Dvojité menšie znamenie. Pamätajte na znaky „väčšie ako“ a „menej ako“! Najjednoduchší spôsob

Spolu s aritmetickými operáciami existuje oboznámenie sa s takými abstraktnými pojmami ako „viac“, „menej“ a „rovnaké“. Pre dieťa nebude ťažké určiť, ktorá strana má viac predmetov a ktorá menej. Ale nastavenie značiek niekedy spôsobuje ťažkosti. Herné metódy vám pomôžu naučiť sa znamenia.

"Hungry Bird"

Na hranie budete potrebovať znak - otvorený zobák (znak „viac“). Môžete ho vystrihnúť z kartónu alebo vyrobiť veľký model z jednorazového taniera. Aby ste dieťa zaujali, môžete prilepiť alebo pridať oči, pierka a otvoriť ústa .

Vysvetlenie začína určitým pozadím: „Tento vták je malý a rád dobre žerie. Navyše si vždy vyberie tú kôpku, ktorá obsahuje najviac jedla.“

Potom sa jasne ukáže, že vták otvára zobák na stranu, kde je viac predmetov.

Ďalej sa získané informácie konsolidujú: na stôl sa položia hromady zŕn a dieťa určí, ktorým smerom vták otočí zobákom. . Ak ho nemôžete správne umiestniť na prvýkrát, musíte si pomôcť tým, že znova poviete, že ústa sú otvorené smerom k ďalšiemu jedlu. Potom môžete ponúknuť niekoľko ďalších podobných úloh: čísla sú napísané na papieri, musíte správne prilepiť zobák.

Príklady môžu byť spestrené nahradením vtáka šťukou, krokodílom alebo akýmkoľvek iným predátorom, ktorý tiež otvára ústa smerom k väčšiemu počtu.

Môžu nastať nezvyčajné situácie, kedy bude počet položiek v oboch kôpkach rovnaký. Ak si to dieťa všimne, znamená to, že je pozorné.

Za toto by ste mali rozhodne pochváliť , a potom ukážte 2 rovnaké pásy a vysvetlite, že sú rovnaké ako počet objektov v hromadách, a keďže počet objektov je rovnaký, potom sa znamienko nazýva „rovná sa“.

šípky

Znaky sa dajú malému školákovi vysvetliť porovnaním so šípkami, ktoré ukazujú rôznymi smermi.

Ťažkosti môžu nastať pri čítaní výrazov. Ale aj tento problém sa dá prekonať: správnym umiestnením značky bude vedieť správne prečítať výraz . Po vykonaní niekoľkých cvičení si vaše dieťa zapamätá, že šípka smerujúca doľava predstavuje znamienko menšie ako. Ak ukáže doprava, nápis znie: „viac“.

Konsolidačné cvičenia

Po vysvetlení pravidiel umiestňovania značky si musíte nacvičiť vykonávanie podobných úloh.

Na tento účel sú vhodné úlohy tohto typu:

1. "Daj znamenie" (4 a 5 – je potrebné znamienko menšie ako).
2. "Viacmenej" - dieťa ukazuje znaky palcom a ukazovákom oboch rúk, porovnáva veľkosti rôznych predmetov alebo ich množstvo (lietadlo je väčšie ako vážka, jahoda je menšia ako melón).
3. "Aké číslo" — existujú znaky, na jednej strane je napísané číslo, musíte uhádnuť, aké číslo bude na druhej strane (vo výraze „_<5» на месте пропуска могут стоять числа 0 – 4).
4. "Pridaj čísla" — musíte správne umiestniť čísla naľavo a napravo od označeného znaku (číslo 8 bude naľavo od znaku „väčšie ako“ a číslo 2 napravo).

Na rozvoj logiky a myslenia môžete cvičenia doplniť nasledujúcimi úlohami:

• "Ktorým smerom objekt utiekol?" — Vľavo sú nakreslené 3 trojuholníky, vpravo 2 štvorce a medzi nimi je znak „=“. Dieťa musí uhádnuť, že na pravej strane nie je dostatok štvorca, aby bola rovnosť pravdivá. Ak to nemôžete urobiť hneď, problém môžete vyriešiť prakticky tak, že najprv pridáte trojuholník doľava a potom štvorec doprava.
• "Čo je potrebné urobiť, aby sa nerovnosť napravila?" — s prihliadnutím na situáciu dieťa určí, na ktorej strane je potrebné odstrániť alebo pridať predmety, aby značka stála správne.

Video info lekcia vám povie o znameniach: väčšie ako, menšie ako a rovné

Abstraktná algebra používa symboly na zjednodušenie a skrátenie textu, ako aj štandardnú notáciu pre niektoré skupiny. Nižšie je uvedený zoznam najbežnejších algebraických zápisov, zodpovedajúcich príkazov v ... Wikipedia

Matematické zápisy sú symboly používané na kompaktné písanie matematických rovníc a vzorcov. Okrem čísel a písmen rôznych abecied (latinka, vrátane gotiky, gréčtiny a hebrejčiny), ... ... Wikipedia

Článok obsahuje zoznam bežne používaných skratiek matematických funkcií, operátorov a iných matematických výrazov. Obsah 1 Skratky 1.1 Latinčina 1.2 Grécka abeceda ... Wikipedia

Unicode alebo Unicode je štandard kódovania znakov, ktorý vám umožňuje reprezentovať znaky takmer všetkých písaných jazykov. Normu navrhla v roku 1991 nezisková organizácia Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Zoznam konkrétnych symbolov používaných v matematike si môžete pozrieť v článku Tabuľka matematických symbolov Matematická notácia („jazyk matematiky“) je zložitý grafický systém notácie používaný na prezentáciu abstraktov ... ... Wikipedia

Tento výraz má iné významy, pozri Plus mínus (významy). ± ∓ Znamienko plus mínus (±) je matematický symbol, ktorý je umiestnený pred nejakým výrazom a znamená, že hodnota tohto výrazu môže byť buď kladná alebo ... Wikipedia

Je potrebné skontrolovať kvalitu prekladu a uviesť článok do súladu so štylistickými pravidlami Wikipédie. Môžete pomôcť... Wikipedia

Alebo matematické symboly sú znaky, ktoré svojimi argumentmi symbolizujú určité matematické operácie. Medzi najbežnejšie patria: Plus: + Mínus: , − Znak násobenia: ×, ∙ Znak delenia: :, ∕, ÷ Znamienko zvýšiť na... ... Wikipedia

Znaky operácií alebo matematické symboly sú znaky, ktoré symbolizujú určité matematické operácie s ich argumentmi. Najbežnejšie sú: Plus: + Mínus: , − Znak násobenia: ×, ∙ Znak delenia: :, ∕, ÷ Konštrukčné znamienko... ... Wikipedia

Rozvoj matematickej symboliky úzko súvisel so všeobecným vývojom pojmov a metód matematiky. najprv Matematické znaky boli tam znaky znázorňujúce čísla - čísla, ktorej vznik zrejme predchádzal písaniu. Najstaršie systémy číslovania - babylonský a egyptský - sa objavili už v 3 1/2 tisícročí pred Kristom. e.

najprv Matematické znaky pretože ľubovoľné množstvá sa objavili oveľa neskôr (od 5. do 4. storočia pred Kristom) v Grécku. Veličiny (plochy, objemy, uhly) boli znázornené vo forme segmentov a súčin dvoch ľubovoľných homogénnych veličín bol znázornený vo forme obdĺžnika postaveného na zodpovedajúcich segmentoch. V časti "Princípy" Euklides (3. storočie pred n. l.) veličiny sa označujú dvoma písmenami – začiatočnými a koncovými písmenami príslušného segmentu a niekedy len jedným. U Archimedes (3. storočie pred Kristom) sa posledný spôsob stáva bežným. Takéto označenie obsahovalo možnosti rozvoja počtu písmen. V klasickej antickej matematike sa však počet písmen nevytvoril.

Počiatky reprezentácie písmen a kalkulu sa objavili v neskorej helenistickej ére ako výsledok oslobodenia algebry od geometrickej formy. Diophantus (pravdepodobne 3. storočie) zaznamenané neznáme ( X) a jeho stupeň s nasledujúcimi znakmi:

[ - z gréckeho termínu dunamiV (dynamis - sila), označujúci druhú mocninu neznámeho, - z gréckeho cuboV (k_ybos) - kocka]. Napravo od neznámeho alebo jeho síl Diophantus napísal koeficienty, napríklad bolo znázornené 3 x 5

(kde = 3). Pri sčítaní si Diophantus pripisoval pojmy navzájom a na odčítanie používal špeciálne znamienko; Diophantus označoval rovnosť písmenom i [z gréckeho isoV (isos) - rovný]. Napríklad rovnica

(X 3 + 8X) - (5X 2 + 1) =X

Diophantus by to napísal takto:

(Tu

znamená, že jednotka nemá násobiteľa vo forme mocniny neznáma).

O niekoľko storočí neskôr Indiáni zaviedli rôzne Matematické znaky pre viacero neznámych (skratky pre názvy farieb označujúce neznáme), druhá mocnina, druhá odmocnina, subtrahend. Takže rovnica

3X 2 + 10X - 8 = X 2 + 1

V nahrávaní Brahmagupta (7. storočie) bude vyzerať takto:

Áno 3 až 10 ru 8

Ja va 1 ya 0 ru 1

(ya - od yawat - tawat - neznámy, va - od varga - štvorcové číslo, ru - od rupa - rupia minca - voľný termín, bodka nad číslom znamená odčítané číslo).

Vznik modernej algebraickej symboliky sa datuje do 14. – 17. storočia; bolo určené úspechmi praktickej aritmetiky a štúdia rovníc. V rôznych krajinách sa objavujú spontánne Matematické znaky pre niektoré akcie a pre mocnosti neznámej veľkosti. Prejde mnoho desaťročí a dokonca storočí, kým sa vyvinie ten či onen vhodný symbol. Takže na konci 15. a. N. Shuke a L. Pacioli použité znamienka sčítania a odčítania

(z latinčiny plus a mínus), nemeckí matematici zaviedli moderné + (pravdepodobne skratka latinského et) a -. Späť v 17. storočí. môžete napočítať asi tucet Matematické znaky pre akciu násobenia.

Boli aj rôzne Matematické znaky neznáma a jej stupne. V 16. – začiatkom 17. stor. len o druhú mocninu neznáma súťažilo viac ako desať notácií, napr. se(zo sčítania ľudu - latinský výraz, ktorý slúžil ako preklad gréckeho dunamiV, Q(z kvadratu), , A (2), , Aii, aa, a 2 atď. Teda rovnica

x 3 + 5 X = 12

taliansky matematik G. Cardano (1545) by mal tvar:

od nemeckého matematika M. Stiefela (1544):

od talianskeho matematika R. Bombelliho (1572):

Francúzsky matematik F. Vieta (1591):

od anglického matematika T. Harriota (1631):

V 16. a začiatkom 17. stor. používajú sa znamienka rovnosti a zátvorky: štvorec (R. Bombelli , 1550), okrúhle (N. Tartaglia, 1556), figuroval (F. Viet, 1593). V 16. storočí moderný vzhľad akceptuje zápis zlomkov.

Významným krokom vpred vo vývoji matematickej symboliky bolo zavedenie Vieta (1591) Matematické znaky pre ľubovoľné konštantné veličiny v podobe veľkých spoluhláskových písmen latinskej abecedy B, D, čo mu dalo prvýkrát možnosť zapisovať algebraické rovnice s ľubovoľnými koeficientmi a operovať s nimi. Viet zobrazoval neznámych so samohláskami veľkými písmenami A, E,... Napríklad Vietova nahrávka

V našich symboloch to vyzerá takto:

x 3 + 3bx = d.

Viet bol tvorcom algebraických vzorcov. R. Descartes (1637) dal znakom algebry moderný vzhľad, pričom neznáme označoval poslednými písmenami lat. abeceda x, y, z, a ľubovoľné hodnoty údajov - s počiatočnými písmenami a, b, c. Aktuálny rekord stupňa patrí jemu. Descartove zápisy mali oproti všetkým predchádzajúcim veľkú výhodu. Preto sa im čoskoro dostalo všeobecného uznania.

Ďalší vývoj Matematické znakyúzko súvisel s vytvorením infinitezimálnej analýzy, pre rozvoj symboliky ktorej základ bol z veľkej časti pripravený už v algebre.

Dátumy vzniku niektorých matematických symbolov

a pre nekonečne malý prírastok o. O niečo skôr J. Wallis (1655) navrhol znak nekonečna ¥.

Tvorcom modernej symboliky diferenciálneho a integrálneho počtu je G. Leibniz. Predovšetkým vlastní v súčasnosti využívané Matematické znaky diferenciály

dx, d 2 x, d 3 X

a integrálnou

Obrovská zásluha na vytvorení symboliky modernej matematiky patrí L. Euler. Zaviedol (1734) do všeobecného používania prvý znak premennej operácie, a to znak funkcie f(X) (z latinského functio). Po Eulerovej práci sa znamienka pre mnohé jednotlivé funkcie, ako napríklad goniometrické funkcie, stali štandardom. Euler je autorom notácie pre konštanty e(základ prirodzených logaritmov, 1736), p [pravdepodobne z gréckeho perijereia (periphereia) - kruh, periféria, 1736], imaginárna jednotka

(z francúzskeho imaginaire – imaginárny, 1777, vyd. 1794).

V 19. storočí zvyšuje sa úloha symboliky. V tomto čase sa objavia znaky absolútnej hodnoty |x|. (TO. Weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), determinant

(A. Cayley, 1841) atď. Mnohé teórie, ktoré vznikli v 19. storočí, napríklad tenzorový počet, sa nedali rozvinúť bez vhodnej symboliky.

Spolu so špecifikovaným procesom štandardizácie Matematické znaky v modernej literatúre možno často nájsť Matematické znaky, ktorú jednotliví autori použili len v rámci tejto štúdie.

Z hľadiska matematickej logiky medzi Matematické znaky Možno načrtnúť tieto hlavné skupiny: A) znaky predmetov, B) znaky operácií, C) znaky vzťahov. Napríklad znaky 1, 2, 3, 4 predstavujú čísla, to znamená objekty skúmané aritmetikou. Znamienko sčítania + samo o sebe nepredstavuje žiadny objekt; predmetový obsah dostáva vtedy, keď je uvedené, ktoré čísla sa sčítavajú: zápis 1 + 3 predstavuje číslo 4. Znamienko > (väčšie ako) je znakom vzťahu medzi číslami. Znak vzťahu dostáva úplne určitý obsah, keď je uvedené, medzi ktorými objektmi sa vzťah uvažuje. Do uvedených troch hlavných skupín Matematické znaky susediace so štvrtým: D) pomocné znaky, ktoré ustanovujú poradie kombinácie hlavných znakov. Dostatočnú predstavu o takýchto znakoch poskytujú zátvorky označujúce poradie akcií.

Znaky každej z troch skupín A), B) a C) sú dvojakého druhu: 1) jednotlivé znaky dobre definovaných objektov, operácií a vzťahov, 2) všeobecné znaky „nepremenných“ alebo „neznámych“ objektov, operácií. a vzťahy.

Príklady znakov prvého druhu môžu slúžiť (pozri tiež tabuľku):

A 1) Označenie prirodzené čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transcendentálne čísla e a p; pomyselná jednotka i.

B 1) Značky aritmetických operácií +, -, ·, ´,:; extrakcia koreňov, diferenciácia

znaky súčtu (zjednotenia) È a súčinu (priesečníka) Ç množín; patria sem aj znaky jednotlivých funkcií sin, tg, log atď.

1) Značky rovnosti a nerovnosti =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Znaky druhého druhu zobrazujú ľubovoľné objekty, operácie a vzťahy určitej triedy alebo objekty, operácie a vzťahy, ktoré podliehajú určitým vopred dohodnutým podmienkam. Napríklad pri písaní identity ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 písmená A A b predstavujú ľubovoľné čísla; pri štúdiu funkčnej závislosti pri = X 2 písmená X A y -ľubovoľné čísla spojené daným vzťahom; pri riešení rovnice

X označuje akékoľvek číslo, ktoré spĺňa túto rovnicu (ako výsledok riešenia tejto rovnice sa dozvieme, že tejto podmienke zodpovedajú iba dve možné hodnoty +1 a -1).

Z logického hľadiska je legitímne nazývať takéto všeobecné znaky znakmi premenných, ako je to obvyklé v matematickej logike, bez obáv z toho, že „doména zmeny“ premennej môže pozostávať z jednej jedinej objekt alebo dokonca „prázdny“ (napríklad v prípade rovníc bez riešenia). Ďalšie príklady tohto typu znakov môžu byť:

A 2) Označenie bodov, čiar, rovín a zložitejších geometrických útvarov s písmenami v geometrii.

B 2) Označenia f, , j pre funkcie a zápis počtu operátorov, keď s jedným písmenom L predstavujú napríklad ľubovoľný operátor formulára:

Zápisy pre „premenné vzťahy“ sú menej bežné, používajú sa iba v matematickej logike (pozri. Algebra logiky ) a v relatívne abstraktných, väčšinou axiomatických, matematických štúdiách.

Lit.: Cajori., História matematických zápisov, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Článok o slove " Matematické znaky“ vo Veľkej sovietskej encyklopédii bolo prečítané 39931-krát

Nekonečno.J. Wallis (1655).

Prvýkrát sa nachádza v pojednaní anglického matematika Johna Valisa „O kužeľosečkách“.

Základ prirodzených logaritmov. L. Euler (1736).

Matematická konštanta, transcendentálne číslo. Toto číslo sa niekedy nazýva neoperené na počesť Škótov vedec Napier, autor diela „Popis úžasnej tabuľky logaritmov“ (1614). Konštanta sa prvýkrát objavuje mlčky v prílohe k anglickému prekladu vyššie uvedeného Napierovho diela, publikovaného v roku 1618. Samotnú konštantu ako prvý vypočítal švajčiarsky matematik Jacob Bernoulli pri riešení problému limitnej hodnoty úrokového príjmu.

2,71828182845904523...

Prvé známe použitie tejto konštanty, kde bola označená písmenom b, nájdený v Leibnizových listoch Huygensovi, 1690-1691. List e Euler ho začal používať v roku 1727 a prvou publikáciou s týmto listom bola jeho práca „Mechanika alebo veda pohybu, vysvetlená analyticky“ v roku 1736. resp. e zvyčajne nazývaný Eulerovo číslo. Prečo bol vybraný list? e, presne neznámy. Možno je to spôsobené tým, že slovo sa ním začína exponenciálny(„indikatívny“, „exponenciálny“). Ďalším predpokladom je, že písm a, b, c A d sa už pomerne široko používajú na iné účely a e bol prvý „voľný“ list.

Pomer obvodu k priemeru. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematická konštanta, iracionálne číslo. Číslo "pi", staré meno je Ludolphovo číslo. Ako každé iracionálne číslo, π je reprezentované ako nekonečný neperiodický desatinný zlomok:

π = 3,141592653589793...

Prvýkrát označenie tohto čísla gréckym písmenom π použil britský matematik William Jones v knihe „Nový úvod do matematiky“ a stalo sa všeobecne akceptovaným po práci Leonharda Eulera. Toto označenie pochádza zo začiatočného písmena gréckych slov περιφερεια - kruh, obvod a περιμετρος - obvod. Johann Heinrich Lambert dokázal iracionalitu π v roku 1761 a Adrienne Marie Legendre dokázala iracionalitu π 2 v roku 1774. Legendre a Euler predpokladali, že π môže byť transcendentálne, t.j. nemôže splniť žiadnu algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi, čo nakoniec dokázal v roku 1882 Ferdinand von Lindemann.

Imaginárna jednotka. L. Euler (1777, tlačou - 1794).

Je známe, že rovnica x 2 = 1 má dva korene: 1 A -1 . Imaginárna jednotka je jedným z dvoch koreňov rovnice x 2 = -1, označené latinským písmenom i, ďalší koreň: -i. Toto označenie navrhol Leonhard Euler, ktorý na tento účel prevzal prvé písmeno latinského slova imaginár(imaginárne). Všetky štandardné funkcie rozšíril aj na komplexnú doménu, t.j. množina čísel reprezentovateľných ako a+ib, Kde a A b- reálne čísla. Termín „komplexné číslo“ zaviedol do rozšíreného používania nemecký matematik Carl Gauss v roku 1831, hoci tento termín už predtým v rovnakom zmysle používal francúzsky matematik Lazare Carnot v roku 1803.

Jednotkové vektory. W. Hamilton (1853).

Jednotkové vektory sú často spojené so súradnicovými osami súradnicového systému (najmä s osami karteziánskeho súradnicového systému). Jednotkový vektor nasmerovaný pozdĺž osi X, označené i, jednotkový vektor nasmerovaný pozdĺž osi Y, označené j a jednotkový vektor nasmerovaný pozdĺž osi Z, označené k. vektory i, j, k sa nazývajú jednotkové vektory, majú jednotkové moduly. Termín „ort“ zaviedol anglický matematik a inžinier Oliver Heaviside (1892) a zápis i, j, k- írsky matematik William Hamilton.

Celá časť čísla, antie. K.Gauss (1808).

Celočíselná časť čísla [x] čísla x je najväčšie celé číslo nepresahujúce x. Takže, =5, [-3,6] = -4. Funkcia [x] sa tiež nazýva "antier of x". Funkčný symbol celej časti zaviedol Carl Gauss v roku 1808. Niektorí matematici radšej používajú označenie E(x), ktoré v roku 1798 navrhol Legendre.

Uhol paralelizmu. N.I. Lobačevskij (1835).

Na rovine Lobachevsky - uhol medzi priamkoub, prechádzajúci bodomOrovnobežne s čiaroua, ktorá neobsahuje bodO, a kolmo odO na a. α - dĺžka tejto kolmice. Ako sa bod vzďaľujeO z priamky auhol rovnobežnosti klesá z 90° na 0°. Lobačevskij dal vzorec pre uhol rovnobežnostiP( α )=2arctg e - α /q , Kde q— nejaká konštanta spojená so zakrivením Lobačevského priestoru.

Neznáme alebo premenlivé množstvá. R. Descartes (1637).

V matematike je premenná veličina charakterizovaná súborom hodnôt, ktoré môže nadobudnúť. To môže znamenať tak skutočnú fyzikálnu veličinu, ktorá sa dočasne považuje za izolovanú od jej fyzického kontextu, ako aj nejakú abstraktnú veličinu, ktorá nemá v reálnom svete analógy. Koncept premennej vznikol v 17. storočí. spočiatku pod vplyvom požiadaviek prírodných vied, ktoré vyniesli do popredia štúdium pohybu, procesov a nielen stavov. Tento koncept si vyžadoval nové formy svojho vyjadrenia. Takýmito novými formami boli písmenová algebra a analytická geometria Reného Descarta. Po prvýkrát zaviedol pravouhlý súradnicový systém a označenie x, y René Descartes vo svojom diele „Discourse on Method“ v roku 1637. Pierre Fermat tiež prispel k rozvoju súradnicovej metódy, ale jeho práce boli prvýkrát publikované až po jeho smrti. Descartes a Fermat použili súradnicovú metódu iba v rovine. Súradnicovú metódu pre trojrozmerný priestor prvýkrát použil Leonhard Euler už v 18. storočí.

Vektor. O. Cauchy (1853).

Vektor sa od začiatku chápe ako objekt, ktorý má veľkosť, smer a (voliteľne) bod aplikácie. Počiatky vektorového počtu sa objavili spolu s geometrickým modelom komplexných čísel v Gaussovi (1831). Hamilton publikoval rozvinuté operácie s vektormi ako súčasť svojho kvaterniónového počtu (vektor bol tvorený imaginárnymi komponentmi kvaterniónu). Hamilton navrhol termín vektor(z latinského slova vektor, dopravca) a opísali niektoré operácie vektorovej analýzy. Maxwell použil tento formalizmus vo svojich prácach o elektromagnetizme, čím upriamil pozornosť vedcov na nový počet. Čoskoro vyšli Gibbsove prvky vektorovej analýzy (1880) a potom Heaviside (1903) dal vektorovej analýze moderný vzhľad. Samotný vektorový znak zaviedol do používania francúzsky matematik Augustin Louis Cauchy v roku 1853.

Sčítanie, odčítanie. J. Widman (1489).

Znamienka plus a mínus boli zjavne vynájdené v nemeckej matematickej škole „Kossistov“ (t. j. algebraistov). Používajú sa v učebnici Jana (Johannesa) Widmanna Rýchly a príjemný účet pre všetkých obchodníkov, vydanej v roku 1489. Predtým sa sčítanie označovalo písmenom p(z latinčiny plus„viac“) alebo latinské slovo et(spojka „a“) ​​a odčítanie - písmeno m(z latinčiny mínus"menej, menej") Pre Widmanna symbol plus nahrádza nielen sčítanie, ale aj spojenie „a“. Pôvod týchto symbolov je nejasný, ale s najväčšou pravdepodobnosťou sa predtým používali v obchodovaní ako ukazovatele zisku a straty. Oba symboly sa čoskoro stali bežnými v Európe – s výnimkou Talianska, ktoré ešte asi storočie používalo staré označenia.

Násobenie. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Násobiaci znak v podobe šikmého kríža zaviedol v roku 1631 Angličan William Oughtred. Pred ním sa najčastejšie používal list M, hoci boli navrhnuté aj iné označenia: symbol obdĺžnika (francúzsky matematik Erigon, 1634), hviezdička (švajčiarsky matematik Johann Rahn, 1659). Neskôr Gottfried Wilhelm Leibniz nahradil krížik bodkou (koniec 17. storočia), aby si ho nepomýlil s písm. X; pred ním sa takáto symbolika nachádzala u nemeckého astronóma a matematika Regiomontana (15. storočie) a anglického vedca Thomasa Herriota (1560 -1621).

divízie. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Oughtred použil lomítko / ako znak delenia. Gottfried Leibniz začal označovať rozdelenie dvojbodkou. Pred nimi sa často používal aj list D. Počnúc Fibonaccim sa používa aj vodorovná čiara zlomku, ktorú používal Heron, Diophantus a v arabských dielach. V Anglicku a USA sa rozšíril symbol ÷ (obelus), ktorý navrhol Johann Rahn (pravdepodobne za účasti Johna Pella) v roku 1659. Pokus Amerického národného výboru pre matematické štandardy ( Národný výbor pre matematické požiadavky) odstrániť obelus z praxe (1923) bol neúspešný.

Percento. M. de la Porte (1685).

Stotina celku, braná ako jednotka. Samotné slovo „percento“ pochádza z latinského „pro centum“, čo znamená „na sto“. V roku 1685 vyšla v Paríži kniha „Manuál obchodnej aritmetiky“ od Mathieu de la Porte. Na jednom mieste hovorili o percentách, ktoré boli potom označené ako „cto“ (skratka pre cento). Sadzač si však toto „cto“ pomýlil so zlomkom a vytlačil „%“. Takže kvôli preklepu sa začalo používať toto označenie.

Stupne. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Moderné označenie exponentu zaviedol René Descartes vo svojom „ Geometria„(1637), avšak len pre prirodzené mocniny s exponentmi väčšími ako 2. Neskôr Isaac Newton rozšíril túto formu zápisu na záporné a zlomkové exponenty (1676), ktorých výklad už vtedy navrhol: flámsky matematik a inžinier Simon Stevin, anglický matematik John Wallis a francúzsky matematik Albert Girard.

Aritmetický koreň n-tá mocnina reálneho čísla A≥0, - nezáporné číslo n-tý stupeň, ktorý sa rovná A. Aritmetická odmocnina 2. stupňa sa nazýva druhá odmocnina a možno ju zapísať bez uvedenia stupňa: √. Aritmetický koreň 3. stupňa sa nazýva kocka. Stredovekí matematici (napríklad Cardano) označovali druhú odmocninu symbolom R x (z lat. Radix, koreň). Modernú notáciu prvýkrát použil nemecký matematik Christoph Rudolf z Cossistovej školy v roku 1525. Tento symbol pochádza zo štylizovaného prvého písmena toho istého slova radix. Nad radikálnym výrazom spočiatku nebola čiara; neskôr ho zaviedol Descartes (1637) s iným účelom (namiesto zátvoriek) a tento znak sa čoskoro spojil s koreňovým znakom. V 16. storočí sa koreň kocky označoval takto: R x .u.cu (z lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) začal používať známu notáciu pre koreň ľubovoľného stupňa. Tento formát vznikol vďaka Isaacovi Newtonovi a Gottfriedovi Leibnizovi.

Logaritmus, desiatkový logaritmus, prirodzený logaritmus. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Termín „logaritmus“ patrí škótskemu matematikovi Johnovi Napierovi ( "Popis úžasnej tabuľky logaritmov", 1614); vzniklo spojením gréckych slov λογος (slovo, vzťah) a αριθμος (číslo). Logaritmus J. Napiera je pomocné číslo na meranie pomeru dvoch čísel. Modernú definíciu logaritmu prvýkrát uviedol anglický matematik William Gardiner (1742). Podľa definície logaritmus čísla b založené na a (a ≠ 1, a > 0) - exponent m, na ktorý by sa mal počet zvýšiť a(nazývaný logaritmická základňa) dostať b. Určené log a b. takže, m = log a b, Ak a m = b.

Prvé tabuľky desiatkových logaritmov publikoval v roku 1617 Oxfordský profesor matematiky Henry Briggs. Preto sa v zahraničí desiatkové logaritmy často nazývajú Briggsove logaritmy. Termín „prirodzený logaritmus“ zaviedli Pietro Mengoli (1659) a Nicholas Mercator (1668), hoci londýnsky učiteľ matematiky John Spidell zostavil tabuľku prirodzených logaritmov už v roku 1619.

Predtým koniec XIX storočí neexistovala všeobecne akceptovaná notácia pre logaritmus, základ a uvedené vľavo a nad symbolom log, potom nad ním. Nakoniec matematici dospeli k záveru, že najvhodnejšie miesto pre základňu je pod čiarou, za symbolom log. Znak logaritmu - výsledok skratky slova "logaritmus" - sa nachádza v rôzne druhy takmer súčasne s objavením sa prvých tabuliek logaritmov, napr Log- od I. Keplera (1624) a G. Briggsa (1631), log- od B. Cavalieriho (1632). Označenie ln pretože prirodzený logaritmus zaviedol nemecký matematik Alfred Pringsheim (1893).

Sínus, kosínus, tangens, kotangens. W. Outred (polovica 17. storočia), I. Bernoulli (18. storočie), L. Euler (1748, 1753).

Skratky pre sínus a kosínus zaviedol William Oughtred v polovici 17. storočia. Skratky pre tangens a kotangens: tg, ctg zaviedol Johann Bernoulli v 18. storočí sa rozšírili v Nemecku a Rusku. V iných krajinách sa používajú názvy týchto funkcií opálenie, postieľka navrhol Albert Girard ešte skôr, na začiatku 17. storočia. Leonhard Euler (1748, 1753) priniesol teóriu goniometrických funkcií do modernej podoby a práve jemu vďačíme za upevnenie skutočnej symboliky.Termín „trigonometrické funkcie“ zaviedol nemecký matematik a fyzik Georg Simon Klügel v roku 1770.

Indickí matematici pôvodne nazývali sínusovú čiaru "arha-jiva"(„polstruna“, čiže polovica akordu), potom slovo "archa" bol vyradený a sínusová čiara sa začala nazývať jednoducho "jiva". Arabskí prekladatelia toto slovo nepreložili "jiva" Arabské slovo "vatar", označujúce strunu a akord, a prepísané arabskými písmenami a začali volať sínusovú čiaru "džiba". Keďže v arabčine nie sú označené krátke samohlásky, ale dlhé „i“ v slove "džiba" označované rovnakým spôsobom ako polosamohláska „th“, Arabi začali vyslovovať názov sínusovej čiary "drbať", čo doslovne znamená „dutý“, „sínus“. Pri preklade arabských diel do latinčiny európski prekladatelia toto slovo preložili "drbať" Latinské slovo sínus, majúci rovnaký význam.Výraz „tangens“ (z lat.dotyčnice- dotykový) predstavil dánsky matematik Thomas Fincke vo svojej knihe Geometria kola (1583).

Arcsine. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Inverzné goniometrické funkcie sú matematické funkcie, ktoré sú inverzné k goniometrickým funkciám. Názov inverznej goniometrickej funkcie je vytvorený z názvu zodpovedajúcej goniometrickej funkcie pridaním predpony „oblúk“ (z lat. oblúk- oblúk).Inverzné goniometrické funkcie zvyčajne zahŕňajú šesť funkcií: arksínus (arcsin), arkozínus (arccos), arkustangens (arctg), arkkotangens (arcctg), arcsekant (arcsec) a arkosekans (arccosec). Špeciálne symboly pre inverzné goniometrické funkcie prvýkrát použil Daniel Bernoulli (1729, 1736).Spôsob označovania inverzných goniometrických funkcií pomocou predpony oblúk(z lat. arcus, oblúk) sa objavil u rakúskeho matematika Karla Scherfera a bol konsolidovaný vďaka francúzskemu matematikovi, astronómovi a mechanikovi Josephovi Louisovi Lagrangeovi. Bolo to myslené tak, že napríklad obyčajný sínus umožňuje nájsť akord, ktorý ho vedie pozdĺž oblúka kruhu, a inverzná funkcia rieši opačný problém. Do konca 19. storočia anglické a nemecké matematické školy navrhovali iné označenia: hriech -1 a 1/sin, ale nie sú široko používané.

Hyperbolický sínus, hyperbolický kosínus. V. Riccati (1757).

Historici objavili prvý výskyt hyperbolických funkcií v prácach anglického matematika Abrahama de Moivre (1707, 1722). Modernú definíciu a ich podrobnú štúdiu vykonal Talian Vincenzo Riccati v roku 1757 vo svojom diele „Opusculorum“, navrhol aj ich označenia: sh,ch. Riccati začal zvažovaním jednotkovej hyperboly. Nezávislý objav a ďalšie štúdium vlastností hyperbolických funkcií uskutočnil nemecký matematik, fyzik a filozof Johann Lambert (1768), ktorý stanovil široký paralelizmus vzorcov obyčajnej a hyperbolickej trigonometrie. N.I. Lobačevskij následne použil tento paralelizmus v snahe dokázať konzistentnosť neeuklidovskej geometrie, v ktorej je obyčajná trigonometria nahradená hyperbolickou.

Tak ako sú trigonometrický sínus a kosínus súradnicami bodu na kružnici súradníc, hyperbolický sínus a kosínus sú súradnicami bodu na hyperbole. Hyperbolické funkcie sú vyjadrené v termínoch exponenciály a úzko súvisia s goniometrickými funkciami: sh(x) = 0,5 (e x -e -x) , ch(x)=0,5(ex+e-x). Analogicky s goniometrickými funkciami sú hyperbolický tangens a kotangens definované ako pomery hyperbolického sínusu a kosínusu, kosínusu a sínusu.

Diferenciál. G. Leibniz (1675, vyd. 1684).

Hlavná, lineárna časť prírastku funkcie.Ak funkcia y=f(x) jedna premenná x má pri x = x 0derivácia a prírastokΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funkcie f(x) môžu byť zastúpené vo formeΔy=f"(x0)Ax+R(Ax) , kde je člen R nekonečne malé v porovnaní sΔx. Prvý člendy=f"(x0)Axv tejto expanzii a nazýva sa diferenciál funkcie f(x) v bodex 0. IN diela Gottfrieda Leibniza, Jacoba a Johanna Bernoulliho slovo"rozdiel"sa používal vo význame „prírastok“, označoval ho I. Bernoulli cez Δ. G. Leibniz (1675, publikovaný 1684) použil označenie pre „nekonečne malý rozdiel“d- prvé písmeno slova"diferenciálny", ním tvorený z"rozdiel".

Neurčitý integrál. G. Leibniz (1675, vyd. 1686).

Slovo „integrálny“ prvýkrát použil v tlači Jacob Bernoulli (1690). Možno je tento výraz odvodený z lat celé číslo- celý. Podľa iného predpokladu bolo základom latinské slovo integro- uviesť do predchádzajúceho stavu, obnoviť. Znak ∫ sa používa na označenie integrálu v matematike a je štylizovaným zobrazením prvého písmena latinského slova. suma - súčet. Prvýkrát ho použil nemecký matematik a zakladateľ diferenciálneho a integrálneho počtu Gottfried Leibniz na konci 17. storočia. Ďalší zo zakladateľov diferenciálneho a integrálneho počtu Isaac Newton vo svojich prácach nenavrhol alternatívnu symboliku integrálu, hoci skúšal rôzne možnosti: zvislú čiaru nad funkciou alebo štvorcový symbol, ktorý stojí pred funkciou resp. to ohraničuje. Neurčitý integrál pre funkciu y=f(x) je množina všetkých primitívnych prvkov danej funkcie.

Určitý integrál. J. Fourier (1819-1822).

Určitý integrál funkcie f(x) s dolnou hranicou a a horná hranica b možno definovať ako rozdiel F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Kde F(x)- nejaký primitívny prvok funkcie f(x) . Určitý integrál a ∫ b f(x)dx číselne sa rovná ploche obrázku ohraničenej osou x a priamkami x=a A x=b a graf funkcie f(x). Návrh určitého integrálu vo forme, ktorú poznáme, navrhol francúzsky matematik a fyzik Jean Baptiste Joseph Fourier v r. začiatkom XIX storočí.

Derivát. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivácia je základný pojem diferenciálneho počtu, charakterizujúci rýchlosť zmeny funkcie f(x) keď sa argument zmení X . Je definovaná ako hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku jej argumentu, pretože prírastok argumentu má tendenciu k nule, ak takáto hranica existuje. Funkcia, ktorá má v určitom bode konečnú deriváciu, sa v tomto bode nazýva diferencovateľná. Proces výpočtu derivácie sa nazýva diferenciácia. Opačným procesom je integrácia. V klasickom diferenciálnom počte je derivácia najčastejšie definovaná prostredníctvom konceptov teórie limitov, ale historicky sa teória limitov objavila neskôr ako diferenciálny počet.

Termín „derivát“ zaviedol Joseph Louis Lagrange v roku 1797, používa ho aj označenie derivátu pomocou mŕtvice (1770, 1779), resp. dy/dx- Gottfried Leibniz v roku 1675. Spôsob označovania časovej derivácie bodkou nad písmenom pochádza od Newtona (1691).Ruský výraz „derivát funkcie“ prvýkrát použil ruský matematikVasilij Ivanovič Viskovatov (1779-1812).

Čiastočná derivácia. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Pre funkcie mnohých premenných sú definované parciálne derivácie - derivácie vzhľadom na jeden z argumentov, vypočítané za predpokladu, že zostávajúce argumenty sú konštantné. Označenia ∂f/ ∂ X, ∂ z/ ∂ r predstavil francúzsky matematik Adrien Marie Legendre v roku 1786; fX",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ X ∂ r- parciálne deriváty druhého rádu - nemecký matematik Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Rozdiel, prírastok. I. Bernoulli (koniec 17. storočia - prvá polovica 18. storočia), L. Euler (1755).

Označenie prírastku písmenom Δ prvýkrát použil švajčiarsky matematik Johann Bernoulli. IN všeobecná prax Použitie symbolu delty sa začalo používať po práci Leonharda Eulera v roku 1755.

Sum. L. Euler (1755).

Súčet je výsledkom sčítania veličín (čísel, funkcií, vektorov, matíc atď.). Na označenie súčtu n čísel a 1, a 2, ..., a n sa používa grécke písmeno „sigma“ Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i. Znak Σ pre sumu zaviedol Leonhard Euler v roku 1755.

Práca. K.Gauss (1812).

Produkt je výsledkom násobenia. Na označenie súčinu n čísel a 1, a 2, ..., a n sa používa grécke písmeno pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Napríklad 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 501 (2i-1). Znak Π pre produkt zaviedol nemecký matematik Carl Gauss v roku 1812. V ruskej matematickej literatúre sa s pojmom „produkt“ prvýkrát stretol Leonty Filippovič Magnitsky v roku 1703.

Faktorový. K. Crump (1808).

Faktoriál čísla n (označuje sa n!, vyslovuje sa ako "en faktoriál") je súčinom všetkých prirodzených čísel do n vrátane: n! = 1·2·3·...·n. Napríklad 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Podľa definície sa predpokladá 0! = 1. Faktoriál je definovaný len pre nezáporné celé čísla. Faktoriál n sa rovná počtu permutácií n prvkov. Napríklad 3! = 6, naozaj,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Všetkých šesť a iba šesť permutácií troch prvkov.

Pojem „faktoriálny“ zaviedol francúzsky matematik a politik Louis Francois Antoine Arbogast (1800), označenie n! - francúzsky matematik Christian Crump (1808).

Modul, absolútna hodnota. K. Weierstrass (1841).

Absolútna hodnota reálneho čísla x je nezáporné číslo definované takto: |x| = x pre x ≥ 0 a |x| = -x pre x ≤ 0. Napríklad |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul komplexného čísla z = a + ib je reálne číslo rovné √(a 2 + b 2).

Predpokladá sa, že termín „modul“ navrhol anglický matematik a filozof, Newtonov študent Roger Cotes. Gottfried Leibniz tiež použil túto funkciu, ktorú nazval „modul“ a označil ju: mol x. Všeobecne akceptovaný zápis absolútnej veličiny zaviedol v roku 1841 nemecký matematik Karl Weierstrass. Pre komplexné čísla zaviedli tento pojem začiatkom 19. storočia francúzski matematici Augustin Cauchy a Jean Robert Argan. V roku 1903 rakúsky vedec Konrad Lorenz použil rovnakú symboliku pre dĺžku vektora.

Norm. E. Schmidt (1908).

Norma je funkcionál definovaný na vektorovom priestore a zovšeobecňujúci pojem dĺžky vektora alebo modulu čísla. Znak "norma" (z latinského slova "norma" - "pravidlo", "vzor") zaviedol nemecký matematik Erhard Schmidt v roku 1908.

Limit. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), mnohí matematici (do začiatku 20. storočia)

Limit je jedným zo základných pojmov matematickej analýzy, čo znamená, že určitá premenná hodnota sa v procese jej uvažovanej zmeny neobmedzene blíži k určitej konštantnej hodnote. Pojem limity intuitívne používal v druhej polovici 17. storočia Isaac Newton, ako aj matematici 18. storočia ako Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange. Prvé presné definície limitu sekvencie poskytli Bernard Bolzano v roku 1816 a Augustin Cauchy v roku 1821. Symbol lim (prvé 3 písmená z latinského slova limes - hranica) objavil v roku 1787 švajčiarsky matematik Simon Antoine Jean Lhuillier, no jeho použitie sa ešte nepodobalo tým moderným. Výraz lim v známejšej forme prvýkrát použil írsky matematik William Hamilton v roku 1853.Weierstrass zaviedol označenie blízke modernému, no namiesto známej šípky použil znamienko rovnosti. Šípka sa objavila začiatkom 20. storočia medzi viacerými matematikmi naraz – napríklad anglickým matematikom Godfriedom Hardym v roku 1908.

funkcia Zeta, d Riemann zeta funkcia. B. Riemann (1857).

Analytická funkcia komplexnej premennej s = σ + it, pre σ > 1, určená absolútne a rovnomerne konvergentným Dirichletovým radom:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Pre σ > 1 platí zobrazenie vo forme Eulerovho súčinu:

ζ(s) = Π p (1-p -s) -s,

kde sa produkt preberá všetko prvočíslo p. Funkcia zeta hrá veľkú úlohu v teórii čísel.Funkciu zeta ako funkciu reálnej premennej zaviedol v roku 1737 (publikoval v roku 1744) L. Euler, ktorý naznačil jej rozšírenie na súčin. O tejto funkcii vtedy uvažoval nemecký matematik L. Dirichlet a obzvlášť úspešne ruský matematik a mechanik P.L. Chebyshev pri štúdiu zákona o rozdelení prvočísel. Najhlbšie vlastnosti funkcie zeta však boli objavené neskôr, po práci nemeckého matematika Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859), kde sa funkcia zeta považovala za funkciu komplexnej premennej; V roku 1857 zaviedol aj názov „funkcia zeta“ a označenie ζ(s).

Gama funkcia, Eulerova Γ funkcia. A. Legendre (1814).

Funkcia Gama je matematická funkcia, ktorá rozširuje koncept faktoriálu na pole komplexných čísel. Zvyčajne sa označuje Γ(z). Funkciu G prvýkrát zaviedol Leonhard Euler v roku 1729; určuje sa podľa vzorca:

Γ(z) = limn→∞ n!·nz/z(z+1)...(z+n).

Veľký počet integrálov, nekonečných súčinov a súčtov radov je vyjadrených pomocou G-funkcie. Široko používaný v analytickej teórii čísel. Názov „Funkcia gama“ a označenie Γ(z) navrhol francúzsky matematik Adrien Marie Legendre v roku 1814.

Beta funkcia, B funkcia, Eulerova B funkcia. J. Binet (1839).

Funkcia dvoch premenných p a q definovaných pre p>0, q>0 pomocou rovnosti:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Funkciu beta možno vyjadriť pomocou funkcie Γ: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Tak ako je funkcia gama pre celé čísla zovšeobecnením faktoriálu, funkcia beta je v istom zmysle zovšeobecnením binomických koeficientov.

Funkcia beta popisuje mnoho vlastnostíelementárne častice podieľať sa na silná interakcia. Túto vlastnosť si všimol taliansky teoretický fyzikGabriele Veneziano v roku 1968. Toto znamenalo začiatok teória strún.

Názov „beta funkcia“ a označenie B(p, q) zaviedol v roku 1839 francúzsky matematik, mechanik a astronóm Jacques Philippe Marie Binet.

Laplaceov operátor, Laplacian. R. Murphy (1833).

Lineárny diferenciálny operátor Δ, ktorý priraďuje funkcie φ(x 1, x 2, ..., x n) n premenným x 1, x 2, ..., x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

Najmä pre funkciu φ(x) jednej premennej sa Laplaceov operátor zhoduje s operátorom 2. derivácie: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Rovnica Δφ = 0 sa zvyčajne nazýva Laplaceova rovnica; Odtiaľ pochádzajú názvy „operátor Laplace“ alebo „Laplacian“. Označenie Δ zaviedol anglický fyzik a matematik Robert Murphy v roku 1833.

Hamiltonov operátor, nabla operátor, Hamiltonián. O. Heaviside (1892).

Vektorový diferenciálny operátor formulára

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,

Kde i, j, A k- súradnicové jednotkové vektory. Základné operácie vektorovej analýzy, ako aj Laplaceov operátor, sú vyjadrené prirodzeným spôsobom prostredníctvom operátora Nabla.

V roku 1853 írsky matematik William Rowan Hamilton zaviedol tento operátor a vytvoril preň symbol ∇ ako obrátené grécke písmeno Δ (delta). V Hamiltone hrot symbolu smeroval doľava, neskôr, v dielach škótskeho matematika a fyzika Petra Guthrieho Tatea, symbol získal svoju modernú podobu. Hamilton nazval tento symbol „atled“ (slovo „delta“ čítané odzadu). Neskôr anglický učenci, vrátane Olivera Heavisidea, začali tento symbol nazývať „nabla“, podľa názvu písmena ∇ vo fenickej abecede, kde sa vyskytuje. Pôvod písmena je spojený s hudobným nástrojom, ako je harfa, ναβλα (nabla) v starogréčtine znamená „harfa“. Operátor sa volal Hamilton operator, alebo operátor nabla.

Funkcia. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematický koncept, ktorý odráža vzťah medzi prvkami množín. Môžeme povedať, že funkcia je „zákon“, „pravidlo“, podľa ktorého je každý prvok jednej množiny (nazývaný definičný obor) spojený s niektorým prvkom iného súboru (nazývaný definičný obor). Matematický koncept funkcie vyjadruje intuitívnu predstavu o tom, ako jedna veličina úplne určuje hodnotu inej veličiny. Termín "funkcia" sa často vzťahuje na numerickú funkciu; to je funkcia, ktorá dáva niektoré čísla do súladu s inými. Matematici dlho špecifikovali argumenty bez zátvoriek, napríklad takto - φх. Tento zápis prvýkrát použil švajčiarsky matematik Johann Bernoulli v roku 1718.Zátvorky sa používali iba v prípade viacerých argumentov alebo ak bol argument zložitým výrazom. Ozveny tých čias sú nahrávky, ktoré sa dodnes používajúhriech x, log xatď. Postupne sa však začalo používať zátvorky, f(x) všeobecné pravidlo. A hlavnú zásluhu na tom má Leonhard Euler.

Rovnosť. R. Záznam (1557).

Znamienko rovnosti navrhol waleský lekár a matematik Robert Record v roku 1557; obrys symbolu bol oveľa dlhší ako súčasný, keďže napodobňoval obraz dvoch paralelných segmentov. Autor vysvetlil, že na svete nie je nič rovnejšie ako dva paralelné segmenty rovnakej dĺžky. Predtým sa v starovekej a stredovekej matematike rovnosť označovala slovne (napr est egale). V 17. storočí začal René Descartes používať æ (z lat. aequalis), a použil moderné znamienko rovnosti na označenie, že koeficient môže byť záporný. François Viète použil znamienko rovnosti na označenie odčítania. Symbol Record sa nerozšíril okamžite. Rozšíreniu symbolu rekordu bránila skutočnosť, že od staroveku sa rovnaký symbol používal na označenie rovnobežnosti priamych čiar; Nakoniec sa rozhodlo, že symbol paralelizmu bude vertikálny. V kontinentálnej Európe zaviedol znak „=" Gottfried Leibniz až na prelome 17. – 18. storočia, teda viac ako 100 rokov po smrti Roberta Recorda, ktorý ho na tento účel prvýkrát použil.

Približne rovnaké, približne rovnaké. A.Gunther (1882).

Podpísať " ≈ " zaviedol do používania ako symbol pre vzťah "približne rovnaký" nemecký matematik a fyzik Adam Wilhelm Sigmund Günther v roku 1882.

Viacmenej. T. Harriot (1631).

Tieto dva znaky zaviedol do používania anglický astronóm, matematik, etnograf a prekladateľ Thomas Harriot v roku 1631; predtým sa používali slová „viac“ a „menej“.

Porovnateľnosť. K.Gauss (1801).

Porovnanie je vzťah medzi dvoma celými číslami n a m, čo znamená, že rozdiel n-m týchto čísel sa vydelí daným celým číslom a, ktoré sa nazýva porovnávací modul; píše sa: n≡m(mod а) a znie „čísla n a m sú porovnateľné modulo a“. Napríklad 3≡11(mod 4), pretože 3-11 je deliteľné 4; čísla 3 a 11 sú porovnateľné modulo 4. Kongruencie majú mnohé vlastnosti podobné vlastnostiam rovnosti. Teda výraz nachádzajúci sa v jednej časti porovnania možno preniesť s opačným znamienkom do inej časti a porovnania s rovnakým modulom možno sčítať, odčítať, násobiť, obe časti porovnania násobiť rovnakým číslom atď. . Napríklad,

3≡9+2 (mod 4) a 3-2≡9 (mod 4)

Zároveň pravdivé prirovnania. A z dvojice správnych porovnaní 3≡11(mod 4) a 1≡5(mod 4) vyplýva:

3+1≡11+5 (mod 4)

3-1≡11-5 (mod 4)

3·1≡11·5 (mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23 (mod 4)

Teória čísel sa zaoberá metódami riešenia rôznych porovnaní, t.j. metódy na nájdenie celých čísel, ktoré vyhovujú porovnaniam jedného alebo druhého typu. Modulo porovnanie prvýkrát použil nemecký matematik Carl Gauss vo svojej knihe z roku 1801 Aritmetické štúdie. Navrhol tiež symboliku pre porovnania, ktorá bola zavedená v matematike.

Identita. B. Riemann (1857).

Identita je rovnosť dvoch analytických výrazov platných pre všetky prípustné hodnoty písmen, ktoré sú v nej obsiahnuté. Rovnosť a+b = b+a platí pre všetky číselné hodnoty a a b, a teda ide o identitu. Na zaznamenávanie identít sa v niektorých prípadoch od roku 1857 používa znak „≡“ (čítaj „identicky rovný“), ktorého autorom je v tomto použití nemecký matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann. Môžete napísať a+b ≡ b+a.

Kolmosť. P. Erigon (1634).

Kolmosť je vzájomná poloha dvoch priamok, rovín alebo priamky a roviny, v ktorej naznačené obrazce zvierajú pravý uhol. Znak ⊥ na označenie kolmosti zaviedol v roku 1634 francúzsky matematik a astronóm Pierre Erigon. Pojem kolmosť má množstvo zovšeobecnení, ale všetky sú spravidla sprevádzané znakom ⊥.

Paralelizmus. W. Outred (posmrtné vydanie 1677).

Paralelnosť je vzťah medzi určitými geometrickými útvarmi; napríklad rovný. Definované rôzne v závislosti od rôznych geometrií; napríklad v geometrii Euklida a v geometrii Lobačevského. Znak paralelizmu je známy už od staroveku, používali ho Heron a Pappus z Alexandrie. Spočiatku bol symbol podobný súčasnému znamienku rovnosti (iba rozšírenejší), ale s príchodom druhého, aby sa predišlo zmätku, bol symbol otočený vertikálne ||. V tejto podobe sa prvýkrát objavil v posmrtnom vydaní diel anglického matematika Williama Oughtreda v roku 1677.

Priesečník, spojenie. J. Peano (1888).

Priesečník množín je množina, ktorá obsahuje len tie prvky, ktoré súčasne patria do všetkých daných množín. Spojenie množín je množina, ktorá obsahuje všetky prvky pôvodných množín. Priesečník a spojenie sa tiež nazývajú operácie na množinách, ktoré priraďujú nové množiny niektorým podľa vyššie uvedených pravidiel. Označuje sa ∩ a ∪. Napríklad ak

A= (♠ ♣ ) A B= (♣ ♦),

To

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Obsahuje, obsahuje. E. Schroeder (1890).

Ak sú A a B dve množiny a v A nie sú prvky, ktoré nepatria do B, potom hovoria, že A je obsiahnuté v B. Napíšu A⊂B alebo B⊃A (B obsahuje A). Napríklad,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Symboly „obsahuje“ a „obsahuje“ objavil v roku 1890 nemecký matematik a logik Ernst Schroeder.

Afiliácia. J. Peano (1895).

Ak a je prvkom množiny A, napíšte a∈A a prečítajte si „a patrí do A“. Ak a nie je prvkom množiny A, napíšte a∉A a prečítajte si „a nepatrí do A“. Spočiatku sa nerozlišovali vzťahy „obsahuje“ a „patrí“ („je prvkom“), ale časom si tieto pojmy vyžadovali diferenciáciu. Symbol ∈ prvýkrát použil taliansky matematik Giuseppe Peano v roku 1895. Symbol ∈ pochádza z prvého písmena gréckeho slova εστι - byť.

Kvantifikátor univerzálnosti, kvantifikátor existencie. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kvantifikátor je všeobecný názov pre logické operácie, ktoré označujú doménu pravdivosti predikátu (matematický výrok). Filozofi dlho venovali pozornosť logickým operáciám, ktoré obmedzujú oblasť pravdivosti predikátu, ale neidentifikovali ich ako samostatnú triedu operácií. Hoci kvantifikátorovo-logické konštrukcie sú široko používané vo vedeckej aj každodennej reči, k ich formalizácii došlo až v roku 1879 v knihe nemeckého logika, matematika a filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregeho „The Calculus of Concepts“. Fregeho zápis vyzeral ako ťažkopádne grafické konštrukcie a nebol akceptovaný. Následne bolo navrhnutých mnoho úspešnejších symbolov, ale všeobecne akceptované zápisy boli ∃ pre existenciálny kvantifikátor (čítaj „existuje“, „existuje“), ktorý navrhol americký filozof, logik a matematik Charles Peirce v roku 1885 a ∀ pre univerzálny kvantifikátor (čítaj „akýkoľvek“, „každý“, „každý“), ktorý vytvoril nemecký matematik a logik Gerhard Karl Erich Gentzen v roku 1935 analogicky so symbolom kvantifikátora existencie (obrátené prvé písmená anglických slov Existencia (existencia) a Akákoľvek (akákoľvek)). Napríklad záznam

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

znie takto: „pre ľubovoľné ε>0 existuje δ>0 také, že pre všetky x sa nerovná x 0 a spĺňa nerovnosť |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Prázdna súprava. N. Bourbaki (1939).

Sada, ktorá neobsahuje jediný prvok. Znak prázdnej sady bol zavedený v knihách Nicolasa Bourbakiho v roku 1939. Bourbaki je kolektívny pseudonym skupiny francúzskych matematikov vytvorených v roku 1935. Jedným z členov skupiny Bourbaki bol Andre Weil, autor symbolu Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

V matematike sa dôkaz chápe ako postupnosť uvažovania postavená na určitých pravidlách, ktorá ukazuje, že určité tvrdenie je pravdivé. Od renesancie matematici označovali koniec dôkazu skratkou "Q.E.D.", z latinského výrazu "Quod Erat Demonstrandum" - "Čo bolo potrebné dokázať." Pri vytváraní systému počítačového rozloženia ΤΕΧ v roku 1978 použil americký profesor informatiky Donald Edwin Knuth symbol: vyplnený štvorec, takzvaný „symbol Halmos“, pomenovaný po americkom matematikovi maďarského pôvodu Paulovi Richardovi Halmosovi. Dnes je dokončenie dôkazu zvyčajne označené symbolom Halmos. Ako alternatíva sa používajú iné znaky: prázdny štvorec, pravouhlý trojuholník, // (dve lomky), ako aj ruská skratka „ch.t.d“.