Bolalar uchun antipiretiklar pediatr tomonidan belgilanadi. Ammo isitma uchun favqulodda vaziyatlar mavjud bo'lib, bolaga darhol dori berish kerak. Keyin ota-onalar mas'uliyatni o'z zimmalariga oladilar va antipiretik preparatlarni qo'llashadi. Chaqaloqlarga nima berishga ruxsat beriladi? Katta yoshdagi bolalarda haroratni qanday tushirish mumkin? Qaysi dorilar eng xavfsiz hisoblanadi?
Kopyevskaya qishloq o'rta maktabi
Kvadrat tenglamalarni yechishning 10 ta usuli
Rahbar: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
matematika o'qituvchisi
s. Kopyevo, 2007 yil
1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi
1.1 Kvadrat tenglamalar Qadimgi Bobil
1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan
1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar
1.4 Al-Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar
1.5 Evropada XIII - XVII asrlarda kvadrat tenglamalar
1.6 Vyeta teoremasi haqida
2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari
Xulosa
Adabiyot
1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi
1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar
Qadimgi davrlarda nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni yechish zarurati er va er uchastkalarini harbiy xarakterga ega boʻlgan yerlarni topish bilan bogʻliq masalalarni yechish zarurati, shuningdek, astronomiya va boshqa fanlarning rivojlanishi bilan bogʻliq boʻlgan. matematikaning o'zi. Kvadrat tenglamalar miloddan avvalgi 2000 yilni yechishga muvaffaq bo'lgan. e. Bobilliklar.
Zamonaviy algebraik belgilarni qo'llagan holda, ularning mixxat yozuvlarida to'liq bo'lmaganlardan tashqari, masalan, to'liq kvadrat tenglamalar mavjudligini aytishimiz mumkin:
X2 + X= ¾; X2 - X= 14,5
Bobil matnlarida aytilgan ushbu tenglamalarni yechish qoidasi asosan zamonaviyga to'g'ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday kelgani noma'lum. Hozirgacha topilgan deyarli barcha mixxat yozuvlari retseptlar ko'rinishida bayon qilingan yechimlar bilan bog'liq muammolarni beradi, ular qanday topilganligi ko'rsatilmaydi.
Ga qaramasdan yuqori daraja Bobilda algebraning rivojlanishi, mixxat yozuvlarida manfiy son tushunchasi va umumiy usullar kvadrat tenglamalar yechimlari.
1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan.
Diofantning arifmetikasida algebraning sistematik ekspozitsiyasi mavjud emas, lekin u tushuntirishlar bilan birga kelgan va turli darajadagi tenglamalar tuzish orqali echilgan tizimli masalalarni o'z ichiga oladi.
Tenglamalarni tuzishda Diophantus yechimni soddalashtirish uchun noma'lumlarni mohirlik bilan tanlaydi.
Bu erda, masalan, uning vazifalaridan biri.
11-topshiriq."Ularning yig'indisi 20 va ko'paytmasi 96 ekanligini bilgan holda ikkita raqamni toping"
Diofant quyidagicha ta'kidlaydi: masalaning shartidan kelib chiqadiki, kerakli sonlar teng emas, chunki ular teng bo'lganida, ularning ko'paytmasi 96 emas, balki 100 bo'ladi. Shunday qilib, ulardan biri ularning yarmidan ko'pi bo'ladi. so'm, ya'ni. 10+x, ikkinchisi kichikroq, ya'ni. 10-lar. Ularning orasidagi farq 2x.
Demak, tenglama:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 lar 2 = 96
X 2 - 4 = 0 (1)
Bu yerdan x = 2. Istalgan raqamlardan biri 12 , boshqa 8 . Yechim x = -2 chunki Diofant mavjud emas, chunki yunon matematikasi faqat ijobiy raqamlarni bilardi.
Agar bu masalani kerakli sonlardan birini noma’lum deb tanlab yechsak, u holda tenglamaning yechimiga kelamiz.
y(20 - y) = 96,
da2 - 20y + 96 = 0. (2)
Ko'rinib turibdiki, Diophantus kerakli sonlarning yarim farqini noma'lum sifatida tanlab, yechimni soddalashtiradi; u muammoni to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishgacha qisqartirishga muvaffaq bo'ladi (1).
1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar
Kvadrat tenglamalar uchun masalalar 499 yilda hind matematiki va astronomi Aryabhatta tomonidan tuzilgan "Aryabhattam" astronomik traktida allaqachon topilgan. Boshqa bir hind olimi Brahmagupta (7-asr) bitta kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini belgilab berdi:
Oh2 + bx = c, a > 0. (1)
(1) tenglamada koeffitsientlar bundan mustasno A, salbiy ham bo'lishi mumkin. Brahmagupta qoidasi aslida biznikiga to'g'ri keladi.
Qadimgi Hindistonda murakkab masalalarni hal qilish bo'yicha ommaviy musobaqalar keng tarqalgan. Qadimgi hind kitoblaridan birida bunday musobaqalar haqida shunday deyilgan: “Quyosh o‘zining yorqinligi bilan yulduzlarni ortda qoldirganidek, olim odam ommaviy yig'ilishlarda, algebraik muammolarni taklif qilish va hal qilishda boshqasining shon-shuhratini tuting. Vazifalar ko'pincha she'riy shaklda kiyingan.
XII asrdagi mashhur hind matematigining muammolaridan biri shu. Bhaskara.
13-topshiriq.
"Maymunlar galasi va uzumzorda o'n ikkita ...
Quvvatni iste'mol qilib, xursand bo'ldi. Ular osilib, sakrashni boshladilar ...
Ularning sakkizinchi qismi kvadratda Qancha maymun bor edi,
Yaylovda dam olish. Ayting-chi, bu suruvdami?
Bxaskaraning yechimi uning kvadrat tenglamalar ildizlarining ikki qiymatliligi haqida bilganligini ko'rsatadi (3-rasm).
13-masalaga mos keladigan tenglama:
(x/8) 2 + 12 = x
Bhaskara niqob ostida yozadi:
X2 - 64x = -768
va to'ldirish uchun chap tomoni bu tenglamaning kvadratiga, ikkala tomoniga qo'shiladi 32 2 , keyin olish:
X2 - 64x + 322 = -768 + 1024,
(x - 32)2 = 256,
x - 32 = ± 16,
X1 = 16, x2 = 48.
1.4 Al-Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar
Al-Xorazmiyning algebraik risolasida chiziqli va kvadrat tenglamalar tasnifi berilgan. Muallif 6 turdagi tenglamalarni sanab, ularni quyidagicha ifodalaydi:
1) "Kvadratchalar ildizlarga teng", ya'ni. Oh2 + bilan =bX.
2) "Kvadratchalar songa teng", ya'ni. Oh2 = s.
3) "Ildizlar songa teng", ya'ni. ah = s.
4) "Kvadratchalar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni. Oh2 + bilan =bX.
5) "Kvadratchalar va ildizlar songa teng", ya'ni. Oh2 + bx= s.
6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni.bx+ c = bolta2 .
Manfiy sonlarni ishlatishdan qochgan al-Xorazmiy uchun bu tenglamalarning har birining hadlari ayirish emas, qo‘shimcha hisoblanadi. Bunday holda, ijobiy yechimga ega bo'lmagan tenglamalar hisobga olinmaydi. Muallif bu tenglamalarni yechish usullarini al-jabr va al-muqobala usullaridan foydalangan holda bayon qiladi. Uning qarorlari, albatta, biznikiga to'liq mos kelmaydi. Uning sof ritorik ekanligi haqida gapirmasa ham, shuni ta'kidlash kerakki, masalan, birinchi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishda.
al-Xorazmiy 17-asrgacha boʻlgan barcha matematiklar kabi nol yechimni hisobga olmaydi, ehtimol bu aniq amaliy masalalarda ahamiyatsizligi uchundir. Toʻliq kvadrat tenglamalarni yechishda al-Xorazmiy alohida sonli misollar yordamida yechish qoidalarini, keyin esa geometrik isbotlarni belgilaydi.
14-topshiriq.“Kvadrat va 21 raqami 10 ta ildizga teng. Ildizni toping" (x tenglamaning ildizi deb faraz qilsak2 + 21 = 10x).
Muallifning yechimi quyidagicha bo'ladi: ildizlar sonini ikkiga bo'ling, siz 5 ni olasiz, 5 ni o'z-o'zidan ko'paytirasiz, ko'paytmadan 21 ni ayirasiz, 4 qoladi.4 ning ildizini oling, siz 2 olasiz. 5 dan 2 ni ayirasiz, siz 3-ni oling, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2 ni 5 ga qo'shing, bu 7 ni beradi, bu ham ildiz.
“Al-Xorazmiy” risolasi bizgacha yetib kelgan birinchi kitob bo‘lib, unda kvadrat tenglamalarning tasnifi tizimli bayon qilingan va ularni yechish formulalari keltirilgan.
1.5 Yevropadagi kvadrat tenglamalarXIII- XVIIasrlar
Evropada al-Xorazmiy modelida kvadrat tenglamalarni yechish formulalari birinchi marta italyan matematigi Leonardo Fibonachchi tomonidan 1202 yilda yozilgan "Abakus kitobi"da keltirilgan. Bu katta hajmli asarda islom mamlakatlari va matematikaning taʼsiri aks ettirilgan Qadimgi Gretsiya, taqdimotning ham toʻliqligi, ham ravshanligi bilan farqlanadi. Muallif mustaqil ravishda muammoni yechishning yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va Evropada birinchi bo'lib manfiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo‘shdi. "Abakus kitobi" dan ko'plab vazifalar 16-17-asrlarning deyarli barcha Evropa darsliklariga o'tdi. va qisman XVIII.
PAGE_BREAK--
Yagona kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasi:
X2 + bx= bilan,
koeffitsientlar belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun b, Bilan Evropada faqat 1544 yilda M. Stiefel tomonidan tuzilgan.
Kvadrat tenglamani yechish formulasini chiqarish umumiy ko'rinish Vetda bor, lekin Vet faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiya matematiklari Tartalya, Kardano, Bombelli 16-asrda birinchilardan bo'lgan. Ijobiy va salbiy ildizlardan tashqari, hisobga oling. Faqat XVII asrda. Jirard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning mehnati tufayli kvadrat tenglamalarni yechish usuli zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi.
1.6 Vyeta teoremasi haqida
Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari va uning ildizlari o'rtasidagi munosabatni ifodalovchi teorema Veta nomini oldi, u birinchi marta 1591 yilda quyidagicha shakllantirdi: “Agar B+ D ga ko'paytiriladi A- A2 , teng BD, Bu A teng IN va teng D».
Vyetani tushunish uchun buni yodda tutish kerak A, har qanday unli kabi, u uchun noma'lumni anglatadi (bizning X), unlilar IN,D- noma'lum uchun koeffitsientlar. Zamonaviy algebra tilida Vietaning yuqoridagi formulasi: agar
(a +b)x - x2 = ab,
X2 - (a +b)x + ab= 0,
X1 = a, x2 = b.
Tenglamalarning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatni belgilar yordamida yozilgan umumiy formulalar orqali ifodalab, Vyet tenglamalarni yechish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vetaning ramziyligi hali ham uzoqda zamonaviy ko'rinish. U manfiy sonlarni tanimagan va shuning uchun tenglamalarni yechishda faqat barcha ildizlar ijobiy bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdi.
2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari
Kvadrat tenglamalar algebraning ulug'vor binosi suyanadigan poydevordir. Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglama va tengsizliklarni yechishda keng qo‘llaniladi. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan (8-sinf) bitiruvgacha bilamiz.
Maktab matematika kursida kvadrat tenglamalar ildizlarining formulalari o'rganiladi, ular yordamida istalgan kvadrat tenglamalarni yechish mumkin. Biroq, ko'p tenglamalarni juda tez va oqilona echishga imkon beradigan kvadrat tenglamalarni echishning boshqa usullari mavjud. Kvadrat tenglamalarni yechishning o'nta usuli mavjud. Men o‘z ishimda ularning har birini batafsil tahlil qildim.
1. METOD : Tenglamaning chap tomonini faktorizatsiya qilish.
Keling, tenglamani yechamiz
X2 + 10x - 24 = 0.
Keling, chap tomonni faktorlarga ajratamiz:
X2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).
Shunday qilib, tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:
(x + 12)(x - 2) = 0
Mahsulot nolga teng bo'lganligi sababli, uning omillaridan kamida bittasi nolga teng. Shunday qilib, tenglamaning chap tomoni yo'qoladi x = 2, shuningdek at x = - 12. Bu raqam degan ma'noni anglatadi 2 Va - 12 tenglamaning ildizlaridir X2 + 10x - 24 = 0.
2. METOD : To'liq kvadrat tanlash usuli.
Keling, tenglamani yechamiz X2 + 6x - 7 = 0.
Keling, chap tomonda to'liq kvadratni tanlaymiz.
Buning uchun x2 + 6x ifodasini quyidagi shaklda yozamiz:
X2 + 6x = x2 + 2 x 3.
Olingan ifodada birinchi had x sonining kvadrati, ikkinchisi esa x ning 3 ga qo'sh ko'paytmasidir. Shuning uchun to'liq kvadratni olish uchun 32 ni qo'shish kerak, chunki
x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2 .
Endi biz tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz
X2 + 6x - 7 = 0,
unga qo'shish va ayirish 32. Bizda:
X2 + 6x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 = (x + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.
Shunday qilib, bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16.
Demak, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 yoki x + 3 = -4, x2 = -7.
3. METOD :Kvadrat tenglamalarni formula bo'yicha yechish.
Tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiring
Oh2 + bx + c = 0, a ≠ 0
4a va ketma-ket bizda:
4a2 X2 + 4abx + 4ac = 0,
((2ah)2 + 2axb+ b2 ) - b2 + 4 ac= 0,
(2ax+b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
Misollar.
A) Keling, tenglamani yechamiz: 4x2 + 7x + 3 = 0.
a = 4,b= 7, c = 3,D= b2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D> 0, ikki xil ildiz;
Shunday qilib, ijobiy diskriminant holatida, ya'ni. da
b2 - 4 ac>0 , tenglama Oh2 + bx + c = 0 ikki xil ildizga ega.
b) Keling, tenglamani yechamiz: 4x2 - 4x + 1 = 0,
a = 4,b= - 4, c = 1,D= b2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
D= 0, bitta ildiz;
Demak, diskriminant nolga teng bo'lsa, ya'ni. b2 - 4 ac= 0 , keyin tenglama
Oh2 + bx + c = 0 bitta ildizga ega
V) Keling, tenglamani yechamiz: 2x2 + 3x + 4 = 0,
a = 2,b= 3, c = 4,D= b2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Davomi
--PAGE_BREAK--
Bu tenglamaning ildizlari yo'q.
Shunday qilib, agar diskriminant salbiy bo'lsa, ya'ni. b2 - 4 ac< 0 ,
tenglama Oh2 + bx + c = 0 ildizlari yo'q.
Kvadrat tenglama ildizlarining formulasi (1). Oh2 + bx + c = 0 ildizlarini topish imkonini beradi har qanday kvadrat tenglama (agar mavjud bo'lsa), shu jumladan qisqartirilgan va to'liq bo'lmagan. Formula (1) og'zaki ravishda quyidagicha ifodalanadi: kvadrat tenglamaning ildizlari qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng bo'lgan kasrga teng bo'lib, plyus bu koeffitsient kvadratining kvadrat ildizini bo'sh muddatga birinchi koeffitsient ko'paytmasini to'rt baravar ayirmasdan, va maxraj birinchi koeffitsientdan ikki barobar.
4. USUL: Tenglamalarni Vieta teoremasi yordamida yechish.
Ma'lumki, berilgan kvadrat tenglama ko'rinishga ega
X2 + px+ c= 0. (1)
Uning ildizlari Vyeta teoremasini qanoatlantiradi, qaysi, qachon a =1 shaklga ega
/>x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p
Bundan quyidagi xulosalar chiqarishimiz mumkin (ildiz belgilarini p va q koeffitsientlaridan bashorat qilish mumkin).
a) Xulosa muddati bo'lsa q qisqartirilgan tenglamaning (1) musbat ( q> 0 ), keyin tenglama bir xil belgining ikkita ildiziga ega va bu ikkinchi koeffitsientning hasadi p. Agar R< 0 , keyin ikkala ildiz manfiy bo'lsa R< 0 , keyin ikkala ildiz ham ijobiy bo'ladi.
Masalan,
x2 – 3 x+ 2 = 0; x1 = 2 Va x2 = 1, chunki q= 2 > 0 Va p= - 3 < 0;
x2 + 8 x+ 7 = 0; x1 = - 7 Va x2 = - 1, chunki q= 7 > 0 Va p= 8 > 0.
b) Agar bepul a'zo bo'lsa q qisqartirilgan tenglamaning (1) manfiy ( q< 0 ), u holda tenglama turli xil ishorali ikkita ildizga ega bo'ladi va mutlaq qiymatdagi kattaroq ildiz musbat bo'ladi p< 0 , yoki salbiy bo'lsa p> 0 .
Masalan,
x2 + 4 x– 5 = 0; x1 = - 5 Va x2 = 1, chunki q= - 5 < 0 Va p= 4 > 0;
x2 – 8 x– 9 = 0; x1 = 9 Va x2 = - 1, chunki q= - 9 < 0 Va p= - 8 < 0.
5. USUL: Tenglamalarni «o`tkazish» usuli yordamida yechish.
Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
Oh2 + bx + c = 0, Qayerda a ≠ 0.
Uning ikkala qismini a ga ko'paytirib, tenglamani olamiz
A2 X2 + abx + ac = 0.
Mayli ah = y, qayerda x = y/a; keyin tenglamaga kelamiz
da2 + tomonidan+ ac = 0,
bunga teng. uning ildizlari da1 Va da 2 ni Viet teoremasi yordamida topish mumkin.
Nihoyat, olamiz
X1 = y1 /A Va X1 = y2 /A.
Ushbu usul bilan koeffitsient A erkin atama bilan ko'paytiriladi, go'yo unga "tashlangan" kabi, shuning uchun u deyiladi uzatish usuli. Bu usul Vyeta teoremasi yordamida tenglamaning ildizlarini topish oson bo'lganda va eng muhimi, diskriminant aniq kvadrat bo'lganda qo'llaniladi.
Misol.
Keling, tenglamani yechamiz 2x2 – 11x + 15 = 0.
Yechim. Keling, 2 koeffitsientini erkin muddatga "o'tkazamiz", natijada biz tenglamani olamiz
da2 – 11y + 30 = 0.
Vyeta teoremasiga ko'ra
/>/>/>/>/>da1 = 5 x1 = 5/2 x1 = 2,5
da2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.
Javob: 2,5; 3.
6. USUL: Kvadrat tenglama koeffitsientlarining xossalari.
A. Kvadrat tenglama bo'lsin
Oh2 + bx + c = 0, Qayerda a ≠ 0.
1) Agar, a+b+ c = 0 (ya'ni koeffitsientlar yig'indisi nolga teng), keyin x1 = 1,
X2 = s/a.
Isbot. Biz tenglamaning ikkala tomonini ≠ 0 ga bo'lamiz, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz
x2 + b/ a x+ c/ a= 0.
/>Vyeta teoremasiga ko'ra
x1 + x2 = - b/ a,
x1 x2 = 1 c/ a.
Shart bo'yicha A -b+ c = 0, qayerda b= a + c. Shunday qilib,
/>x1 + x2 = - A+ b / a \u003d -1 - c / a,
x1 x2 = - 1 (-c/a),
bular. X1 = -1 Va X2 = c/ a, buni isbotlashimiz kerak edi.
Misollar.
Keling, tenglamani yechamiz 345x2 - 137x - 208 = 0.
Yechim. Chunki a +b+ c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), Bu
X1 = 1, x2 = c/ a= -208/345.
Javob: 1; -208/345.
2) tenglamani yeching 132x2 – 247x + 115 = 0.
Yechim. Chunki a +b+ c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), Bu
X1 = 1, x2 = c/ a= 115/132.
Javob: 1; 115/132.
B. Agar ikkinchi koeffitsient bo'lsa b= 2 k juft son, keyin ildizlarning formulasi
Davomi
--PAGE_BREAK--
Misol.
Keling, tenglamani yechamiz 3x2 - 14x + 16 = 0.
Yechim. Bizda ... bor: a = 3,b= - 14, c = 16,k= - 7 ;
D= k2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D> 0, ikki xil ildiz;
Javob: 2; 8/3
IN. Qisqartirilgan tenglama
X2 +px+q= 0
umumiy tenglama bilan mos keladi, unda a = 1, b= p Va c =q. Shuning uchun, qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun, ildizlar uchun formula
shaklni oladi:
Formula (3) qachon foydalanish uchun ayniqsa qulay R- juft son.
Misol. Keling, tenglamani yechamiz X2 – 14x – 15 = 0.
Yechim. Bizda ... bor: X1,2 =7±
Javob: x1 = 15; X2 = -1.
7. USUL: Kvadrat tenglamaning grafik yechimi.
Agar tenglamada bo'lsa
X2 + px+ q= 0
ikkinchi va uchinchi shartlarni o'ng tomonga siljiting, biz olamiz
X2 = - px- q.
Keling, y \u003d x2 va y \u003d - px - q bog'liqlik grafiklarini tuzamiz.
Birinchi bog`liqlikning grafigi koordinata boshidan o`tuvchi paraboladir. Ikkinchi bog'liqlik grafigi -
to'g'ri chiziq (1-rasm). Quyidagi holatlar mumkin:
To'g'ri chiziq va parabola ikki nuqtada kesishishi mumkin, kesishish nuqtalarining abssissalari kvadrat tenglamaning ildizlari;
Chiziq va parabola tegishi mumkin (faqat bitta umumiy nuqta), ya'ni. tenglama bitta yechimga ega;
To'g'ri chiziq va parabolaning umumiy nuqtalari yo'q, ya'ni. kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.
Misollar.
1) Keling, tenglamani grafik tarzda yechamiz X2 - 3x - 4 = 0(2-rasm).
Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz X2 = 3x + 4.
Keling, parabola quraylik y = x2 va to'g'ridan-to'g'ri y = 3x + 4. bevosita
y = 3x + 4 ikki nuqtadan qurish mumkin M (0; 4) Va
N(3; 13) . Chiziq va parabola ikki nuqtada kesishadi
A Va IN abscissa bilan X1 = - 1 Va X2 = 4 . Javob : X1 = - 1;
X2 = 4.
2) Tenglamani grafik usulda yechamiz (3-rasm). X2 - 2x + 1 = 0.
Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz X2 = 2x - 1.
Keling, parabola quraylik y = x2 va to'g'ridan-to'g'ri y = 2x - 1.
bevosita y = 2x - 1 ikki nuqtaga asoslanadi M (0; - 1)
Va N(1/2; 0) . Chiziq va parabola bir nuqtada kesishadi A Bilan
abscissa x = 1. Javob: x = 1.
3) Keling, tenglamani grafik tarzda yechamiz X2 - 2x + 5 = 0(4-rasm).
Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz X2 = 5x - 5. Keling, parabola quraylik y = x2 va to'g'ridan-to'g'ri y = 2x - 5. bevosita y = 2x - 5 M(0; - 5) va N(2,5; 0) ikkita nuqta bilan tuzing. To'g'ri chiziq va parabolaning kesishish nuqtalari yo'q, ya'ni. Bu tenglamaning ildizlari yo'q.
Javob. Tenglama X2 - 2x + 5 = 0 ildizlari yo'q.
8. USUL: Kvadrat tenglamalarni sirkul va to'g'ri chiziq yordamida yechish.
Parabola yordamida kvadrat tenglamalarni echishning grafik usuli noqulay. Agar siz parabola nuqtasini nuqta bilan qursangiz, unda bu juda ko'p vaqtni oladi va olingan natijalarning aniqlik darajasi past bo'ladi.
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topishning quyidagi usulini taklif qilaman Oh2 + bx + c = 0 kompas va o'lchagich yordamida (5-rasm).
Faraz qilaylik, kerakli doira o'qni kesib o'tadi
nuqtalarda abscissa B(x1 ; 0) Va D(X2 ; 0), Qayerda X1 Va X2 - tenglamaning ildizlari Oh2 + bx + c = 0, va nuqtalardan o'tadi
A(0; 1) Va C(0;c/ a) y o'qi bo'yicha. Keyin, sekant teoremasi bo'yicha, biz bor OB OD= O.A OC, qayerda OC= OB OD/ O.A= x1 X2 / 1 = c/ a.
Doira markazi perpendikulyarlarning kesishish nuqtasida joylashgan SF Va SK, akkordlarning o'rta nuqtalarida tiklangan AC Va BD, Shunung uchun
1) nuqtalarni qurish (aylana markazi) va A(0; 1) ;
2) radiusli aylana chizish SA;
3) bu doiraning o'q bilan kesishish nuqtalarining abscissalari Oh dastlabki kvadrat tenglamaning ildizlari.
Bunday holda, uchta holat mumkin.
1) Aylana radiusi markazning ordinatasidan katta (AS> SK, yokiR> a+ c/2 a) , aylana x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi (6-rasm, a) B(x1 ; 0) Va D(X2 ; 0) , Qayerda X1 Va X2 - kvadrat tenglamaning ildizlari Oh2 + bx + c = 0.
2) Aylana radiusi markazning ordinatasiga teng (AS= SB, yokiR= a+ c/2 a) , doira Ox o'qiga (6-rasm, b) nuqtada tegadi B(x1 ; 0) , bu yerda x1 kvadrat tenglamaning ildizi.
Davomi
--PAGE_BREAK--
3) Aylana radiusi markaz ordinatasidan kichik, aylananing abtsissa o'qi bilan umumiy nuqtalari yo'q (6-rasm, v), bu holda tenglama yechimga ega emas.
Misol.
Keling, tenglamani yechamiz X2 - 2x - 3 = 0(7-rasm).
Yechim. Doira markazi nuqtasining koordinatalarini formulalar bo'yicha aniqlang:
SA radiuli aylana chizamiz, bu yerda A (0; 1).
Javob:X1 = - 1; X2 = 3.
9. USUL: Kvadrat tenglamalarni nomogramma yordamida yechish.
Bu 83-betda joylashtirilgan kvadrat tenglamalarni echishning eski va unutilgan usuli (qarang: Bradis V.M. To'rt qiymatli matematik jadvallar. - M., Enlightenment, 1990).
XXII jadval. Tenglamalarni yechish uchun nomogramma z2 + pz+ q= 0 . Bu nomogramma kvadrat tenglamani yechmasdan, uning koeffitsientlari orqali tenglamaning ildizlarini aniqlash imkonini beradi.
Nomogrammaning egri chiziqli shkalasi formulalar bo'yicha quriladi (11-rasm):
Taxmin qilib OS = p,ED= q, OE = a(barchasi sm), uchburchaklarning o'xshashligidan SAN Va CDF nisbatini olamiz
demak, almashtirishlar va soddalashtirishlardan keyin tenglama kelib chiqadi
z2 + pz+ q= 0,
va xat z egri shkaladagi istalgan nuqtaning yorlig'ini bildiradi.
Misollar.
1) Tenglama uchun z2 - 9 z+ 8 = 0 nomogramma ildiz beradi
z1 = 8,0 Va z2 = 1,0 (12-rasm).
2) Tenglamani nomogramma yordamida yechamiz
2 z2 - 9 z+ 2 = 0.
Ushbu tenglamaning koeffitsientlarini 2 ga bo'lamiz, biz tenglamani olamiz
z2 - 4,5 z+ 1 = 0.
Nomogramma ildiz beradi z1 = 4 Va z2 = 0,5.
3) Tenglama uchun
z2 - 25 z+ 66 = 0
p va q koeffitsientlari masshtabdan tashqarida, biz almashtirishni amalga oshiramiz z= 5 t, tenglamani olamiz
t2 - 5 t+ 2,64 = 0,
uni nomogramma yordamida yechamiz va olamiz t1 = 0,6 Va t2 = 4,4, qayerda z1 = 5 t1 = 3,0 Va z2 = 5 t2 = 22,0.
10. USUL: Kvadrat tenglamalarni yechishning geometrik usuli.
Qadim zamonlarda, geometriya algebradan ko'ra ko'proq rivojlangan bo'lsa, kvadrat tenglamalar algebraik emas, balki geometrik tarzda echilgan. Al-Xorazmiyning “Algebra”sidan mashhur bo‘lgan bir misol keltiraman.
Misollar.
1) tenglamani yeching X2 + 10x = 39.
Asl nusxada bu masala quyidagicha tuzilgan: "Kvadrat va o'nta ildiz 39 ga teng" (15-rasm).
Yechim. X tomoni bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing, uning yon tomonlarida to'rtburchaklar qurilgan, shunda ularning har birining boshqa tomoni 2,5 ga teng, shuning uchun har birining maydoni 2,5x ni tashkil qiladi. Keyin olingan raqam yangi ABCD kvadratiga to'ldiriladi, burchaklardagi to'rtta teng kvadratni to'ldiradi, ularning har birining tomoni 2,5, maydoni esa 6,25.
Kvadrat S kvadrat A B C D maydonlarning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin: asl kvadrat X2 , to'rtta to'rtburchaklar (4 2,5x = 10x) va to'rtta biriktirilgan kvadrat (6,25 4 = 25) , ya'ni. S= X2 + 10x + 25. O'zgartirish
X2 + 10x raqam 39 , biz buni tushunamiz S= 39 + 25 = 64 , bu erdan kvadratning yon tomoni kelib chiqadi A B C D, ya'ni. chiziq segmenti AB = 8. Istalgan tomon uchun X biz olgan asl kvadrat
2) Ammo, masalan, qadimgi yunonlar tenglamani qanday hal qilishgan da2 + 6y - 16 = 0.
Yechim shaklda ko'rsatilgan. 16, qaerda
da2 + 6y = 16 yoki y2 + 6y + 9 = 16 + 9.
Yechim. Ifodalar da2 + 6y + 9 Va 16 + 9 geometrik bir xil kvadratni va asl tenglamani ifodalaydi da2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0 bir xil tenglamadir. Buni qayerdan olamiz y + 3 = ± 5, yoki da1 = 2, y2 = - 8 (16-rasm).
3) Geometrik tenglamani yechish da2 - 6y - 16 = 0.
Tenglamani o'zgartirib, biz olamiz
da2 - 6y = 16.
Shaklda. 17 ifodaning “tasvirlari”ni toping da2 - 6u, bular. tomoni y bo'lgan kvadratning maydonidan tomoni teng bo'lgan kvadratning ikki barobarini ayirish 3 . Shunday qilib, ifoda bo'lsa da2 - 6y qo'shish 9 , keyin biz tomoni bilan kvadratning maydonini olamiz y - 3. Ifodani almashtirish da2 - 6y uning teng soni 16,
olamiz: (y - 3)2 = 16 + 9, bular. y - 3 = ± √25, yoki y - 3 = ± 5, bu erda da1 = 8 Va da2 = - 2.
Xulosa
Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglama va tengsizliklarni yechishda keng qo‘llaniladi.
Biroq, kvadrat tenglamalarning ahamiyati nafaqat muammolarni echishning nafisligi va qisqaligida, garchi bu juda muhim bo'lsa ham. Muammolarni echishda kvadrat tenglamalardan foydalanish natijasida ko'pincha yangi tafsilotlar ochiladi, qiziqarli umumlashmalar va aniqlashtirishlar amalga oshirilishi mumkin, bu esa olingan formulalar va munosabatlarni tahlil qilish natijasida yuzaga keladi.
Shuni ham ta'kidlashni istardimki, ushbu ishda taqdim etilgan mavzu hali ham kam o'rganilgan, ular shunchaki u bilan shug'ullanmaydilar, shuning uchun u juda ko'p yashirin va noma'lum narsalarga to'la bo'lib, u ustida ishlash uchun ajoyib imkoniyat yaratadi. .
Bu erda men kvadrat tenglamalarni echish masalasiga to'xtadim va nima,
agar ularni hal qilishning boshqa usullari mavjud bo'lsa?! Yana chiroyli naqshlarni, ba'zi faktlarni, aniqliklarni toping, umumlashtiring, hamma narsani yangi va yangi kashf qiling. Ammo bu kelajakdagi ishlar uchun savollar.
Xulosa qilib, xulosa qilishimiz mumkin: kvadrat tenglamalar matematikaning rivojlanishida katta rol o'ynaydi. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan (8-sinf) bitiruvgacha bilamiz. Bu bilim biz uchun hayot davomida foydali bo'lishi mumkin.
Kvadrat tenglamalarni yechishning ushbu usullaridan foydalanish oson bo'lgani uchun ular, albatta, matematikani yaxshi ko'radigan o'quvchilarni qiziqtirishi kerak. Mening ishim matematika oldimizga qo'ygan muammolarga boshqacha qarash imkonini beradi.
Adabiyot:
1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. va boshqalar Algebra, 6-8. 6-8-sinflar uchun sinov darsligi o'rta maktab. - M., Ta'lim, 1981 yil.
2. Bradis V.M. O'rta maktab uchun to'rt xonali matematik jadvallar. Ed. 57. - M., Ta'lim, 1990. S. 83.
3. Kruzepov A.K., Rubanov A.T. Algebra va elementar funktsiyalar bo'yicha muammoli kitob. O'rta maxsus o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari. - M., oliy maktab, 1969 yil.
4. Okunev A.K. Kvadrat funksiyalar, tenglamalar va tengsizliklar. O'qituvchi uchun qo'llanma. - M., Ta'lim, 1972 y.
5. Presman A.A. Kvadrat tenglamani sirkul va to'g'ri chiziq yordamida yechish. - M., Kvant, No 4/72. S. 34.
6. Solomnik V.S., Milov P.I. Matematika fanidan savollar va topshiriqlar to'plami. Ed. - 4-chi, qo'shing. - M., Oliy maktab, 1973 yil.
7. Xudobin A.I. Algebra va elementar funksiyalardan masalalar to'plami. O'qituvchi uchun qo'llanma. Ed. 2. - M., Ta'lim, 1970 y.
ROSSIYA FEDERASİYASI TA'LIM VA FAN VAZIRLIGI
Bryansk viloyati Jukovskiy tumani
MOU Rzhanitskaya o'rta maktabi
TADQIQOT
YECHISH USULLARI
Pavlikov Dmitriy, 9-sinf
Rahbar: Yuriy Prixodko
Vladimirovich,
matematika o'qituvchisi.
BRYANSK, 2009 yil
I. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi ……………………….2
1. Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar………………………..2
2. Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan……………2
3. Hindistondagi kvadrat tenglamalar…………………………………3
4. Al-Xorazmiyning kvadrat tenglamalari ………………………………4
5. Yevropada kvadrat tenglamalar XIII - XVII asrlar………………………………………………………………….5
6. Vyeta teoremasi haqida …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………
II. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari ……………………….7
Usul………………………………………………………………7
Usul………………………………………………………………7
Usul……………………………………………………………….9
Usul……………………………………………………………10
Usul……………………………………………………………12
Usul………………………………………………………………13
Usul……………………………………………………………15
Usul………………………………………………………………16
III. Xulosa…………………………………………………..............18
Adabiyot……………………………………………………………….19
Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi.
1. Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar.
Qadimgi davrlarda nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni yechish zarurati er va er uchastkalarini harbiy xarakterga ega boʻlgan yerlarni topish bilan bogʻliq masalalarni yechish zarurati, shuningdek, astronomiya va boshqa fanlarning rivojlanishi bilan bogʻliq boʻlgan. matematikaning o'zi. Kvadrat tenglamalar miloddan avvalgi 2000 yilni yechishga muvaffaq bo'lgan. e. Bobilliklar.
Zamonaviy algebraik belgilarni qo'llagan holda, ularning mixxat yozuvlarida to'liq bo'lmaganlardan tashqari, masalan, to'liq kvadrat tenglamalar mavjudligini aytishimiz mumkin:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Bobil matnlarida aytilgan ushbu tenglamalarni yechish qoidasi asosan zamonaviyga to'g'ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday kelgani noma'lum. Hozirgacha topilgan deyarli barcha mixxat yozuvlari retseptlar ko'rinishida bayon qilingan yechimlar bilan bog'liq muammolarni beradi, ular qanday topilganligi ko'rsatilmaydi.
Bobilda algebra fanining yuqori darajada rivojlanganligiga qaramasdan mixxat yozuvlarida manfiy son tushunchasi va kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy usullari yoʻq.
2. Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan.
Diofantning arifmetikasida algebraning sistematik ekspozitsiyasi mavjud emas, lekin u tushuntirishlar bilan birga kelgan va turli darajadagi tenglamalar tuzish orqali echilgan tizimli masalalarni o'z ichiga oladi.
Tenglamalarni tuzishda Diophantus yechimni soddalashtirish uchun noma'lumlarni mohirlik bilan tanlaydi.
Bu erda, masalan, uning vazifalaridan biri.
11-topshiriq."Ularning yig'indisi 20 va ko'paytmasi 96 ekanligini bilgan holda ikkita raqamni toping"
Diofant quyidagicha ta'kidlaydi: masalaning shartidan kelib chiqadiki, kerakli sonlar teng emas, chunki ular teng bo'lganida, ularning ko'paytmasi 96 emas, balki 100 bo'ladi. Shunday qilib, ulardan biri ularning yarmidan ko'pi bo'ladi. so'm, ya'ni. 10+x, ikkinchisi kichikroq, ya'ni. 10-lar. Ularning orasidagi farq 2x.
Demak, tenglama:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 lar 2 = 96
X 2 - 4 = 0 (1)
Bu yerdan x = 2. Istalgan raqamlardan biri 12 , boshqa 8 . Yechim x = -2 chunki Diofant mavjud emas, chunki yunon matematikasi faqat ijobiy raqamlarni bilardi.
Agar bu masalani kerakli sonlardan birini noma’lum deb tanlab yechsak, u holda tenglamaning yechimiga kelamiz.
y(20 - y) = 96,
da 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Ko'rinib turibdiki, Diophantus kerakli sonlarning yarim farqini noma'lum sifatida tanlab, yechimni soddalashtiradi; u muammoni to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishgacha qisqartirishga muvaffaq bo'ladi (1).
3. Hindistondagi kvadrat tenglamalar.
Kvadrat tenglamalar uchun masalalar 499 yilda hind matematiki va astronomi Aryabhatta tomonidan tuzilgan "Aryabhattam" astronomik traktida allaqachon topilgan. Boshqa bir hind olimi Brahmagupta (7-asr) bitta kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini belgilab berdi:
Oh 2 + bx = c va 0. (1)
(1) tenglamada koeffitsientlar bundan mustasno A, salbiy ham bo'lishi mumkin. Brahmagupta qoidasi aslida biznikiga to'g'ri keladi.
Qadimgi Hindistonda murakkab masalalarni hal qilish bo'yicha ommaviy musobaqalar keng tarqalgan. Qadimgi hind kitoblaridan birida bunday musobaqalar haqida shunday deyilgan: “Quyosh o‘zining yorqinligi bilan yulduzlarni ortda qoldirganidek, bilimdon kishi jamoat yig‘ilishlarida, algebra masalalarini taklif qilish va yechishda birovning shon-shuhratini shunday yoritadi”. Vazifalar ko'pincha she'riy shaklda kiyingan.
XII asrdagi mashhur hind matematigining muammolaridan biri shu. Bhaskara.
13-topshiriq.
"Maymunlar galasi va uzumzorda o'n ikkita ...
Quvvatni iste'mol qilib, xursand bo'ldi. Ular osilib, sakrashni boshladilar ...
Ularning sakkizinchi qismi kvadratda Qancha maymun bor edi,
Yaylovda dam olish. Ayting-chi, bu suruvdami?
Bxaskaraning yechimi uning kvadrat tenglamalar ildizlarining ikki qiymatliligi haqida bilganligini ko'rsatadi (3-rasm).
13-masalaga mos keladigan tenglama:
(x/8) 2 + 12 = x
Bhaskara niqob ostida yozadi:
X 2 - 64x = -768
va bu tenglamaning chap tomonini kvadratga to'ldirish uchun u ikkala tomonni ham qo'shadi 32 2 , keyin olish:
X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
X 1 = 16, x 2 = 48.
4. Al-Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar.
Al-Xorazmiyning algebraik risolasida chiziqli va kvadrat tenglamalar tasnifi berilgan. Muallif 6 turdagi tenglamalarni sanab, ularni quyidagicha ifodalaydi:
1) "Kvadratchalar ildizlarga teng", ya'ni. Oh 2 + bilan =bX.
2) "Kvadratchalar songa teng", ya'ni. Oh 2 = s.
3) "Ildizlar songa teng", ya'ni. ah = s.
4) "Kvadratchalar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni. Oh 2 + bilan =bX.
5) "Kvadratchalar va ildizlar songa teng", ya'ni. Oh 2 + bx= s.
6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni.bx+ c = bolta 2 .
Manfiy sonlarni ishlatishdan qochgan al-Xorazmiy uchun bu tenglamalarning har birining hadlari ayirish emas, qo‘shimcha hisoblanadi. Bunday holda, ijobiy yechimga ega bo'lmagan tenglamalar hisobga olinmaydi. Muallif bu tenglamalarni yechish usullarini al-jabr va al-muqobala usullaridan foydalangan holda bayon qiladi. Uning qarorlari, albatta, biznikiga to'liq mos kelmaydi. Uning sof ritorik ekanligini hisobga olmaganda, masalan, birinchi turdagi to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani yechishda al-Xorazmiy XVII asrgacha bo‘lgan barcha matematiklar kabi, nol yechimni hisobga olganligini aytish kerak. ehtimol, chunki aniq amaliy vazifalarda, bu muhim emas. Toʻliq kvadrat tenglamalarni yechishda al-Xorazmiy alohida sonli misollar yordamida yechish qoidalarini, keyin esa geometrik isbotlarni belgilaydi.
Mana bir misol:
14-topshiriq.“Kvadrat va 21 raqami 10 ta ildizga teng. Ildizni toping"
(x tenglamaning ildizi deb faraz qilsak 2 + 21 = 10x).
Muallifning yechimi quyidagicha bo'ladi: ildizlar sonini ikkiga bo'ling, siz 5 ni olasiz, 5 ni o'z-o'zidan ko'paytirasiz, ko'paytmadan 21 ni ayirasiz, 4 qoladi.4 ning ildizini oling, siz 2 olasiz. 5 dan 2 ni ayirasiz, siz 3-ni oling, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2 ni 5 ga qo'shing, bu 7 ni beradi, bu ham ildiz.
“Al-Xorazmiy” risolasi bizgacha yetib kelgan birinchi kitob bo‘lib, unda kvadrat tenglamalarning tasnifi tizimli bayon qilingan va ularni yechish formulalari keltirilgan.
5. Yevropadagi kvadrat tenglamalarXIII - XVIIasrlar
Evropada al-Xorazmiy modelida kvadrat tenglamalarni yechish formulalari birinchi marta italyan matematigi Leonardo Fibonachchi tomonidan 1202 yilda yozilgan "Abakus kitobi"da keltirilgan. Islom va Qadimgi Yunoniston mamlakatlari matematikasining taʼsirini aks ettiruvchi bu katta hajmli asar taqdimotning toʻliqligi va ravshanligi bilan ajralib turadi. Muallif mustaqil ravishda muammoni yechishning yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va Evropada birinchi bo'lib manfiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo‘shdi. "Abakus kitobi" dan ko'plab vazifalar 16-17-asrlarning deyarli barcha Evropa darsliklariga o'tdi. va qisman XVIII.
Yagona kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasi:
X 2 + bx= bilan,
koeffitsientlar belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun b, Bilan Evropada faqat 1544 yilda M. Stiefel tomonidan tuzilgan.
Vietada kvadrat tenglamani yechish uchun formulaning umumiy kelib chiqishi bor, lekin Vieta faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiya matematiklari Tartalya, Kardano, Bombelli 16-asrda birinchilardan bo'lgan. Ijobiy va salbiy ildizlardan tashqari, hisobga oling. Faqat XVII asrda. Jirard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning mehnati tufayli kvadrat tenglamalarni yechish usuli zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi.
6. Vyeta teoremasi haqida.
Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari va uning ildizlari o'rtasidagi munosabatni ifodalovchi teorema Veta nomini oldi, u birinchi marta 1591 yilda quyidagicha shakllantirdi: “Agar B + D ga ko'paytiriladi A - A 2 , teng BD, Bu A teng IN va teng D».
Vyetani tushunish uchun buni yodda tutish kerak A, har qanday unli kabi, u uchun noma'lumni anglatadi (bizning X), unlilar IN,D- noma'lum uchun koeffitsientlar. Zamonaviy algebra tilida Vietaning yuqoridagi formulasi: agar
(a +b)x - x 2 = ab,
X 2 - (a +b)x + ab = 0,
X 1 = a, x 2 = b.
Tenglamalarning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatni belgilar yordamida yozilgan umumiy formulalar orqali ifodalab, Vyet tenglamalarni yechish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vyeta ramzi hali ham uning zamonaviy shaklidan uzoqdir. U manfiy sonlarni tanimagan va shuning uchun tenglamalarni yechishda faqat barcha ildizlar ijobiy bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdi.
Shunday qilib: Kvadrat tenglamalar algebraning ulug'vor binosi suyanadigan poydevordir. Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglama va tengsizliklarni yechishda keng qo‘llaniladi. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan (8-sinf) bitiruvgacha bilamiz.
Maktab matematika kursida kvadrat tenglamalar ildizlarining formulalari o'rganiladi, ular yordamida istalgan kvadrat tenglamalarni yechish mumkin. Biroq, ko'p tenglamalarni juda tez va oqilona echishga imkon beradigan kvadrat tenglamalarni echishning boshqa usullari mavjud. Kvadrat tenglamalarni yechishning o'nta usuli mavjud. Men o‘z ishimda ularning har birini batafsil tahlil qildim.
1. METOD : Tenglamaning chap tomonini faktorizatsiya qilish.
Keling, tenglamani yechamiz X 2 + 10x - 24 = 0. Keling, chap tomonni faktorlarga ajratamiz:
X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).
Shunday qilib, tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:
(x + 12)(x - 2) = 0
Mahsulot nolga teng bo'lganligi sababli, uning omillaridan kamida bittasi nolga teng. Shunday qilib, tenglamaning chap tomoni yo'qoladi x = 2, shuningdek at x = - 12. Bu raqam degan ma'noni anglatadi 2 Va - 12 tenglamaning ildizlaridir X 2 + 10x - 24 = 0.
2. METOD : To'liq kvadrat tanlash usuli.
Keling, tenglamani yechamiz X 2 + 6x - 7 = 0. Keling, chap tomonda to'liq kvadratni tanlaymiz.
Buning uchun x 2 + 6x ifodasini quyidagi shaklda yozamiz:
X 2 + 6x = x 2 + 2 X 3.
Hosil bo'lgan ifodada birinchi a'zo x sonining kvadrati, ikkinchisi esa x ning 3 ga qo'sh ko'paytmasidir. Shuning uchun to'liq kvadratni olish uchun 3 2 ni qo'shish kerak, chunki
x 2+ 2 X 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .
Endi biz tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz
X 2 + 6x - 7 = 0,
unga qo'shish va ayirish 3 2 . Bizda ... bor:
X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 X 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.
Shunday qilib, bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.
Demak, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 yoki x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. METOD :Kvadrat tenglamalarni formula bo'yicha yechish.
Tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiring
Oh 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
4a va ketma-ket bizda:
4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,
((2ah) 2 + 2ax b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,
(2ax+b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Misollar.
A) Keling, tenglamani yechamiz: 4x 2 + 7x + 3 = 0.
a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D 0, ikki xil ildiz;
Shunday qilib, ijobiy diskriminant holatida, ya'ni. da
b 2 - 4 ac 0 , tenglama Oh 2 + bx + c = 0 ikki xil ildizga ega.
b) Keling, tenglamani yechamiz: 4x 2 - 4x + 1 = 0,
a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, bitta ildiz;
Demak, diskriminant nolga teng bo'lsa, ya'ni. b 2
- 4
ac = 0
, keyin tenglama
Oh 2 + bx + c = 0 bitta ildizga ega
V) Keling, tenglamani yechamiz: 2x 2 + 3x + 4 = 0,
a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D
Bu tenglamaning ildizlari yo'q.
Shunday qilib, agar diskriminant salbiy bo'lsa, ya'ni. b 2 - 4 ac, tenglama
Oh 2 + bx + c = 0 ildizlari yo'q.
Kvadrat tenglama ildizlarining formulasi (1). Oh 2 + bx + c = 0 ildizlarini topish imkonini beradi har qanday kvadrat tenglama (agar mavjud bo'lsa), shu jumladan qisqartirilgan va to'liq bo'lmagan. Formula (1) og'zaki ravishda quyidagicha ifodalanadi: kvadrat tenglamaning ildizlari qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng bo'lgan kasrga teng bo'lib, plyus bu koeffitsient kvadratining kvadrat ildizini bo'sh muddatga birinchi koeffitsient ko'paytmasini to'rt baravar ayirmasdan, va maxraj birinchi koeffitsientdan ikki barobar.
4. USUL: Tenglamalarni Vieta teoremasi yordamida yechish.
Ma'lumki, berilgan kvadrat tenglama ko'rinishga ega
X 2 + px + c = 0. (1)
Uning ildizlari Vyeta teoremasini qanoatlantiradi, qaysi, qachon a =1 shaklga ega
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
Bundan quyidagi xulosalar chiqarishimiz mumkin (ildiz belgilarini p va q koeffitsientlaridan bashorat qilish mumkin).
a) Xulosa muddati bo'lsa q qisqartirilgan tenglamaning (1) musbat ( q 0 ), keyin tenglama bir xil belgining ikkita ildiziga ega va bu ikkinchi koeffitsientning hasadi p. Agar p, agar u holda ikkala ildiz manfiy bo'lsa p, keyin ikkala ildiz ham ijobiy bo'ladi.
Masalan,
x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 Va x 2 = 1, chunki q = 2 0 Va p = - 3
x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 Va x 2 = - 1, chunki q = 7 0 Va p= 8 0.
b) Agar bepul a'zo bo'lsa q qisqartirilgan tenglamaning (1) manfiy ( q), u holda tenglama turli xil ishorali ikkita ildizga ega bo'ladi va mutlaq qiymatdagi kattaroq ildiz musbat bo'ladi p, yoki salbiy bo'lsa p 0 .
Masalan,
x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 Va x 2 = 1, chunki q= - 5 va p = 4 0;
x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 Va x 2 = - 1, chunki q= - 9 va p = - 8
5. USUL: Tenglamalarni «o`tkazish» usuli yordamida yechish.
Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
Oh 2 + bx + c = 0, Qayerda a ≠ 0.
Uning ikkala qismini a ga ko'paytirib, tenglamani olamiz
A 2 X 2 + abx + ac = 0.
Mayli ah = y, qayerda x = y/a; keyin tenglamaga kelamiz
da 2 + tomonidan+ ac = 0,
bunga teng. uning ildizlari da 1 Va da 2 ni Viet teoremasi yordamida topish mumkin.
Nihoyat, olamiz X 1 = y 1 /A Va X 1 = y 2 /A. Ushbu usul bilan koeffitsient A erkin atama bilan ko'paytiriladi, go'yo unga "tashlangan" kabi, shuning uchun u deyiladi uzatish usuli. Bu usul Vyeta teoremasi yordamida tenglamaning ildizlarini topish oson bo'lganda va eng muhimi, diskriminant aniq kvadrat bo'lganda qo'llaniladi.
Misol.
Keling, tenglamani yechamiz 2x 2 – 11x + 15 = 0.
Yechim. Keling, 2 koeffitsientini erkin muddatga "o'tkazamiz", natijada biz tenglamani olamiz
da 2 – 11y + 30 = 0.
Vyeta teoremasiga ko'ra
da1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5
da 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.
Javob: 2,5; 3.
6. USUL: Kvadrat tenglama koeffitsientlarining xossalari.
A. Kvadrat tenglama bo'lsin Oh 2 + bx + c = 0, Qayerda a ≠ 0.
1) Agar, a+b+ c = 0 (ya'ni koeffitsientlar yig'indisi nolga teng), keyin x 1 = 1,
X 2 = s/a.
Isbot. Biz tenglamaning ikkala tomonini ≠ 0 ga bo'lamiz, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz
x 2 + b/ a x + c/ a = 0.
Vyeta teoremasiga ko'ra
x 1 + x 2 = - b/ a,
x 1 x 2 = 1 c/ a.
Shart bo'yicha A -b+ c = 0, qayerda b= a + c. Shunday qilib,
x 1 + x 2 = - a +b/ a= -1 – c/ a,
x 1 x 2 = - 1 (- c/ a),
bular. X 1 = -1 Va X 2 = c/ a, buni isbotlashimiz kerak edi.
Misollar.
Keling, tenglamani yechamiz 345x 2 - 137x - 208 = 0.
Yechim. Chunki a +b+ c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), Bu
X 1 = 1, x 2 = c/ a = -208/345.
Javob: 1; -208/345.
2) tenglamani yeching 132x 2 – 247x + 115 = 0.
Yechim. Chunki a +b+ c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), Bu
X 1 = 1, x 2 = c/ a = 115/132.
Javob: 1; 115/132.
B. Agar ikkinchi koeffitsient bo'lsa b = 2 k juft son, keyin ildizlarning formulasi
Misol.
Keling, tenglamani yechamiz 3x2 - 14x + 16 = 0.
Yechim. Bizda ... bor: a = 3,b= - 14, c = 16,k = - 7 ;
D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 0, ikki xil ildiz;
Javob: 2; 8/3
IN. Qisqartirilgan tenglama
X 2 +px+q= 0
umumiy tenglama bilan mos keladi, unda a = 1, b= p Va c =q. Shuning uchun, qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun, ildizlar uchun formula
shaklni oladi:
Formula (3) qachon foydalanish uchun ayniqsa qulay R- juft son.
Misol. Keling, tenglamani yechamiz X 2 – 14x – 15 = 0.
Yechim. Bizda ... bor: X 1,2 =7±
Javob: x 1 = 15; X 2 = -1.
7. USUL: Kvadrat tenglamaning grafik yechimi.
E 
agar tenglamada bo'lsa
X 2 + px + q = 0
ikkinchi va uchinchi shartlarni o'ng tomonga siljiting, biz olamiz
X 2 = - px - q.
Keling, y \u003d x 2 va y \u003d - px - q bog'liqlik grafiklarini tuzamiz.
Birinchi bog`liqlikning grafigi koordinata boshidan o`tuvchi paraboladir. Ikkinchi bog'liqlik grafigi -
to'g'ri chiziq (1-rasm). Quyidagi holatlar mumkin:
Chiziq va parabola ikki nuqtada kesishishi mumkin,
kesishish nuqtalarining abstsissalari kvadrat tenglamaning ildizlari;
Chiziq va parabola tegishi mumkin (faqat bitta umumiy nuqta), ya'ni. tenglama bitta yechimga ega;
To'g'ri chiziq va parabolaning umumiy nuqtalari yo'q, ya'ni. kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.
Misollar.
1) Keling, tenglamani grafik tarzda yechamiz X 2 - 3x - 4 = 0(2-rasm).
Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz X 2 = 3x + 4.
Keling, parabola quraylik y = x 2 va to'g'ridan-to'g'ri y = 3x + 4. bevosita
y = 3x + 4 ikki nuqtadan qurish mumkin M (0; 4) Va
N (3; 13) . Chiziq va parabola ikki nuqtada kesishadi
A Va IN abscissa bilan X 1 = - 1 Va X 2 = 4 . Javob : X 1 = - 1;
X 2 = 4.
2) Tenglamani grafik usulda yechamiz (3-rasm). X 2 - 2x + 1 = 0.
Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz X 2 = 2x - 1.
Keling, parabola quraylik y = x 2 va to'g'ridan-to'g'ri y = 2x - 1.
bevosita y = 2x - 1 ikki nuqtaga asoslanadi M (0; - 1)
Va N(1/2; 0) . Chiziq va parabola bir nuqtada kesishadi A Bilan
abscissa x = 1. Javob: x = 1.
3) Keling, tenglamani grafik tarzda yechamiz X 2 - 2x + 5 = 0(4-rasm).
Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz X 2 = 5x - 5. Keling, parabola quraylik y = x 2 va to'g'ridan-to'g'ri y = 2x - 5. bevosita y = 2x - 5 M(0; - 5) va N(2,5; 0) ikkita nuqta bilan tuzing. To'g'ri chiziq va parabolaning kesishish nuqtalari yo'q, ya'ni. Bu tenglamaning ildizlari yo'q.
Javob. Tenglama X 2 - 2x + 5 = 0 ildizlari yo'q.
8. USUL: Kvadrat tenglamalarni kompas yordamida yechish va
hukmdorlar.
Parabola yordamida kvadrat tenglamalarni echishning grafik usuli noqulay. Agar siz parabola nuqtasini nuqta bilan qursangiz, unda bu juda ko'p vaqtni oladi va olingan natijalarning aniqlik darajasi past bo'ladi.
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topishning quyidagi usulini taklif qilaman Oh 2 + bx + c = 0 kompas va o'lchagich yordamida (5-rasm).
Faraz qilaylik, kerakli doira o'qni kesib o'tadi
nuqtalarda abscissa B(x 1 ; 0) Va D(X 2 ; 0), Qayerda X 1 Va X 2 - tenglamaning ildizlari Oh 2 + bx + c = 0, va nuqtalardan o'tadi
A(0; 1) Va C(0;c/ a) y o'qi bo'yicha. Keyin, sekant teoremasi bo'yicha, biz bor OB OD = O.A OC, qayerda OC = OB OD/ O.A= x 1 X 2 / 1 = c/ a.
Doira markazi perpendikulyarlarning kesishish nuqtasida joylashgan SF Va SK, akkordlarning o'rta nuqtalarida tiklangan AC Va BD, Shunung uchun
1) nuqtalarni qurish (aylana markazi) va A(0; 1) ;
2) radiusli aylana chizish SA;
3) bu doiraning o'q bilan kesishish nuqtalarining abscissalari Oh dastlabki kvadrat tenglamaning ildizlari.
Bunday holda, uchta holat mumkin.
1) Aylana radiusi markazning ordinatasidan katta (AS SK, yokiR a + c/2 a) , aylana x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi (6,a-rasm). B(x 1 ; 0) Va D(X 2 ; 0) , Qayerda X 1 Va X 2 - kvadrat tenglamaning ildizlari Oh 2 + bx + c = 0.
2) Aylana radiusi markazning ordinatasiga teng (AS = SB, yokiR = a + c/2 a) , aylana Ox o'qiga (6,b-rasm) nuqtada tegadi B(x 1 ; 0) , bu yerda x 1 kvadrat tenglamaning ildizi.
3) Aylana radiusi markazning ordinatasidan kichik
aylananing abscissa o'qi bilan umumiy nuqtalari yo'q (6-rasm, c), bu holda tenglama yechimga ega emas.
Misol.
Keling, tenglamani yechamiz X 2 - 2x - 3 = 0(7-rasm).
Yechim. Doira markazi nuqtasining koordinatalarini formulalar bo'yicha aniqlang:
SA radiuli aylana chizamiz, bu yerda A (0; 1).
Javob: X 1 = - 1; X 2 = 3.
9. USUL: Kvadrat tenglamalarni yechish
nomogrammalar.
Bu kvadrat tenglamalarni echishning eski va unutilgan usuli,
p.83 da joylashtirilgan (qarang: Bradis V.M. To'rt raqamli matematik jadvallar. - M., Enlightenment, 1990).
XXII jadval. Tenglamalarni yechish uchun nomogramma z 2 + pz + q = 0 . Bu nomogramma kvadrat tenglamani koeffitsientiga ko'ra yechmasdan imkon beradi
tenglamaning ildizlarini toping.
Nomogrammaning egri chiziqli shkalasi qurilgan
formulalar bo'yicha (11-rasm):
Taxmin qilib OS = p,ED = q, OE = a(barchasi sm), dan
uchburchakning o'xshashligi SAN Va CDF olamiz
nisbat
demak, almashtirishlar va soddalashtirishlardan keyin tenglama kelib chiqadi
z 2 + pz + q = 0,
va xat z egri shkaladagi istalgan nuqtaning yorlig'ini bildiradi.
Misollar.
1) Tenglama uchun z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogramma ildiz beradi z 1 = 8,0 Va z 2 = 1,0 (12-rasm).
2) Tenglamani nomogramma yordamida yechamiz
2 z 2 - 9 z + 2 = 0.
Ushbu tenglamaning koeffitsientlarini 2 ga bo'ling,
tenglamani olamiz
z 2 - 4,5 z + 1 = 0.
Nomogramma ildiz beradi z 1 = 4 Va z 2 = 0,5.
3) Tenglama uchun
z 2 - 25 z + 66 = 0
p va q koeffitsientlari masshtabdan tashqarida, biz almashtirishni amalga oshiramiz z = 5 t,
tenglamani olamiz
t 2 - 5 t + 2,64 = 0,
uni nomogramma yordamida yechamiz va olamiz t 1 = 0,6 Va t 2 = 4,4, qayerda z 1 = 5 t 1 = 3,0 Va z 2 = 5 t 2 = 22,0.
10. USUL: Kvadratni geometrik yechish usuli
tenglamalar.
Qadim zamonlarda, geometriya algebradan ko'ra ko'proq rivojlangan bo'lsa, kvadrat tenglamalar algebraik emas, balki geometrik tarzda echilgan. Al-Xorazmiyning “Algebra”sidan mashhur bo‘lgan bir misol keltiraman.
Misollar.
1) tenglamani yeching X 2 + 10x = 39.
Asl nusxada bu masala quyidagicha tuzilgan: "Kvadrat va o'nta ildiz 39 ga teng" (15-rasm).
Yechim. X tomoni bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing, uning yon tomonlarida to'rtburchaklar qurilgan, shunda ularning har birining boshqa tomoni 2,5 ga teng, shuning uchun har birining maydoni 2,5x ni tashkil qiladi. Keyin olingan raqam yangi ABCD kvadratiga to'ldiriladi, burchaklardagi to'rtta teng kvadratni to'ldiradi, ularning har birining tomoni 2,5, maydoni esa 6,25.
Kvadrat S kvadrat A B C D maydonlarning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin: asl kvadrat X 2 , to'rtta to'rtburchaklar (4 2,5x = 10x) va to'rtta biriktirilgan kvadrat (6,25 4 = 25) , ya'ni. S = X 2 + 10x + 25. O'zgartirish
X 2 + 10x raqam 39 , biz buni tushunamiz S = 39 + 25 = 64 , bu erdan kvadratning yon tomoni kelib chiqadi A B C D, ya'ni. chiziq segmenti AB = 8. Istalgan tomon uchun X biz olgan asl kvadrat
2) Ammo, masalan, qadimgi yunonlar tenglamani qanday hal qilishgan da 2 + 6y - 16 = 0.
Yechim shaklda ko'rsatilgan. 16, qaerda
da 2 + 6y = 16 yoki y 2 + 6y + 9 = 16 + 9.
Yechim. Ifodalar da 2 + 6y + 9 Va 16 + 9 geometrik tarzda ifodalaydi
bir xil kvadrat va asl tenglama da 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0 bir xil tenglamadir. Buni qayerdan olamiz y + 3 = ± 5, yoki da 1 = 2, y 2 = - 8 (16-rasm).
3) Geometrik tenglamani yechish da 2 - 6y - 16 = 0.
Tenglamani o'zgartirib, biz olamiz
da 2 - 6y = 16.
Shaklda. 17 ifodaning “tasvirlari”ni toping da 2 - 6u, bular. tomoni y bo'lgan kvadratning maydonidan tomoni teng bo'lgan kvadratning ikki barobarini ayirish 3 . Shunday qilib, ifoda bo'lsa da 2 - 6y qo'shish 9 , keyin biz tomoni bilan kvadratning maydonini olamiz y - 3. Ifodani almashtirish da 2 - 6y uning teng soni 16,
olamiz: (y - 3) 2 = 16 + 9, bular. y - 3 = ± √25, yoki y - 3 = ± 5, bu erda da 1 = 8 Va da 2 = - 2.
Xulosa
Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglama va tengsizliklarni yechishda keng qo‘llaniladi.
Biroq, kvadrat tenglamalarning ahamiyati nafaqat muammolarni echishning nafisligi va qisqaligida, garchi bu juda muhim bo'lsa ham. Muammolarni echishda kvadrat tenglamalardan foydalanish natijasida ko'pincha yangi tafsilotlar ochiladi, qiziqarli umumlashmalar va aniqlashtirishlar amalga oshirilishi mumkin, bu esa olingan formulalar va munosabatlarni tahlil qilish natijasida yuzaga keladi.
Shuni ham ta'kidlashni istardimki, ushbu ishda taqdim etilgan mavzu hali ham kam o'rganilgan, ular shunchaki u bilan shug'ullanmaydilar, shuning uchun u juda ko'p yashirin va noma'lum narsalarga to'la bo'lib, u ustida ishlash uchun ajoyib imkoniyat yaratadi. .
Bu erda biz kvadrat tenglamalarni echish masalasiga keldik, lekin ularni hal qilishning boshqa usullari mavjud bo'lsa-chi? Yana chiroyli naqshlarni, ba'zi faktlarni, aniqliklarni toping, umumlashtiring, hamma narsani yangi va yangi kashf qiling. Ammo bu kelajakdagi ishlar uchun savollar.
Xulosa qilib, xulosa qilishimiz mumkin: kvadrat tenglamalar matematikaning rivojlanishida katta rol o'ynaydi. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan (8-sinf) bitiruvgacha bilamiz. Bu bilim biz uchun hayot davomida foydali bo'lishi mumkin.
Kvadrat tenglamalarni yechishning ushbu usullaridan foydalanish oson bo'lgani uchun ular, albatta, matematikani yaxshi ko'radigan o'quvchilarni qiziqtirishi kerak. Bizning ishimiz matematika oldimizga qo'ygan muammolarga boshqacha qarash imkonini beradi.
Adabiyot:
1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. va boshqalar Algebra, 6-8. O'rta maktabning 6-8 sinflari uchun sinov darsligi. - M., Ta'lim, 1981 yil.
2. Bradis V.M. O'rta maktab uchun to'rt xonali matematik jadvallar.
Ed. 57. - M., Ta'lim, 1990. S. 83.
3. Kruzepov A.K., Rubanov A.T. Algebra va elementar funktsiyalar bo'yicha muammoli kitob. O'rta maxsus o'quv yurtlari uchun darslik. - M., oliy maktab, 1969 yil.
4. Okunev A.K. Kvadrat funksiyalar, tenglamalar va tengsizliklar. O'qituvchi uchun qo'llanma. - M., Ta'lim, 1972 y.
5. Presman A.A. Kvadrat tenglamani sirkul va to'g'ri chiziq yordamida yechish. - M., Kvant, No 4/72. S. 34.
6. Solomnik V.S., Milov P.I. Matematika fanidan savollar va topshiriqlar to'plami. Ed. - 4-chi, qo'shing. - M., Oliy maktab, 1973 yil.
7. Xudobin A.I. Algebra va elementar funksiyalardan masalalar to'plami. O'qituvchi uchun qo'llanma. Ed. 2. - M., Ta'lim, 1970 y.
Rahbarlik uchun ariza
tadqiqot ishi
Nazoratchi: Prixodko Yuriy Vladimirovich (matematika o'qituvchisi)
Tavsiya etilgan mavzu: “Kvadrat tenglamalarni yechishning 10 usuli”
Maslahatchilar:
Prixodko Yuriy Vladimirovich (matematika o'qituvchisi);
Eroshenkov Dmitriy Aleksandrovich (informatika o'qituvchisi)
Loyiha ustida ish olib boriladigan bilimlarning ta'lim sohasi, o'quv predmeti matematika
Loyiha mavzusiga yaqin bo'lgan akademik fanlar: matematika
O'qish klassi: 9-sinf
Tadqiqot guruhi tarkibi: Kursin Dmitriy, Pavlikov Dmitriy
Talabaning asosiy faoliyati bo'yicha loyiha turi: kvadrat tenglamalarni yechishning ratsional usullarini o'rganish
Davomiyligi bo'yicha loyiha turi: Uzoq muddat
Ta'lim turi: tanlov kursi
Kerakli jihozlar: kvadrat tenglamalarni yechishning turli usullarini ko'rib chiqishga oid ilmiy-ommabop adabiyotlar
Loyihaning mo'ljallangan mahsuloti: kvadrat tenglamalarni yechishning ratsional usullaridan foydalanish bo'yicha o'quv-uslubiy material yaratish
Kopyevskaya qishloq o'rta maktabi
Kvadrat tenglamalarni yechishning 10 ta usuli
Rahbar: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
matematika o'qituvchisi
s. Kopyevo, 2007 yil
1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi
1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar
1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan
1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar
1.4 Al-Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar
1.5 Evropada XIII - XVII asrlarda kvadrat tenglamalar
1.6 Vyeta teoremasi haqida
2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari
Xulosa
Adabiyot
1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi
1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar
Qadimgi davrlarda nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni yechish zarurati er va er uchastkalarini harbiy xarakterga ega boʻlgan yerlarni topish bilan bogʻliq masalalarni yechish zarurati, shuningdek, astronomiya va boshqa fanlarning rivojlanishi bilan bogʻliq boʻlgan. matematikaning o'zi. Kvadrat tenglamalar miloddan avvalgi 2000 yilni yechishga muvaffaq bo'lgan. e. Bobilliklar.
Zamonaviy algebraik belgilarni qo'llagan holda, ularning mixxat yozuvlarida to'liq bo'lmaganlardan tashqari, masalan, to'liq kvadrat tenglamalar mavjudligini aytishimiz mumkin:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Bobil matnlarida aytilgan ushbu tenglamalarni yechish qoidasi asosan zamonaviyga to'g'ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday kelgani noma'lum. Hozirgacha topilgan deyarli barcha mixxat yozuvlari retseptlar ko'rinishida bayon qilingan yechimlar bilan bog'liq muammolarni beradi, ular qanday topilganligi ko'rsatilmaydi.
Bobilda algebra fanining yuqori darajada rivojlanganligiga qaramasdan mixxat yozuvlarida manfiy son tushunchasi va kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy usullari yoʻq.
1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan.
Diofantning arifmetikasida algebraning sistematik ekspozitsiyasi mavjud emas, lekin u tushuntirishlar bilan birga kelgan va turli darajadagi tenglamalar tuzish orqali echilgan tizimli masalalarni o'z ichiga oladi.
Tenglamalarni tuzishda Diophantus yechimni soddalashtirish uchun noma'lumlarni mohirlik bilan tanlaydi.
Bu erda, masalan, uning vazifalaridan biri.
11-topshiriq."Ularning yig'indisi 20 va ko'paytmasi 96 ekanligini bilgan holda ikkita raqamni toping"
Diofant quyidagicha ta'kidlaydi: masalaning shartidan kelib chiqadiki, kerakli sonlar teng emas, chunki ular teng bo'lganida, ularning ko'paytmasi 96 emas, balki 100 bo'ladi. Shunday qilib, ulardan biri ularning yarmidan ko'pi bo'ladi. so'm, ya'ni. 10+x, ikkinchisi kichikroq, ya'ni. 10-lar. Ularning orasidagi farq 2x.
Demak, tenglama:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Bu yerdan x = 2. Istalgan raqamlardan biri 12 , boshqa 8 . Yechim x = -2 chunki Diofant mavjud emas, chunki yunon matematikasi faqat ijobiy raqamlarni bilardi.
Agar bu masalani kerakli sonlardan birini noma’lum deb tanlab yechsak, u holda tenglamaning yechimiga kelamiz.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Ko'rinib turibdiki, Diophantus kerakli sonlarning yarim farqini noma'lum sifatida tanlab, yechimni soddalashtiradi; u muammoni to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishgacha qisqartirishga muvaffaq bo'ladi (1).
1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar
Kvadrat tenglamalar uchun masalalar 499 yilda hind matematiki va astronomi Aryabhatta tomonidan tuzilgan "Aryabhattam" astronomik traktida allaqachon topilgan. Boshqa bir hind olimi Brahmagupta (7-asr) bitta kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini belgilab berdi:
ah 2+bx = c, a > 0. (1)
(1) tenglamada koeffitsientlar bundan mustasno A, salbiy ham bo'lishi mumkin. Brahmagupta qoidasi aslida biznikiga to'g'ri keladi.
Qadimgi Hindistonda murakkab masalalarni hal qilish bo'yicha ommaviy musobaqalar keng tarqalgan. Qadimgi hind kitoblaridan birida bunday musobaqalar haqida shunday deyilgan: “Quyosh o‘zining yorqinligi bilan yulduzlarni ortda qoldirganidek, bilimdon kishi jamoat yig‘ilishlarida, algebra masalalarini taklif qilish va yechishda birovning shon-shuhratini shunday yoritadi”. Vazifalar ko'pincha she'riy shaklda kiyingan.
XII asrdagi mashhur hind matematigining muammolaridan biri shu. Bhaskara.
13-topshiriq.
"Maymunlar galasi va uzumzorda o'n ikkita ...
Quvvatni iste'mol qilib, xursand bo'ldi. Ular osilib, sakrashni boshladilar ...
Ularning sakkizinchi qismi kvadratda Qancha maymun bor edi,
Yaylovda dam olish. Ayting-chi, bu suruvdami?
Bxaskaraning yechimi uning kvadrat tenglamalar ildizlarining ikki qiymatliligi haqida bilganligini ko'rsatadi (3-rasm).
13-masalaga mos keladigan tenglama:
(x/8) 2 + 12 = x
Bhaskara niqob ostida yozadi:
x 2 - 64x = -768
va bu tenglamaning chap tomonini kvadratga to'ldirish uchun u ikkala tomonni ham qo'shadi 32 2 , keyin olish:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Al-Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar
Al-Xorazmiyning algebraik risolasida chiziqli va kvadrat tenglamalar tasnifi berilgan. Muallif 6 turdagi tenglamalarni sanab, ularni quyidagicha ifodalaydi:
1) "Kvadratchalar ildizlarga teng", ya'ni. ax 2 + c =bX.
2) "Kvadratchalar songa teng", ya'ni. ax 2 = s.
3) "Ildizlar songa teng", ya'ni. ah = s.
4) "Kvadratchalar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni. ax 2 + c =bX.
5) "Kvadratchalar va ildizlar songa teng", ya'ni. ah 2+bx= s.
6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni.bx+ c \u003d bolta 2.
Manfiy sonlarni ishlatishdan qochgan al-Xorazmiy uchun bu tenglamalarning har birining hadlari ayirish emas, qo‘shimcha hisoblanadi. Bunday holda, ijobiy yechimga ega bo'lmagan tenglamalar hisobga olinmaydi. Muallif bu tenglamalarni yechish usullarini al-jabr va al-muqobala usullaridan foydalangan holda bayon qiladi. Uning qarorlari, albatta, biznikiga to'liq mos kelmaydi. Uning sof ritorik ekanligi haqida gapirmasa ham, shuni ta'kidlash kerakki, masalan, birinchi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishda.
al-Xorazmiy 17-asrgacha boʻlgan barcha matematiklar kabi nol yechimni hisobga olmaydi, ehtimol bu aniq amaliy masalalarda ahamiyatsizligi uchundir. Toʻliq kvadrat tenglamalarni yechishda al-Xorazmiy alohida sonli misollar yordamida yechish qoidalarini, keyin esa geometrik isbotlarni belgilaydi.
14-topshiriq.“Kvadrat va 21 raqami 10 ta ildizga teng. Ildizni toping" (tenglamaning ildizini x 2 + 21 = 10x deb hisoblaymiz).
Muallifning yechimi quyidagicha bo'ladi: ildizlar sonini ikkiga bo'ling, siz 5 ni olasiz, 5 ni o'z-o'zidan ko'paytirasiz, ko'paytmadan 21 ni ayirasiz, 4 qoladi.4 ning ildizini oling, siz 2 olasiz. 5 dan 2 ni ayirasiz, siz 3-ni oling, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2 ni 5 ga qo'shing, bu 7 ni beradi, bu ham ildiz.
“Al-Xorazmiy” risolasi bizgacha yetib kelgan birinchi kitob bo‘lib, unda kvadrat tenglamalarning tasnifi tizimli bayon qilingan va ularni yechish formulalari keltirilgan.
1.5 Yevropadagi kvadrat tenglamalarXIII - XVIIasrlar
Evropada al-Xorazmiy modelida kvadrat tenglamalarni yechish formulalari birinchi marta italyan matematigi Leonardo Fibonachchi tomonidan 1202 yilda yozilgan "Abakus kitobi"da keltirilgan. Islom va Qadimgi Yunoniston mamlakatlari matematikasining taʼsirini aks ettiruvchi bu katta hajmli asar taqdimotning toʻliqligi va ravshanligi bilan ajralib turadi. Muallif mustaqil ravishda muammoni yechishning yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va Evropada birinchi bo'lib manfiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo‘shdi. "Abakus kitobi" dan ko'plab vazifalar 16-17-asrlarning deyarli barcha Evropa darsliklariga o'tdi. va qisman XVIII.
Yagona kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasi:
x 2+bx= bilan,
koeffitsientlar belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun b, Bilan Evropada faqat 1544 yilda M. Stiefel tomonidan tuzilgan.
Vietada kvadrat tenglamani yechish uchun formulaning umumiy kelib chiqishi bor, lekin Vieta faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiya matematiklari Tartalya, Kardano, Bombelli 16-asrda birinchilardan bo'lgan. Ijobiy va salbiy ildizlardan tashqari, hisobga oling. Faqat XVII asrda. Jirard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning mehnati tufayli kvadrat tenglamalarni yechish usuli zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi.
1.6 Vyeta teoremasi haqida
Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari va uning ildizlari o'rtasidagi munosabatni ifodalovchi teorema Veta nomini oldi, u birinchi marta 1591 yilda quyidagicha shakllantirdi: “Agar B + D ga ko'paytiriladi A - A 2 , teng BD, Bu A teng IN va teng D».
Vyetani tushunish uchun buni yodda tutish kerak A, har qanday unli kabi, u uchun noma'lumni anglatadi (bizning X), unlilar IN,D- noma'lum uchun koeffitsientlar. Zamonaviy algebra tilida Vietaning yuqoridagi formulasi: agar
(a +b)x - x 2 =ab,
x 2 - (a +b)x + ab = 0,
x 1 = a, x 2 =b.
Tenglamalarning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatni belgilar yordamida yozilgan umumiy formulalar orqali ifodalab, Vyet tenglamalarni yechish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vyeta ramzi hali ham uning zamonaviy shaklidan uzoqdir. U manfiy sonlarni tanimagan va shuning uchun tenglamalarni yechishda faqat barcha ildizlar ijobiy bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdi.
2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari
Kvadrat tenglamalar algebraning ulug'vor binosi suyanadigan poydevordir. Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglama va tengsizliklarni yechishda keng qo‘llaniladi. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan (8-sinf) bitiruvgacha bilamiz.
https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU "Sergievskaya o'rta maktabi"
Tugallagan: Sizikov Stanislav
O'qituvchi:
Bilan. Sergievka, 2007 yil
1.Kirish. Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar……………….3
2. Diaphantdagi kvadrat tenglamalar…………..……………………….4
3. Hindistondagi kvadrat tenglamalar ……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………
4. Al-Xorazmiyda kvadrat tenglamalar …………………………………..6
5. Yevropadagi kvadrat tenglamalar XIII - XYII…………………………7
6. Vyeta teoremasi haqida ………………………………………………………..9
7. Kvadrat tenglamalarni yechishning o‘nta usuli……………………..10
8. Xulosa ………………………………………………………………20
9. Adabiyotlar …………………………………………………21
Kirish
Kvadrat tenglamalar
Kvadrat tenglamalar algebraning ulug'vor binosi suyanadigan poydevordir. Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko'rsatkichli, logarifmik, irratsional tenglamalarni yechishda keng qo'llaniladi. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz 8-sinfdan boshlab bilamiz. Ammo kvadrat tenglamalarni yechish tarixi qanday paydo bo'lgan va rivojlangan?
Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar
Nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni yechish zarurati antik davrda ham er maydonlarini topish bilan bog‘liq masalalarni yechish zaruratidan kelib chiqqan; harbiy xarakterdagi tuproq ishlari, shuningdek, astronomiya va matematikaning o'zi rivojlanishi bilan. Kvadrat tenglamalar miloddan avvalgi 2000 yilni yechishga muvaffaq bo'lgan. e. Bobilliklar. Zamonaviy algebraik yozuvlardan foydalangan holda aytishimiz mumkinki, ularning mixxat yozuvlarida toʻliq boʻlmaganlardan tashqari, masalan, toʻliq kvadrat tenglamalar ham mavjud: x2 + x =, : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bxaskara niqob ostida yozadi
x2- 64X = - 768
va bu tenglamaning chap tomonini kvadratga to'ldirish uchun u ikkala tomonga 322 qo'shib, quyidagicha hosil bo'ladi: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;
(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.
Al - Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar
Al-Xorazmiyning algebraik risolasida chiziqli va kvadrat tenglamalar tasnifi berilgan. Muallif 6 turdagi tenglamalarni sanab, ularni quyidagicha ifodalaydi:
1) "Kvadratchalar ildizlarga teng", ya'ni. ax2 = in.
2) "Kvadratlar songa teng", ya'ni. ah2= Bilan.
3) "Ildizlar songa teng", ya'ni. ah = s.
4) "Kvadratchalar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni. ah2+ c = ichida.
5) "Kvadratchalar va ildizlar songa teng", ya'ni. ah2+ in = s.
6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni. ichida+ c \u003d ax2. Manfiy sonlarni ishlatishdan qochgan al-Xorazmiy uchun bu tenglamalarning har birining hadlari ayirish emas, qo‘shimcha hisoblanadi. Bunday holda, ijobiy yechimga ega bo'lmagan tenglamalar hisobga olinmaydi. Muallif bu tenglamalarni yechish usullarini belgilab beradi. Uning qarori, albatta, biznikiga to'liq mos kelmaydi. Uning sof ritorik ekanligini hisobga olmaganda, masalan, birinchi turdagi toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamani yechishda al-Xorazmiy XVII asrgacha boʻlgan barcha matematiklar singari nolni ham hisobga olmaganini taʼkidlash kerak. yechim, ehtimol, chunki aniq amaliy vazifalarda, bu muhim emas. Toʻliq kvadrat tenglamalarni yechishda al-Xorazmiy alohida sonli misollar yordamida ularni yechish qoidalarini, soʻngra ularning geometrik isbotlarini belgilaydi.
Keling, bir misol keltiraylik.
14-masala. “Kvadrat va 21 soni 10 ta ildizga teng. Ildizni toping "(tenglamaning ildizini anglatadi). x2+ 21 = 10X).
Muallifning yechimi quyidagicha bo'ladi: ildizlar sonini ikkiga bo'ling, siz 5 ni olasiz, 5 ni o'z-o'zidan ko'paytirasiz, ko'paytmadan 21 ni ayirasiz, 4 qoladi.4 ning ildizini oling, siz 2 olasiz. 5 dan 2 ni ayirasiz, siz 3-ni oling, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2 ni 5 ga qo'shing, bu 7 ni beradi, bu ham ildiz.
Al-Xorazmiy risolasi bizgacha yetib kelgan birinchi kitob bo‘lib, unda kvadrat tenglamalar tasnifi tizimli ravishda berilgan va ularni yechish formulalari keltirilgan.
Evropada kvadrat tenglamalarXIII- XVIIasrlar
Kvadrat tenglamalarni Yevropada al-Xorazmiy modelida yechish formulalari ilk bor “Abaklar kitobi”da (o‘tgan asr o‘rtalarida Rimda nashr etilgan, Fibonachchining “Abakus kitobi” 459 sahifadan iborat) bayon etilgan. ), 1202 yilda italyan matematigi Leonardo Fibonachchi tomonidan yozilgan. Islom va Qadimgi Yunoniston mamlakatlari matematikasining taʼsirini aks ettiruvchi bu katta hajmli asar taqdimotning toʻliqligi va ravshanligi bilan ajralib turadi. Muallif mustaqil ravishda muammo yechishning bir qancha yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va birinchi V Evropa salbiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo‘shdi. "Abakus kitobi" dan ko'plab vazifalar 16-17-asrlarning deyarli barcha Evropa darsliklariga o'tdi. va qisman XVIII.
Yagona kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasi x2+ in = s, koeffitsientlar belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun ichida, bilan Evropada faqat 1544 yilda tuzilgan. M. Shtifel.
Vietada kvadrat tenglamani yechish uchun formulaning umumiy kelib chiqishi bor, lekin Vieta faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiya matematiklari Tartalya, Kardako, Bombelli 16-asrda birinchilardan bo'lgan. ijobiy va salbiy ildizlardan tashqari, hisobga olish. Faqat XVII asrda. Jirard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning ishlari tufayli kvadrat tenglamalarni yechish usuli zamonaviy qiyofa kasb etadi.
Vyeta teoremasi haqida
Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari va uning ildizlari o'rtasidagi munosabatni ifodalovchi teorema Veta nomini oldi, u birinchi marta 1591 yilda quyidagicha shakllantirdi: “Agar IN+ D, ga ko'paytiriladi A minus A2, teng BD, Bu A teng IN va teng D».
Vyetani tushunish uchun buni yodda tutish kerak A, har qanday kabi
unli, uning uchun noma'lum (bizning X), unlilar
IN,D- noma'lum uchun koeffitsientlar. Zamonaviy algebra tilida Vietaning yuqoridagi formulasi: agar
(A+ c) x - x 2 = ab, x2 - (a+ b) x + ab = 0, x1 = a, x2 = b.
Tenglamalarning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatni belgilar yordamida yozilgan umumiy formulalar orqali ifodalab, Vyet tenglamalarni yechish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vyeta ramzi hali ham uning zamonaviy shaklidan uzoqdir. U manfiy raqamlarni tanimagan va shuning uchun tenglamalarni yechishda faqat barcha ildizlar ijobiy bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdi.
Kvadrat tenglamalarni yechishning o‘nta usuli
Maktab matematika kursida kvadrat tenglamalar ildizlarining formulalari o'rganiladi, ular yordamida istalgan kvadrat tenglamalarni yechish mumkin. Biroq, ko'p tenglamalarni juda tez va oqilona echishga imkon beradigan kvadrat tenglamalarni echishning boshqa usullari mavjud. Kvadrat tenglamalarni yechishning o'nta usuli mavjud. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.
1. Tenglamaning chap tomonini koeffitsientlarga ajratish
Keling, tenglamani yechamiz x2+ 10X- 24 = 0. Tenglamaning chap tomonini koeffitsientlarga ajratamiz:
x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =
X(x + x + 12) = (x + 12)(x - 2).
Shunday qilib, tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:
( X + 12)(x - 2) = 0.
Mahsulot nolga teng bo'lgani uchun uning omillaridan kamida bittasi nolga teng. Shuning uchun tenglamaning chap tomoni qachon yo'qoladi x = 2, shuningdek X= - 12. Demak, 2 va - 12 raqamlari x2 + 10x - 24 = 0 tenglamaning ildizlaridir.
2. To'liq kvadrat tanlash usuli
Keling, bu usulni misol bilan tushuntiramiz.
Keling, x2 + 6x - 7 = 0 tenglamasini yechamiz. Chap tomonda to'liq kvadratni tanlang. Buning uchun x2 + 6x ifodasini quyidagi shaklda yozamiz:
x2 + 6x = x2 + 2*x*3.
Olingan ifodada birinchi had x sonining kvadrati, ikkinchisi esa x ning 3 ga qo'sh ko'paytmasidir. Shuning uchun to'liq kvadratni olish uchun 32 ni qo'shish kerak, chunki
x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.
Endi biz tenglamaning chap tomonini o'zgartiramiz
x2 + 6x - 7 = 0,
unga qo'shish va ayirish 32. Bizda:
x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .
Shunday qilib, bu tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(x + = 0, ya'ni (x + 3)2 = 16.
Demak, X+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1 yoki x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.
3. Kvadrat tenglamalarni formula bo‘yicha yechish
Tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiring
ah2+ ichida+ c = 0, a ≠ 0, yoqilgan 4a va ketma-ket bizda:
4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,
((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,
(2ax +b)2 = in2- 4ac,
2ax+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" kengligi="71" balandligi="27">, x1,2 = 
Ijobiy diskriminant holatida, ya'ni bilan v2 - 4ac > 0, tenglama ah2+ ichida + s= 0 ikki xil ildizga ega.
Diskriminant nolga teng bo'lsa, ya'ni. v2 - 4ac = 0, keyin tenglama ah2+ ichida+ Bilan= 0 bitta ildizga ega, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Uning ildizlari Vyeta teoremasini qondiradi, bu esa, qachon A= 1 shaklga ega
x1 x2 = q,
x1 + x2 = - R.
Bundan quyidagi xulosalar chiqarishimiz mumkin (koeffitsientlar bo'yicha R Va q ildiz belgilarini oldindan aytish mumkin).
a) Agar bepul a'zo bo'lsa q qisqartirilgan tenglama (1)
ijobiy (q> 0), u holda tenglama ikkita bir xil bo'ladi
ildiz belgisi bilan va u ikkinchi koeffitsientga bog'liq R
Agar R> 0 bo'lsa, agar ikkala ildiz manfiy bo'lsa R< 0,
keyin ikkalasi
ildizlari ijobiydir.
Masalan,
x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 va x2 = 1, chunki q = 2 > 0 u p = - 3 < 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 va x2 \u003d - 1, chunki q= 7 > 0 va R = 8 > 0.
b) Agar bepul a'zo bo'lsa q qisqartirilgan tenglama (1)
salbiy (q <
0), u holda tenglama turli xil ishorali ikkita ildizga ega va mutlaq qiymatdagi kattaroq ildiz musbat bo'ladi, agar R<
0 yoki salbiy bo'lsa p > 0.
Masalan,
x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 va x2 \u003d 1, chunki q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;
x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 va x2= - 1 chunki q = - 9 < и R= - 8 < 0.
5. Tenglamalarni «o`tkazish» usulida yechish.
Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing ax2 + in+ c = 0, qayerda a ≠ 0. Uning ikkala qismini ko‘paytirish A, tenglamani olamiz a2x2 +abx+ ac= 0.
Mayli ah = y qayerda X=; keyin tenglamaga kelamiz
y2+ tomonidan+ ac = 0,
bunga teng. uning ildizlari y1 Va y2 Vyeta teoremasi yordamida toping. Nihoyat, olamiz x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.
Ushbu usul bilan koeffitsient A erkin atama bilan ko'paytiriladi, go'yo unga "tashlab qo'yilgan", shuning uchun u deyiladi uzatish usuli. Bu usul Vyeta teoremasi yordamida tenglamaning ildizlarini topish oson bo'lganda va eng muhimi, diskriminant aniq kvadrat bo'lganda qo'llaniladi.
1. 2x2 - 11x + 15 = 0 tenglamani yeching.
Yechim. Keling, 2 koeffitsientini erkin muddatga "o'tkazamiz", natijada biz tenglamani olamiz
y2 - 11 da+ 30 = 0.
Vyeta teoremasiga ko'ra, y1 = 5, y2 = 6, demak, x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.
x1 = 2,5 x2 = 3.
Javob: 2,5; 3.
6. Kvadrat koeffitsientlarining xossalaritenglamalar
A. Kvadrat tenglama berilsin
ax2 + in + c= 0, bu erda A ≠ 0.
1. Agar + bo'lsa ichida + bilan= 0 (ya'ni, tenglama koeffitsientlarining yig'indisi nolga teng), u holda x1 = 1, x2 =.
2. Agar a - b + c= 0, yokib = A + c, keyin x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.
Javob: 1; 184">
Quyidagi holatlar mumkin:
To'g'ri chiziq va parabola ikki nuqtada kesishishi mumkin, kesishish nuqtalarining abssissalari kvadrat tenglamaning ildizlari;
To'g'ri chiziq va parabola tegishi mumkin (faqat bitta umumiy nuqta), ya'ni tenglama bitta yechimga ega;
To'g'ri chiziq va parabolaning umumiy nuqtalari yo'q, ya'ni kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.
Misollar.
1. X2 - 3x - 4 = 0 tenglamani grafik tarzda yechamiz (2-rasm).
Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz x2 = 3x + 4. 
Keling, parabola quraylik y = x2 va to'g'ridan-to'g'ri y= 3x + 4. To'g'ridan-to'g'ri da= 3x + 4 ni ikkita M(0; 4) va N(3; 13) nuqtadan qurish mumkin. Chiziq va parabola ikki nuqtada kesishadi A dan B gacha abscissa bilan x1= - 1 va x2 = 4.
Javob: x1= - 1, x, = 4.
8. Kvadrat tenglamalarni sirkul va to‘g‘ri chiziq yordamida yechish
Parabola yordamida kvadrat tenglamalarni echishning grafik usuli noqulay. Agar siz parabola nuqtasini nuqta bilan qursangiz, unda bu juda ko'p vaqtni oladi va olingan natijalarning aniqlik darajasi past bo'ladi.
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topishning quyidagi usulini taklif qilamiz
|
ah2+ ichida+ Bilan= 0
kompas va o'lchagich yordamida (rasm).
Faraz qilaylik, kerakli doira abscissa o'qini nuqtalarda kesib o'tadi B(x1; 0) va D(x2
;
0), qayerda x1 Va x2- tenglamaning ildizlari ax2 + in+Bilan=0,
va y o'qining A(0; 1) va C(0; ) nuqtalaridan o'tadi..gif" width="197" height="123">
Shunday qilib: 1) qurish nuqtalari https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> doira OX o'qini B(x1;0) nuqtada kesib o'tadi. ) va D(x1 ; 0), bu erda x1 va x2 - ax2+bx+c kvadrat tenglamaning ildizlari = 0.
2) Aylana radiusi markazning ordinatasiga teng , aylana x o'qiga B(x1; 0) nuqtada tegadi, bu erda xx kvadrat tenglamaning ildizidir.
3) Aylana radiusi chap markazning ordinatasidan kichik">
https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">
https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">
Almashtirishdan keyin va
soddalashtirishda z2+pz+q=0 tenglamasi kelib chiqadi va z harfi egri chiziqli masshtabning istalgan nuqtasining belgisini bildiradi.10. Kvadrat tenglamalarni yechishning geometrik usuli
Qadim zamonlarda, geometriya algebradan ko'ra ko'proq rivojlangan bo'lsa, kvadrat tenglamalar algebraik emas, balki geometrik tarzda echilgan. Al-Xorazmiy tomonidan Algebra fanidan mashhur bo'lgan bir misol keltiramiz.
Va to'rtta biriktirilgan kvadrat, ya'ni S=x2+10x+25. x2+10x ni 39 bilan almashtirsak, biz S = 39 + 25 = 64 ni olamiz, ya'ni kvadratning tomoni A B C D, ya'ni segment AB= 8. Kerakli tomon uchun X biz olgan asl kvadrat
Xulosa
Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan to bitiruvgacha bilamiz. Ammo maktab matematika kursida kvadrat tenglamalar ildizlarining formulalari o'rganiladi, ular yordamida har qanday kvadrat tenglamalarni yechish mumkin. Biroq, bu masalani chuqurroq o'rganib chiqib, men ko'plab tenglamalarni juda tez va oqilona echishga imkon beradigan kvadrat tenglamalarni yechishning boshqa usullari mavjudligiga amin bo'ldim.
Balki matematika boshqa o'lchamlarda, ko'zga ko'rinmaydigan joydadir - hamma narsa yozib qo'yilgan va biz dunyolar bilan teshikdan barcha yangi faktlarni olamiz? ... Xudo biladi; Ammo ma'lum bo'lishicha, agar fiziklar, kimyogarlar, iqtisodchilar yoki arxeologlarga dunyo tuzilishining yangi modeli kerak bo'lsa, bu model har doim matematiklar uni uch yuz yil oldin qo'ygan rafdan olinishi yoki bir xilda yotgan qismlardan yig'ilishi mumkin. raf. Ehtimol, bu qismlarni burish, bir-biriga moslashtirish, sayqallash, bir nechta yangi teorema burmalarini tezda qayta ishlash kerak bo'ladi; ammo natija nazariyasi nafaqat yuzaga kelgan haqiqiy vaziyatni tasvirlabgina qolmay, balki oqibatlarini ham bashorat qiladi! ...
Ajablanarlisi shundaki, bu aql o'yini, u doimo to'g'ri ...
Adabiyot
1. Alimov SHA., Ilyin VA. va boshqalar Algebra, 6-8. O'rta maktabning 6-8-sinflari uchun sinov darsligi. - M., Ta'lim, 1981 yil.
2.O'rta maktab uchun Bradis matematik jadvallari. Ed. 57. - M., Ta'lim, 1990. S. 83.
3. Zlotskiy - matematika o'qitishdagi vazifalar. O'qituvchi uchun kitob. - M., Ta'lim, 1992 y.
4.M., Matematika ("Birinchi sentyabr" gazetasiga qo'shimcha), No 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.
5. Okunev funksiyalari, tenglamalari va tengsizliklari. O'qituvchi uchun qo'llanma. - M., Ta'lim, 1972 y.
6. Solomnik B. C., Matematikadan shirin savollar va masalalar. Ed. 4, qo'shing. - M., Oliy maktab, 1973 yil.
7.M., Matematika ("Birinchi sentyabr" gazetasiga ilova), 2000 yil 40-son.
Ko‘rib chiqish
MOUning 11-sinf o'quvchisi "Sergievskaya o'rta maktabi" ishi uchun
umumta'lim maktabi"
slayd 1
slayd 2
Darsning maqsadi: Kvadrat tenglamalarni yechishning yangi usullari bilan tanishish “Kvadrat tenglamalar” mavzusi bo‘yicha bilimlarni chuqurlashtirish Matematik, intellektual qobiliyatlarni, tadqiqotchilik ko‘nikmalarini rivojlantirish Shaxsning o‘zini o‘zi anglashi uchun sharoit yaratish.
slayd 3
Darsning maqsadi: Talabalarni kvadrat tenglamalarni yechishning yangi usullari bilan tanishtirish Ma’lum usullar yordamida tenglamalarni yechish qobiliyatini mustahkamlash Tenglamalarni nostandart usullarda yechish imkonini beruvchi teoremalarni kiritish Umumiy ta’lim malakalarini, matematik madaniyatini shakllantirishni davom ettirish. tadqiqot faoliyatiga qiziqish talabalarning matematika faniga qiziqishini ro'yobga chiqarish va rivojlantirish uchun sharoit yaratish Talabalarni profil yo'nalishini to'g'ri tanlashga tayyorlash
slayd 4
Dastur mazmuni Mavzu 1. Kirish. 1 soat. Kvadrat tenglamaning ta'rifi. To'liq va to'liq bo'lmagan kv. tenglamalar. Ularni hal qilish usullari. Savol berish. Mavzu 2. Kv. tenglamalar. Faktoring usuli To'liq kvadrat tanlash usuli Yechim kv. formulalar bo'yicha tenglamalar Yechim kvadrati. o'tkazish usuli bo'yicha tenglamalar Yechim kv. t Vieta Solution sq. yordamida tenglamalar. koeffitsient yordamida tenglamalar Yechim kv. Grafik usulda tenglamalar Yechim kv. sirkul va chizg'ich yordamida tenglamalar Yechim kv. geometrik usulda tenglamalar Yechim kv. "nomogrammalar" yordamida tenglamalar
slayd 5
Biroz tarix... Kvadrat tenglamalar algebraning muhtasham binosi tayanadigan poydevordir. Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglama va tengsizliklarni yechishda keng qo‘llaniladi. Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar. Hindistondagi kvadrat tenglamalar. Al-Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar. Evropada kvadrat tenglamalar XIII - XVII asrlar.
slayd 6
Slayd 7
Slayd 8
Slayd 9
slayd 10
Mashhur frantsuz olimi Fransua Vyet (1540-1603) kasbi huquqshunos edi. U bo'sh vaqtini astronomiyaga bag'ishladi. Astronomiya darslari trigonometriya va algebrani bilishni talab qildi. Vyet bu fanlarni o'zlashtirib oldi va tez orada ularni takomillashtirish zarur degan xulosaga keldi va bu borada bir necha yil ishladi. Uning ishi tufayli algebra harfiy hisob-kitoblarga asoslangan algebraik tenglamalar haqidagi umumiy fanga aylanadi. Shuning uchun tenglamalar xossalari va ularning ildizlarini umumiy formulalar bilan ifodalash imkoniyati paydo bo‘ldi.
slayd 11
Ishni bajarishda quyidagilarga e'tibor qaratildi: Men foydalanadigan usullar: Vyeta teoremasi Koeffitsientlarning xossalari "O'tkazish" usuli Chap tomonni omillarga bo'linishi Grafik usul Usullar qiziqarli, lekin ular juda ko'p vaqt va vaqt talab etadi. har doim ham qulay emas. Grafik usul Nomogramma yordamida Chizgichlar va sirkullar Toʻliq kvadratni tanlash “Kvadrat tenglamalarni yechish” mavzusini rivojlantirishga ushbu usullarni kashf etgan va fanga turtki bergan olimlarga taʼzim qilaman.
slayd 12
Tenglamaning chap tomonini koeffitsientlarga ajratish x2 + 10x - 24=0 tenglamani yechamiz. Chap tomonni faktoring: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 yoki x - 2=0 x= -12 x= 2 Javob: x1= -12, x2 = 2. Tenglamalarni yeching: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0
slayd 13
Toʻliq kvadrat tanlash usuli x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( tenglamani yeching. x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 yoki x-3=-4 x=1 x=-7 Javob: x1=1, x2=-7. Tenglamalarni yeching: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0
slayd 14
Kvadrat tenglamalarni formula bo'yicha yechish Asosiy formulalar: Agar b toq bo'lsa, D= b2-4ac va x 1,2=, (agar D> 0 bo'lsa) b juft bo'lsa, D1= va x1,2=, (agar D bo'lsa) >0) Tenglamalarni yeching: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =
slayd 15
Tenglamalarni uzatish usuli bilan yechish ax2 +bx+c=0 tenglamani yechamiz. Tenglamaning ikkala tomonini a ga ko'paytirsak, a2 x2 +abx+ac=0 ni olamiz. ax = y bo'lsin, bundan x = y/a. Keyin U2 +buy+ac=0. Uning ildizlari y1 va y2. Nihoyat x1 = y1/a, x1 = y2/a. 2x2 -11x + 15=0 tenglamani yechamiz. 2 koeffitsientini erkin hadga o'tkazamiz: Y2 -11y+30=0. Vyeta teoremasiga ko'ra, y1 =5 va y2 =6. x1 = 5/2 va x2 = 6/2 x1 = 2,5 va x2 = 3 Javob: x1 = 2,5, x2 = 3 Tenglamani yeching: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0
slayd 16
Tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish x2 +10x-24=0 tenglamani yechamiz. Chunki x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, keyin 24 \u003d 2 * 12, lekin -10 \u003d -12 + 2, keyin x1 \u003d -12 x2 \u003d 2 Javob: x1 \u003d , x2 \u003d -12. Tenglamalarni yeching: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0
slayd 17
Kvadrat tenglama koeffitsientlarining xossalari Agar a+b+c=0 bo'lsa, x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0 tenglamani yechamiz, shuning uchun x1 =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, demak x1= - 1, x2 = -1/2 Javob: x1=1, x2 = -7. Javob: x1=-1, x2=-1/2. Tenglamalarni yeching: 5x2 - 7x +2 =0 Tenglamalarni yeching: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2=0 3x2 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0
