pada sisi-sisinya sehingga sisi yang lain masing-masing adalah 2,5, jadi luas masing-masing adalah 2,5x. Gambar yang dihasilkan kemudian dijumlahkan dengan persegi ABCD baru, dengan membuat empat persegi sama besar di sudut-sudutnya, masing-masing sisinya 2,5, dan luasnya 6,25.

Persegi S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas: persegi asal X2 , empat persegi panjang (4 2,5x = 10x) dan empat kotak terlampir (6,25 4 = 25) , yaitu. S= X2 + 10x + 25. Mengganti

X2 + 10x nomor 39 , kami mengerti S= 39 + 25 = 64 , yang artinya sisi persegi ABCD, yaitu. segmen garis AB = 8. Untuk sisi yang diperlukan X kita mendapatkan kotak aslinya

2) Tapi, misalnya, bagaimana orang Yunani kuno memecahkan persamaan tersebut pada2 + 6у - 16 = 0.

Larutan ditunjukkan pada Gambar. 16, dimana

pada2 + 6y = 16, atau y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Larutan. Ekspresi pada2 + 6у + 9 Dan 16 + 9 secara geometris mewakili persegi yang sama, dan persamaan aslinya pada2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- persamaan yang sama. Dari mana kita mendapatkannya kamu + 3 = ± 5, atau pada1 = 2, kamu2 = - 8 (Gbr. 16).

3) Selesaikan persamaan geometri pada2 - 6у - 16 = 0.

Mengubah persamaan, kita dapatkan

pada2 - 6 tahun = 16.

Pada Gambar. 17 temukan “gambar” dari ekspresi tersebut pada2 - 6u, itu. dari luas persegi yang sisinya y, kurangi luas persegi yang sisinya sama dengan 3 . Artinya jika pada ekspresi pada2 - 6у menambahkan 9 , maka kita mendapatkan luas persegi dengan sisinya kamu - 3. Mengganti ekspresi pada2 - 6у itu sama dengan angka 16,

kita mendapatkan: (kamu - 3)2 = 16 + 9, itu. y - 3 = ± √25, atau y - 3 = ± 5, dimana pada1 = 8 Dan pada2 = - 2.

Kesimpulan

Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental.

Namun, pentingnya persamaan kuadrat tidak hanya terletak pada keanggunan dan singkatnya penyelesaian masalah, meskipun hal ini sangat penting. Sama pentingnya bahwa sebagai hasil dari penggunaan persamaan kuadrat dalam memecahkan masalah, detail baru sering ditemukan, generalisasi yang menarik dapat dibuat dan klarifikasi dapat dilakukan, yang disarankan oleh analisis rumus dan hubungan yang dihasilkan.

Saya juga ingin mencatat bahwa topik yang disajikan dalam karya ini belum banyak dipelajari sama sekali, hanya saja tidak dipelajari, sehingga penuh dengan banyak hal yang tersembunyi dan tidak diketahui, yang memberikan peluang besar untuk karya lebih lanjut. di atasnya.

Di sini saya memikirkan masalah penyelesaian persamaan kuadrat, dan apa,

apakah ada cara lain untuk mengatasinya?! Sekali lagi, temukan pola-pola indah, beberapa fakta, klarifikasi, buat generalisasi, temukan lebih banyak hal baru. Tapi ini adalah pertanyaan untuk pekerjaan di masa depan.

Ringkasnya, kita dapat menyimpulkan: persamaan kuadrat mempunyai peranan yang sangat besar dalam perkembangan matematika. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus. Pengetahuan ini dapat berguna bagi kita sepanjang hidup kita.

Karena metode penyelesaian persamaan kuadrat ini mudah digunakan, metode ini tentunya menarik bagi siswa yang tertarik pada matematika. Pekerjaan saya memungkinkan kita untuk melihat secara berbeda tugas-tugas yang diberikan matematika kepada kita.

Literatur:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. dan lain-lain Aljabar, 6-8. Buku pelajaran percobaan untuk kelas 6-8 SMA. - M., Pendidikan, 1981.

2. Bradis V.M. Tabel matematika empat digit untuk sekolah menengah Ed. ke-57. - M., Pencerahan, 1990. S. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Buku soal aljabar dan fungsi dasar. Buku teks untuk pendidikan khusus menengah lembaga pendidikan. - M., sekolah menengah, 1969.

4. Okunev A.K. Fungsi kuadrat, persamaan dan pertidaksamaan. Buku pedoman guru. - M., Pendidikan, 1972.

5. Presman A.A. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris. - M., Kvant, No.4/72. Hal.34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Kumpulan soal dan soal matematika. Ed. - 4, tambahan - M., Sekolah Tinggi, 1973.

7. Khudobin A.I. Kumpulan soal aljabar dan fungsi dasar. Buku pedoman guru. Ed. ke-2. - M., Pendidikan, 1970.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN RF

Wilayah Bryansk, distrik Zhukovsky

Institusi pendidikan kota, sekolah menengah Rzhanitsky

RISET

CARA SOLUSI

Pavlikov Dmitry, kelas 9.

Ketua: Prikhodko Yuri
Vladimirovich,

guru matematika.

BRYANSK, 2009

SAYA. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat ……………………….2

1. Persamaan kuadrat pada Babilonia Kuno………………………..2

2. Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat………2

3. Persamaan kuadrat di India……………………………………...3

4. Persamaan kuadrat dalam al-Khorezmi……………………………4

5. Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII…………………5

6. Tentang teorema Vieta…………………………………………………6

II. Metode penyelesaian persamaan kuadrat ……………………….7

Metode..................................................................................................................7

Metode……………………………………………………………...9

Metode……………………………………………………………...10

Metode……………………………………………………………...12

Metode……………………………………………………………...13

Metode……………………………………………………………...15

Metode……………………………………………………………...16

AKU AKU AKU. Kesimpulan…………………………………………………..............18

literatur……………………………………………………………….19

Sejarah perkembangan persamaan kuadrat.

1. Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno.

Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks runcingnya, selain teks-teks yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Meskipun tingkat perkembangan aljabar yang tinggi di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

2. Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Temukan dua bilangan, ketahuilah bahwa jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-an 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12 , lainnya 8 . Larutan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

pada 2 - 20у + 96 = 0. (2)

3. Persamaan kuadrat di India.

Oh 2 + Bx = c, a 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi semacam itu: “Seperti matahari mengalahkan bintang-bintang dengan kecemerlangannya, maka orang terpelajar akan mengungguli kemuliaan orang lain dalam pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Jumlahnya ada di alun-alun, bagian 8. Berapa jumlah monyet di sana?

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan soal 13 adalah:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara menulis dengan kedok:

X 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan kedua ruasnya 32 2 , lalu dapatkan:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16,x 2 = 48.

4. Persamaan kuadrat al-Khorezmi.

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. Oh 2 + c =BX.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. Oh 2 = s.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. Oh 2 + c =BX.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka”, yaitu. Oh 2 + bx= s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu.bx+ c = ah 2 .

Bagi al-Khorezmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari setiap persamaan tersebut adalah penjumlahan dan bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis memaparkan metode penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama, al-Khorezmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam praktik tertentu tidak masalah dalam tugas. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, al-Khorezmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometri.

Berikut ini contohnya:

Masalah 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya"

(dengan asumsi akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

5. Persamaan kuadrat di EropaXIII - XVIIabad

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik dari negara Islam maupun Yunani kuno, dibedakan dari kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

X 2 + bx= c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B, Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Viète, tetapi Viète hanya mengenali akar-akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

6. Tentang teorema Vieta.

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D, dikalikan dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D».

(sebuah +B)x - x 2 = ab,

X 2 - (sebuah +B)x + aB = 0,

X 1 = sebuah, x 2 = B.

Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viète menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun simbolisme Viet masih jauh dari bentuk modernnya. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

Jadi: Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus.

1. METODE : Memfaktorkan ruas kiri persamaan.

Mari kita selesaikan persamaannya X 2 + 10x - 24 = 0. Mari kita faktorkan ruas kiri:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut:

(x + 12)(x - 2) = 0

2. METODE : Metode untuk memilih persegi lengkap.

Mari kita selesaikan persamaannya X 2 + 6x - 7 = 0. Pilih kotak lengkap di sisi kiri.

Untuk melakukannya, kita tulis ekspresi x 2 + 6x dalam bentuk berikut:

X 2 + 6x = x 2 + 2 X 3.

x 2 + 2 X 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Sekarang mari kita transformasikan ruas kiri persamaan tersebut

X 2 + 6x - 7 = 0,

menjumlahkannya dan mengurangkan 3 2. Kita punya:

X 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 X 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Dengan demikian, persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Karena itu, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, atau x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODE :Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.

Mari kalikan kedua ruas persamaan tersebut

Oh 2 + Bx + c = 0, a ≠ 0

pada 4a dan secara berurutan kita memiliki:

4a 2 X 2 + 4aBx + 4ac = 0,

((2ah) 2 + 2ah B + B 2 ) - B 2 + 4 ac = 0,

(2kapak + b) 2 = b 2 - 4ac,

2kapak + b = ± √ b 2 - 4ac,

2kapak = - b ± √ b 2 - 4ac,

Contoh.

A) Mari selesaikan persamaannya: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

sebuah = 4,B= 7, s = 3,D = B 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D 0, dua akar berbeda;

Jadi, dalam kasus diskriminan positif, yaitu. pada

B 2 - 4 ac 0 , persamaannya Oh 2 + Bx + c = 0 mempunyai dua akar yang berbeda.

B) Mari selesaikan persamaannya: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

sebuah = 4,B= - 4, s = 1,D = B 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, satu akar;

Jadi, jika diskriminannya nol, mis. B 2 - 4 ac = 0 , lalu persamaannya

Oh 2 + Bx + c = 0 mempunyai satu akar

V) Mari selesaikan persamaannya: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

sebuah = 2,B= 3, c = 4,D = B 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D

Persamaan ini tidak mempunyai akar.

Jadi, jika diskriminannya negatif, mis. B 2 - 4 ac, persamaannya

Oh 2 + Bx + c = 0 tidak memiliki akar.

Rumus (1) akar-akar persamaan kuadrat Oh 2 + Bx + c = 0 memungkinkan Anda menemukan akar setiap persamaan kuadrat (jika ada), termasuk tereduksi dan tidak lengkap. Rumusan (1) dinyatakan secara lisan sebagai berikut: akar-akar persamaan kuadrat sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, ditambah dikurangi akar kuadrat dari kuadrat koefisien ini tanpa melipatgandakan hasil kali koefisien pertama dengan suku bebas, dan penyebutnya dua kali lipat koefisien pertama.

4. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.

Seperti diketahui, persamaan kuadrat tereduksi mempunyai bentuk

X 2 + piksel + C = 0. (1)

Akarnya memenuhi teorema Vieta, yang mana, kapan sebuah =1 seperti

X 1 X 2 = Q,

X 1 + X 2 = - P

Dari sini kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut (dari koefisien p dan q kita dapat memprediksi tanda-tanda akarnya).

a) Jika setengah anggota Q persamaan yang diberikan (1) adalah positif ( Q 0 ), maka persamaan tersebut memiliki dua akar yang bertanda sama dengan dan ini bergantung pada koefisien kedua P. Jika p, maka kedua akarnya negatif jika p, maka kedua akarnya positif.

Misalnya,

X 2 – 3 X + 2 = 0; X 1 = 2 Dan X 2 = 1, Karena Q = 2 0 Dan P = - 3

X 2 + 8 X + 7 = 0; X 1 = - 7 Dan X 2 = - 1, Karena Q = 7 0 Dan P= 8 0.

b) Jika anggota bebas Q persamaan yang diberikan (1) negatif ( Q), maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda tanda, dan akar yang lebih besar akan bertanda positif jika P, atau negatif jika P 0 .

Misalnya,

X 2 + 4 X – 5 = 0; X 1 = - 5 Dan X 2 = 1, Karena Q= - 5 dan P = 4 0;

X 2 – 8 X – 9 = 0; X 1 = 9 Dan X 2 = - 1, Karena Q= - 9 dan P = - 8

5. METODE: Menyelesaikan persamaan menggunakan metode "lempar".

Pertimbangkan persamaan kuadrat

Oh 2 + Bx + c = 0, Di mana sebuah ≠ 0.

Mengalikan kedua ruas dengan a, kita memperoleh persamaan

A 2 X 2 + sebuahBx + ac = 0.

Membiarkan ah = kamu, Di mana x = y/a; lalu kita sampai pada persamaannya

pada 2 + oleh+ ac = 0,

setara dengan ini. Akarnya pada 1 Dan pada 2 dapat ditemukan menggunakan teorema Vieta.

Akhirnya kita dapatkan X 1 = kamu 1 /A Dan X 1 = kamu 2 /A. Dengan metode ini koefisiennya A dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” padanya, itulah sebabnya disebut metode transfer. Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 2x 2 – 11x + 15 = 0.

Larutan. Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaannya

pada 2 – 11у + 30 = 0.

Menurut teorema Vieta

pada1 = 5x 1 = 5/2 X 1 = 2,5

pada 2 = 6 X 2 = 6/2 X 2 = 3.

Jawaban: 2.5; 3.

6. METODE: Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat.

A. Biarkan persamaan kuadrat diberikan Oh 2 + Bx + c = 0, Di mana sebuah ≠ 0.

1) Jika, a+B+ c = 0 (yaitu jumlah koefisiennya nol), maka x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Bukti. Membagi kedua ruas persamaan dengan a ≠ 0, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi

X 2 + B/ A X + C/ A = 0.

Menurut teorema Vieta

X 1 + X 2 = - B/ A,

X 1 X 2 = 1 C/ A.

Dengan syarat A -B+ c = 0, Di mana B= a + c. Dengan demikian,

X 1 + X 2 = - sebuah +B/ A= -1 – C/ A,

X 1 X 2 = - 1 (- C/ A),

itu. X 1 = -1 Dan X 2 = C/ A, yang perlu kami buktikan.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Larutan. Karena sebuah +B+ c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Itu

X 1 = 1, x 2 = C/ A = -208/345.

Jawaban 1; -208/345.

2) Selesaikan persamaannya 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Larutan. Karena sebuah +B+ c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Itu

X 1 = 1, x 2 = C/ A = 115/132.

Jawaban 1; 115/132.

B. Jika koefisien kedua B = 2 k adalah bilangan genap, maka rumus akarnya

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya 3x2 - 14x + 16 = 0.

Larutan. Kita punya: sebuah = 3,B= - 14, s = 16,k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 0, dua akar berbeda;

Jawaban: 2; 8/3

DI DALAM. Persamaan tereduksi

X 2 + piksel +Q= 0

bertepatan dengan persamaan umum di mana sebuah = 1, B= hal Dan c =Q. Oleh karena itu, untuk persamaan kuadrat tereduksi, rumus akarnya adalah

mengambil bentuk:

Rumus (3) sangat nyaman digunakan ketika R- bilangan genap.

Contoh. Mari kita selesaikan persamaannya X 2 – 14x – 15 = 0.

Larutan. Kita punya: X 1,2 =7±

Jawaban: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METODE: Solusi grafis dari persamaan kuadrat.

E jika dalam persamaan

X 2 + piksel + Q = 0

pindahkan suku kedua dan ketiga ke ruas kanan, kita peroleh

X 2 = - piksel - Q.

Mari kita buat grafik ketergantungan y = x 2 dan y = - px - q.

Grafik ketergantungan pertama adalah parabola yang melalui titik asal. Grafik ketergantungan kedua -

lurus (Gbr. 1). Kasus-kasus berikut mungkin terjadi:

Garis lurus dan parabola dapat berpotongan di dua titik,

absis titik potong adalah akar-akar persamaan kuadrat;

Garis lurus dan parabola dapat bersentuhan (hanya satu titik persekutuan), yaitu. persamaan tersebut memiliki satu solusi;

Garis lurus dan parabola tidak mempunyai titik persekutuan, yaitu. persamaan kuadrat tidak mempunyai akar.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis X 2 - 3x - 4 = 0(Gbr. 2).

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X 2 = 3x + 4.

Mari kita membuat parabola kamu = x 2 dan langsung kamu = 3x + 4. Langsung

kamu = 3x + 4 dapat dibangun dari dua titik M (0; 4) Dan

N (3; 13) . Garis lurus dan parabola berpotongan di dua titik

A Dan DI DALAM dengan absis X 1 = - 1 Dan X 2 = 4 . Menjawab : X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis (Gbr. 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X 2 = 2x - 1.

Mari kita membuat parabola kamu = x 2 dan langsung kamu = 2x - 1.

Langsung kamu = 2x - 1 membangun dari dua titik M (0; - 1)

Dan N(1/2; 0) . Garis lurus dan parabola berpotongan di suatu titik A Dengan

absis x = 1. Menjawab: x = 1.

3) Mari kita selesaikan persamaannya secara grafis X 2 - 2x + 5 = 0(Gbr. 4).

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk X 2 = 5x - 5. Mari kita membuat parabola kamu = x 2 dan langsung kamu = 2x - 5. Langsung kamu = 2x - 5 Mari kita membangun dari dua titik M(0; - 5) dan N(2.5; 0). Garis lurus dan parabola tidak mempunyai titik potong, mis. Persamaan ini tidak mempunyai akar.

Menjawab. Persamaannya X 2 - 2x + 5 = 0 tidak memiliki akar.

8. METODE: Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan

penguasa.

Saya mengusulkan metode berikut untuk mencari akar persamaan kuadrat Oh 2 + Bx + c = 0 menggunakan kompas dan penggaris (Gbr. 5).

Mari kita asumsikan bahwa lingkaran yang diinginkan memotong sumbunya

absis dalam poin B(x 1 ; 0) Dan D(X 2 ; 0), Di mana X 1 Dan X 2 - akar persamaan Oh 2 + Bx + c = 0, dan melewati titik-titik tersebut

SEBUAH(0; 1) Dan C(0;C/ A) pada sumbu ordinat. Kemudian, berdasarkan teorema garis potong, kita punya O.B. OD. = O.A. O.C., Di mana O.C. = O.B. OD./ O.A.= x 1 X 2 / 1 = C/ A.

Pusat lingkaran berada pada titik potong garis tegak lurus SF Dan S.K., dipulihkan di tengah-tengah akord AC Dan BD, Itu sebabnya

1) membangun titik-titik (pusat lingkaran) dan A(0; 1) ;

2) menggambar lingkaran dengan jari-jari S.A.;

3) absis titik potong lingkaran ini dengan sumbunya Oh adalah akar-akar persamaan kuadrat asli.

Dalam hal ini, ada tiga kasus yang mungkin terjadi.

1) Jari-jari lingkaran lebih besar dari ordinat pusatnya (SEBAGAI S.K., atauR A + C/2 A) , lingkaran memotong sumbu Sapi di dua titik (Gbr. 6,a) B(x 1 ; 0) Dan D(X 2 ; 0) , Di mana X 1 Dan X 2 - akar persamaan kuadrat Oh 2 + Bx + c = 0.

2) Jari-jari lingkaran sama dengan ordinat pusatnya (SEBAGAI = S.B., atauR = A + C/2 A) , lingkaran menyentuh sumbu Ox (Gbr. 6,b) di titik tersebut B(x 1 ; 0) , di mana x 1 adalah akar persamaan kuadrat.

3) Jari-jari lingkaran lebih kecil dari ordinat pusatnya

lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan dengan sumbu absis (Gbr. 6, c), dalam hal ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya X 2 - 2x - 3 = 0(Gbr. 7).

Larutan. Mari kita tentukan koordinat titik pusat lingkaran dengan menggunakan rumus:

Mari kita menggambar lingkaran dengan jari-jari SA, dimana A (0; 1).

Menjawab: X 1 = - 1; X 2 = 3.

9. METODE: Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan

nomogram.

Ini adalah metode penyelesaian persamaan kuadrat yang lama dan tidak dapat dilupakan,

ditempatkan pada hal.83 (lihat tabel matematika empat digit Bradis V.M. - M., Education, 1990).

Tabel XXII. Nomogram untuk menyelesaikan persamaan z 2 + hal + Q = 0 . Nomogram ini memungkinkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, dengan koefisiennya

di sana untuk menentukan akar persamaan.

Skala lengkung nomogram dibangun

menurut rumus (Gbr. 11):

Percaya OS = hal,ED = Q, OE = sebuah(semua dalam cm), dari

kesamaan segitiga SAN Dan CDF kita mendapatkan

proporsi

yang, setelah substitusi dan penyederhanaan, menghasilkan persamaan

z 2 + hal + Q = 0,

dan surat itu z berarti tanda titik mana pun pada skala melengkung.

Contoh.

1) Untuk persamaannya z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogram memberikan akar z 1 = 8,0 Dan z 2 = 1,0 (Gbr. 12).

2) Mari kita selesaikan persamaan menggunakan nomogram

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Mari kita bagi koefisien persamaan ini dengan 2,

kita mendapatkan persamaannya

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogram memberi akar z 1 = 4 Dan z 2 = 0,5.

3) Untuk persamaannya

z 2 - 25 z + 66 = 0

koefisien p dan q berada di luar skala, mari kita lakukan substitusi z = 5 T,

kita mendapatkan persamaannya

T 2 - 5 T + 2,64 = 0,

yang kami selesaikan menggunakan nomogram dan dapatkan T 1 = 0,6 Dan T 2 = 4,4, Di mana z 1 = 5 T 1 = 3,0 Dan z 2 = 5 T 2 = 22,0.

10. METODE: Metode geometris untuk menyelesaikan persegi

persamaan.

Contoh.

1) Mari kita selesaikan persamaannya X 2 + 10x = 39.

Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Sebuah kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39” (Gbr. 15).

Persegi S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas: persegi asal X 2 , empat persegi panjang (4 2,5x = 10x) dan empat kotak terlampir (6,25 4 = 25) , yaitu. S = X 2 + 10x + 25. Mengganti

X 2 + 10x nomor 39 , kami mengerti S = 39 + 25 = 64 , yang artinya sisi persegi ABCD, yaitu. segmen garis AB = 8. Untuk sisi yang diperlukan X kita mendapatkan kotak aslinya

2) Tapi, misalnya, bagaimana orang Yunani kuno memecahkan persamaan tersebut pada 2 + 6у - 16 = 0.

Larutan ditunjukkan pada Gambar. 16, dimana

pada 2 + 6y = 16, atau y 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Larutan. Ekspresi pada 2 + 6у + 9 Dan 16 + 9 mewakili secara geometris

kuadrat yang sama, dan persamaan aslinya pada 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0- persamaan yang sama. Dari mana kita mendapatkannya kamu + 3 = ± 5, atau pada 1 = 2, kamu 2 = - 8 (Gbr. 16).

3) Selesaikan persamaan geometri pada 2 - 6у - 16 = 0.

Mengubah persamaan, kita dapatkan

pada 2 - 6 tahun = 16.

Pada Gambar. 17 temukan “gambar” dari ekspresi tersebut pada 2 - 6u, itu. dari luas persegi yang sisinya y, kurangi luas persegi yang sisinya sama dengan 3 . Artinya jika pada ekspresi pada 2 - 6у menambahkan 9 , maka kita mendapatkan luas persegi dengan sisinya kamu - 3. Mengganti ekspresi pada 2 - 6у itu sama dengan angka 16,

kita mendapatkan: (kamu - 3) 2 = 16 + 9, itu. y - 3 = ± √25, atau y - 3 = ± 5, dimana pada 1 = 8 Dan pada 2 = - 2.

Kesimpulan

Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental.

Di sini kita fokus pada masalah penyelesaian persamaan kuadrat, tetapi bagaimana jika ada cara lain untuk menyelesaikannya?! Sekali lagi, temukan pola-pola indah, beberapa fakta, klarifikasi, buat generalisasi, temukan lebih banyak hal baru. Tapi ini adalah pertanyaan untuk pekerjaan di masa depan.

Karena metode penyelesaian persamaan kuadrat ini mudah digunakan, metode ini tentunya menarik bagi siswa yang tertarik pada matematika. Pekerjaan kami memungkinkan kami untuk melihat secara berbeda tugas-tugas yang diberikan matematika kepada kami.

Literatur:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. dan lain-lain Aljabar, 6-8. Buku pelajaran percobaan untuk kelas 6-8 SMA. - M., Pendidikan, 1981.

2. Bradis V.M. Lembar Kerja Matematika Empat Digit untuk Sekolah Menengah.

Ed. ke-57. - M., Pencerahan, 1990. S. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Buku soal aljabar dan fungsi dasar. Buku teks untuk lembaga pendidikan khusus menengah. - M., sekolah menengah, 1969.

4. Okunev A.K. Fungsi kuadrat, persamaan dan pertidaksamaan. Buku pedoman guru. - M., Pendidikan, 1972.

5. Presman A.A. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris. - M., Kvant, No.4/72. Hal.34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Kumpulan soal dan soal matematika. Ed. - 4, tambahan - M., Sekolah Tinggi, 1973.

7. Khudobin A.I. Kumpulan soal aljabar dan fungsi dasar. Buku pedoman guru. Ed. ke-2. - M., Pendidikan, 1970.

Aplikasi untuk manajemen

pekerjaan penelitian

Pengawas: Prikhodko Yuri Vladimirovich (guru matematika)

Topik yang disarankan: "10 cara menyelesaikan persamaan kuadrat"

Konsultan:

Prikhodko Yuri Vladimirovich (guru matematika);

Eroshenkov Dmitry Aleksandrovich (guru ilmu komputer)

Bidang pengetahuan pendidikan, mata pelajaran akademik di mana pekerjaan proyek dilakukan matematika

Disiplin akademik yang dekat dengan topik proyek: matematika

Kelas pelatihan: kelas 9

Komposisi kelompok penelitian: Kursin Dmitry, Pavlikov Dmitry

Jenis proyek berdasarkan aktivitas dominan siswa: studi tentang cara rasional untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Jenis proyek berdasarkan durasi: jangka panjang

Jenis pendidikan: mata kuliah pilihan

Peralatan yang diperlukan: literatur sains populer terkait dengan pertimbangan berbagai cara menyelesaikan persamaan kuadrat

Produk yang dimaksudkan dari proyek ini: pembuatan materi pendidikan dan metodologi tentang penggunaan metode rasional untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Sekolah menengah pedesaan Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematika

desa Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat

1.3 Persamaan kuadrat di India

1.4 Persamaan kuadrat menurut al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII

1.6 Tentang teorema Vieta

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Kesimpulan

literatur

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks runcingnya, selain teks-teks yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Meskipun tingkat perkembangan aljabar yang tinggi di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Temukan dua bilangan, ketahuilah bahwa jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12 , lainnya 8 . Larutan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

kamu 2 - 20 tahun + 96 = 0. (2)

1.3 Persamaan Kuadrat di India

ah 2+Bx = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Jumlahnya ada di alun-alun, bagian 8. Berapa jumlah monyet di sana?

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan soal 13 adalah:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara menulis dengan kedok:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan kedua ruasnya 32 2 , lalu dapatkan:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadrat dalam al – Khorezmi

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c =BX.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. kapak 2 = c.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c =BX.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka”, yaitu. ah 2+bx= s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu.bx+ c = kapak 2 .

Masalah 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (menyiratkan akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadrat di EropaXIII - XVIIbb

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik dari negara Islam maupun Yunani kuno, dibedakan dari kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk memecahkan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang melakukan pendekatan terhadap pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

x 2 +bx= c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B, Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

1.6 Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D, dikalikan dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D».

(sebuah +B)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +B)x + aB = 0,

x 1 = a, x 2 =B.

Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viète menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun simbolisme Viet masih jauh dari bentuk modernnya. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952">MOU "Sekolah Menengah Sergievsk"

Diselesaikan oleh: Sizikov Stanislav

Guru:

Dengan. Sergievka, 2007

1. Perkenalan. Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno……………….3

2. Persamaan kuadrat pada Diaphant…………..………………………….4

3. Persamaan kuadrat di India ……………………………………………5

4. Persamaan kuadrat al-Khorezmi……………………………..6

5. Persamaan kuadrat di Eropa XIII - XYII…………………………...7

6. Tentang teorema Vieta…………………………………………………..9

7. Sepuluh cara menyelesaikan persamaan kuadrat…………………..10

8. Kesimpulan................................................................................................20

9. Daftar referensi…………………………………………………...21

Perkenalan

Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, dan irasional. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat, dimulai dari kelas 8. Bagaimana asal usul dan perkembangan sejarah penyelesaian persamaan kuadrat?

Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya persamaan derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, pada zaman dahulu disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah-masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah; pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta dengan perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia. Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks pakunya, selain teks paku yang tidak lengkap, terdapat, misalnya, persamaan kuadrat lengkap: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text /78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara menulis dengan kedok

x2- 64X = - 768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan 322 pada kedua ruasnya, sehingga diperoleh: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, xg= 48.

Persamaan kuadrat al-Khorezmi

Risalah aljabar Al-Khwarizmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. kapak2 = masuk.

2) “Kotak sama dengan angka,” yaitu. ah2= Dengan.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. ah2+ c = masuk.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka,” yaitu. ah2+ dalam = s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu. memasukkan+ c = kapak2. Bagi al-Khawarizmi yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku setiap persamaan tersebut adalah penjumlahan dan bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menguraikan metode untuk menyelesaikan persamaan ini. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama, al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika hingga abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam praktik tertentu tidak masalah dalam tugas. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, al-Khawarizmi menetapkan aturan penyelesaiannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometriknya.

Mari kita beri contoh.

Soal 14. “Kuadrat dan bilangan 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (artinya akar persamaan x2+ 21 = 10X).

Risalah Al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

Persamaan kuadrat di EropaXIII- XVIIabad

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat mengikuti model al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam “Kitab Sempoa” (“Book of Abacus” karya Fibonacci, yang diterbitkan di Roma pada pertengahan abad yang lalu, berisi 459 halaman), ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika dari negara-negara Islam dan Yunani Kuno, dibedakan dari kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru dari pemecahan masalah dan yang pertama V Eropa telah mendekati penerapan angka negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16-17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal x2+ dalam = s, untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien di, dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544. M.Stiefel.

Derivasi rumus penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum tersedia dari Viète, tetapi Viète hanya mengenali akar-akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardaco, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika DI DALAM+ D, dikalikan dengan A dikurangi A2, sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D».

Untuk memahami Vieta, kita harus mengingat hal itu A, seperti apa pun
huruf vokal, artinya yang tidak diketahui (kita X), vokal
DI DALAM,D- koefisien untuk hal yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika ada

(A+ c)x - x 2 = ab, x2 - (a+ B) X + ab = 0, x1 = a, x2 = b.

Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viète menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun simbolisme Viet masih jauh dari bentuk modernnya. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif

Sepuluh cara menyelesaikan persamaan kuadrat

1. Memfaktorkan ruas kiri persamaan

Mari kita selesaikan persamaannya x2+ 10X- 24 = 0. Mari kita faktorkan ruas kiri persamaan tersebut:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut:

( X + 12)(x - 2) = 0.

Karena hasil kali adalah nol, maka paling sedikit salah satu faktornya adalah nol. Oleh karena itu, ruas kiri persamaan tersebut hilang kapan x = 2, dan juga di X= - 12. Artinya bilangan 2 dan - 12 merupakan akar-akar persamaan x2 + 10x - 24 = 0.

2. Metode pemilihan persegi lengkap

Mari kita jelaskan metode ini dengan sebuah contoh.

Mari kita selesaikan persamaan x2 + 6x - 7 = 0. Pilih persegi lengkap di sisi kiri. Untuk melakukannya, kita tulis ekspresi x2 + 6x dalam bentuk berikut:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Sekarang mari kita transformasikan ruas kiri persamaan tersebut

x2 + 6x - 7 = 0,

menjumlahkannya dan mengurangkan 32. Kita mendapatkan:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- = (x – Z)2 - 16 .

Dengan demikian, persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:

(x + = 0, yaitu (x + 3)2 = 16.

Karena itu, X+ 3 = 4 x1 = 1, atau x + 3 = - 4, x2 = - 7.

3. Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus

Mari kalikan kedua ruas persamaan tersebut

ah2+ memasukkan+ c = 0, sebuah ≠ 0, aktif 4a dan secara berurutan kita memiliki:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ah)2 + 2 axb + B2 ) - B2 + 4ac= 0,

(2ah +B)2 = b2- 4ac,

2ah+ B= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1.2 =

Dalam kasus diskriminan positif, mis. v2 - 4ac > 0, persamaan ah2+ dalam + s= 0 mempunyai dua akar yang berbeda.

Jika diskriminannya nol, mis. b2 - 4ac = 0, maka persamaannya ah2+ memasukkan+ Dengan= 0 memiliki akar tunggal, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62">Akarnya memenuhi teorema Vieta, yang mana ketika A= 1 mempunyai bentuk

x1 x2 = Q,

x1 + x2 = - R.

Dari sini kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut (berdasarkan koefisien R Dan Q tanda-tanda akarnya dapat diprediksi).

a) Jika anggota bebas Q persamaan yang diberikan (1)
positif (Q> 0), maka persamaan tersebut mempunyai dua persamaan yang identik
berdasarkan tanda akar dan bergantung pada koefisien kedua R
Jika R> 0, maka kedua akarnya negatif jika R< 0, lalu keduanya
akarnya positif.

Misalnya,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 dan x2 = 1, karena Q = 2 > 0 kamu P = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 dan x2 = - 1, karena Q= 7 > 0 dan R = 8 > 0.

b) Jika anggota bebas Q persamaan yang diberikan (1)
negatif (Q < 0), maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda tanda, dan akar yang lebih besar akan bertanda positif jika R< 0, atau negatif jika hal> 0.

Misalnya,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 = - 5 dan x2 = 1, karena Q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 dan x2= - 1, karena Q = - 9 < и R= - 8 < 0.

5. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode “lempar”.

Pertimbangkan persamaan kuadrat ax2 + inx+ c = 0, dimana sebuah ≠ 0. Mengalikan kedua ruas dengan A, kita mendapatkan persamaannya a2x2+abx+ ac= 0.

Membiarkan ah = kamu, Di mana X=; lalu kita sampai pada persamaannya

kamu2+ oleh+ ac = 0,

setara dengan yang ini. Akarnya kamu1 Dan kamu2 kita temukan menggunakan teorema Vieta. Akhirnya kita dapatkan x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

Dengan metode ini koefisiennya A dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” padanya, itulah sebabnya disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.

1. Selesaikan persamaan 2x2 - 11x + 15 = 0.

Larutan. Mari kita “membuang” koefisien 2 ke suku bebas, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaannya

kamu2 - 11 pada+ 30 = 0.

Menurut teorema Vieta y1 = 5, y2 = 6, maka x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41">, itu e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

Menjawab: 2,5; 3.

6. Sifat koefisien kuadratpersamaan

A. Biarkan persamaan kuadrat diberikan

kapak2 + inx + c= 0, dimana A ≠ 0.

1. Jika + dalam + c= 0 (yaitu jumlah koefisien persamaan adalah nol), maka x1 = 1, x2 = .

2. Jika a - b + c= 0, atauB = A + s, maka x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

Menjawab: 1; 184">

Kasus-kasus berikut mungkin terjadi:

Garis lurus dan parabola dapat berpotongan di dua titik, absis titik potong tersebut adalah akar-akar persamaan kuadrat;

Garis lurus dan parabola dapat bersentuhan (hanya satu titik persekutuan), yaitu persamaan mempunyai satu penyelesaian;

Garis lurus dan parabola tidak mempunyai titik persekutuan, yaitu persamaan kuadrat tidak mempunyai akar.

Contoh.

1. Selesaikan persamaan x2 - 3x - 4 = 0 secara grafis (Gbr. 2).

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk x2 = 3x + 4.

Mari kita membuat parabola kamu = x2 dan langsung kamu = 3x + 4. Langsung pada= 3x + 4 dapat dibangun dari dua titik M(0; 4) dan N(3; 13). Garis lurus dan parabola berpotongan di dua titik A ke B dengan absis x1= - 1 dan x2 = 4.

Jawaban: x1= - 1, x, = 4.

8. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan kompas dan penggaris

Kami mengusulkan metode berikut untuk mencari akar persamaan kuadrat

ah2+ memasukkan+ Dengan= 0

menggunakan kompas dan penggaris (Gbr.).

Misalkan lingkaran yang diinginkan memotong sumbu absis di titik-titik tersebut B(x1; 0) dan D(X2 ; 0), dimana x1 Dan x2- akar persamaan ax2 + inx+Dengan=0,
dan melewati titik A(0; 1) dan C(0; ) pada sumbu ordinat..gif" width="197" height="123">

Jadi: 1) buatlah titik https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> lingkaran memotong sumbu OX di titik B(x1; 0), dan D(x1 ; 0), dimana x1 dan x2 - akar persamaan kuadrat ax2+bx+c = 0.

2) Jari-jari lingkaran sama dengan ordinat pusatnya , lingkaran menyentuh sumbu Ox di titik B(x1;0), dimana xx- akar persamaan kuadrat.

3) Jari-jari lingkaran lebih kecil dari ordinat kiri tengah">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Dari mana setelah pergantian pemain dan

penyederhanaannya, berikut persamaan z2+pz+q=0, dan huruf z berarti label titik mana pun pada skala lengkung.

10. Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Pada zaman dahulu, ketika geometri lebih berkembang daripada aljabar, persamaan kuadrat diselesaikan bukan secara aljabar, melainkan secara geometris. Mari kita berikan contoh terkenal dari Aljabar al-Khawarizmi.

Dan empat kotak terlampir yaitu S=x2+10x+25. Mengganti x2+10x dengan 39, kita mendapatkan S = 39 + 25 = 64, artinya sisi persegi ABCD, yaitu segmen AB= 8. Untuk sisi yang diminta X kita mendapatkan kotak aslinya

Kesimpulan

Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat, dari sekolah hingga kelulusan. Namun dalam kursus matematika sekolah, rumus akar persamaan kuadrat dipelajari, yang dengannya Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun. Namun, setelah mempelajari masalah ini lebih dalam, saya menjadi yakin bahwa ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang memungkinkan Anda menyelesaikan banyak persamaan dengan sangat cepat dan rasional.

Mungkin matematika ada di suatu tempat di dimensi lain, tidak terlihat oleh mata - semuanya tertulis dan kita baru saja mendapatkan fakta baru dari lubang dunia? ...Tuhan tahu; Namun ternyata jika fisikawan, ahli kimia, ekonom, atau arkeolog membutuhkan model baru tentang struktur dunia, model ini selalu dapat diambil dari rak tempat para ahli matematika meletakkannya tiga ratus tahun yang lalu, atau dirangkai dari bagian-bagian yang terletak di tempat yang sama. rak. Mungkin bagian-bagian ini harus dipelintir, disesuaikan satu sama lain, dipoles, dengan cepat menghasilkan beberapa busing teorema baru; tetapi teori hasil tidak hanya menggambarkan keadaan sebenarnya, tetapi juga memprediksi konsekuensinya! ...

Ini adalah hal yang aneh - permainan pikiran yang selalu benar...

literatur

1. Alimov SHA., Ilyin VA. dan lain-lain Aljabar, 6-8. Buku teks percobaan untuk kelas 6-8 sekolah menengah. - M., Pendidikan, 1981.

2. Tabel matematika Bradys untuk sekolah menengah. Ed. ke-57. - M., Pencerahan, 1990. S. 83.

3. Zlotsky - tugas untuk mengajar matematika. Buku untuk guru. - M., Pendidikan, 1992.

4.M., Matematika (tambahan untuk surat kabar “Pertama September”), No. 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Fungsi Okunev, persamaan dan pertidaksamaan. Buku pedoman guru. - M., Pendidikan, 1972.

6. Solomnik B.C., Soal dan soal manis dalam matematika. Ed. 4, tambahan - M., Sekolah Tinggi, 1973.

7.M., Matematika (tambahan untuk surat kabar “Pertama September”), No. 40, 2000.

Tinjauan

untuk karya siswa kelas 11 dari Institusi Pendidikan Menengah Kota Sergievskaya

sekolah yang komprehensif"

Geser 1

Geser 2

Tujuan kursus: Pengenalan metode baru untuk menyelesaikan persamaan kuadrat Memperdalam pengetahuan tentang topik “Persamaan Kuadrat” Pengembangan matematika, kemampuan intelektual, keterampilan penelitian Menciptakan kondisi untuk realisasi diri pribadi

Geser 3

Tujuan kursus: Untuk memperkenalkan siswa pada cara-cara baru dalam menyelesaikan persamaan kuadrat Untuk memperkuat kemampuan menyelesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui Untuk memperkenalkan teorema yang memungkinkan penyelesaian persamaan dengan cara yang tidak standar Untuk melanjutkan pembentukan keterampilan pendidikan umum dan budaya matematika Untuk mempromosikan pembentukan minat dalam kegiatan penelitian Untuk menciptakan kondisi bagi siswa untuk mewujudkan dan mengembangkan minat terhadap mata pelajaran matematika Mempersiapkan siswa untuk memilih jurusan yang tepat

Geser 4

Isi program Topik 1. Pendahuluan. 1 jam. Definisi persamaan kuadrat. Persegi penuh dan tidak lengkap. persamaan Metode untuk menyelesaikannya. Mempertanyakan. Topik 2. Menyelesaikan kuadrat. persamaan. Metode faktorisasi Metode mengekstraksi penyelesaian kuadrat lengkap. persamaan menggunakan rumus Solusi persegi. persamaan dengan metode transfer Solusi sq. persamaan menggunakan T. Vieta Solving sq. persamaan menggunakan koefisien Solusi persegi. persamaan secara grafis Menyelesaikan persegi. persamaan menggunakan kompas dan penggaris Menyelesaikan persegi. persamaan menggunakan metode geometri Menyelesaikan persegi. persamaan menggunakan “nomogram”

Geser 5

Sedikit sejarah... Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi sandaran bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional, dan transendental. Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno. Persamaan kuadrat di India. Persamaan kuadrat dalam al-Khorezmi. Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII.

Geser 6

Geser 7

Geser 8

Geser 9

Geser 10

Ilmuwan Perancis terkenal Francois Viète (1540-1603) berprofesi sebagai pengacara. Dia mengabdikan waktu luangnya untuk astronomi. Kelas astronomi membutuhkan pengetahuan trigonometri dan aljabar. Viet mempelajari ilmu-ilmu ini dan segera sampai pada kesimpulan tentang perlunya memperbaikinya, yang ia kerjakan selama beberapa tahun. Berkat karyanya, aljabar menjadi ilmu umum persamaan aljabar, berdasarkan kalkulus literal. Oleh karena itu, sifat-sifat persamaan dan akar-akarnya dapat diungkapkan dengan rumus umum.

Geser 11

Saat melakukan pekerjaan, saya memperhatikan: Metode yang akan saya gunakan: Teorema Vieta Sifat koefisien metode “transfer” Penguraian ruas kiri menjadi faktor Metode grafis Metode ini menarik, tetapi membutuhkan banyak waktu dan tidak selalu nyaman. Metode grafis Menggunakan nomogram Penggaris dan kompas Mengisolasi persegi lengkap Saya bersujud kepada para ilmuwan yang menemukan metode ini dan memberikan sains dorongan untuk pengembangan dalam topik “Memecahkan persamaan kuadrat”

Geser 12

Memfaktorkan ruas kiri persamaan Mari selesaikan persamaan x2 + 10x - 24=0. Mari kita faktorkan ruas kirinya: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 atau x - 2=0 x= -12 x= 2 Jawaban: x1= -12, x2 = 2. Selesaikan persamaan: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

Geser 13

Metode ekstraksi persegi penuh Selesaikan persamaan x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 atau x-3=-4 x=1 x=-7 Jawaban: x1=1, x2 =-7. Selesaikan persamaan: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

Geser 14

Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus Rumus dasar: Jika b ganjil, maka D= b2-4ac dan x 1,2=, (jika D>0) Jika b- genap, maka D1= dan x1,2=, (jika D >0) Selesaikan persamaan: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

Geser 15

Menyelesaikan persamaan dengan metode transfer Mari kita selesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0. Kalikan kedua ruas persamaan dengan a, kita peroleh a2 x2 +abx+ac=0. Misal ax = y, maka x = y/a. Maka U2 + bу + ac = 0. Akarnya adalah y1 dan y2. Terakhir, x1 = y1 /a, x1 = y2 /a. Mari kita selesaikan persamaan 2x2 -11x + 15=0. Mari kita pindahkan koefisien 2 ke suku bebas: Y2 -11y+30=0. Menurut teorema Vieta, y1 = 5 dan y2 = 6. x1 =5/2 dan x2 =6/2 x1 =2,5 dan x2 =3 Jawaban: x1=2,5, x2 =3 Selesaikan persamaan: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

Geser 16

Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta Mari kita selesaikan persamaan x2 +10x-24=0. Karena x1*x2 = -24 x1 + x2 = -10, maka 24 = 2*12, tetapi -10 = -12 + 2, artinya x1 = -12 x2 = 2 Jawaban: x1 = 2, x2 = -12. Selesaikan persamaan: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

Geser 17

Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat Jika a+b+c=0, maka x2 = 1, x2 = c/a Jika a – b + c=0, maka x2 =-1, x2 = -c/a Selesaikan persamaannya x2 + 6x - 7= 0 Selesaikan persamaan 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 – 7 =0, artinya x1=1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, artinya x1= - 1, x2 = -1/2 Jawaban: x1=1, x2 =-7. Jawaban: x1=-1, x2 =-1/2. Selesaikan persamaan: 5x2 - 7x +2 =0 Selesaikan persamaan: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2=0 3x2 + 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0