Ikki marta kamroq belgi. Kattaroq va kichikroq belgilarni eslang! Eng oddiy yo'l

Arifmetik amallar bilan bir qatorda “katta”, “kichik”, “teng” kabi mavhum tushunchalar bilan tanishish mavjud. Bolaning qaysi tomonida ko'proq narsa borligini va qaysi biri kamroq ekanligini aniqlash qiyin bo'lmaydi. Ammo bu erda belgilarning o'rnatilishi ba'zan qiyinchiliklarga olib keladi. O'yin usullari belgilarni o'rganishga yordam beradi.

"Och qush"

O'ynash uchun sizga belgi kerak bo'ladi - ochiq gaga ("ko'proq" belgisi). U kartondan kesilishi yoki bir martalik plastinkadan katta modelga aylanishi mumkin. Bolani qiziqtirish uchun siz ko'zlarni, patlarni yopishtirishingiz yoki chizishingiz va og'zini ochishingiz mumkin .

Tushuntirish ba'zi bir fon bilan boshlanadi: “Bu qush kichkina, yaxshi ovqatlanishni yaxshi ko'radi. Va u har doim ko'proq oziq-ovqat bo'lgan qoziqni tanlaydi.

Shundan so'ng, qush tumshug'ini ko'proq narsalar bo'lgan tomonga ochishi aniq ko'rsatilgan.

Bundan tashqari, olingan ma'lumotlar aniqlanadi: stolga donli uyumlar qo'yiladi va bola qush tumshug'ini qaysi tomonga burishini aniqlaydi. . Agar birinchi marta uni to'g'ri joylashtirishning iloji bo'lmasa, og'iz ko'proq oziq-ovqat uchun ochiq ekanligini yana aytib, yordam berishingiz kerak. Keyin yana bir nechta shunga o'xshash vazifalarni taklif qilishingiz mumkin: raqamlar varaqda yozilgan, siz tumshug'ini to'g'ri yopishtirishingiz kerak.

Misollar qushni pike, timsoh yoki boshqa har qanday yirtqich bilan almashtirish orqali turli xil bo'lishi mumkin, ular ham og'zini kattaroq raqamga ochadi.

Ikkala qoziqdagi narsalar soni teng bo'ladigan g'ayrioddiy vaziyatlar bo'lishi mumkin. Agar bola buni sezsa, bu uning diqqatli ekanligini anglatadi.

Buning uchun sizni maqtash kerak , va keyin 2 ta bir xil chiziqni ko'rsating va ular qoziqlardagi ob'ektlar soni bilan bir xil ekanligini tushuntiring va ob'ektlar soni teng bo'lganligi sababli, belgi "teng" deb ataladi.

Oklar

Kichik maktab o'quvchisiga belgilarni turli yo'nalishlarga qaratilgan o'qlar bilan taqqoslash asosida tushuntirish mumkin.

Ifodalarni o'qishda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin. Ammo bu qiyinchilikni ham engish mumkin: belgini to'g'ri qo'yish orqali ifodani to'g'ri o'qiy oladi . Bir nechta mashqlarni bajargandan so'ng, bola chapga ishora qiluvchi o'q "kamroq" belgisini anglatishini eslaydi. Agar u o'ng tomonga ishora qilsa, unda belgi o'qiydi: "ko'proq".

Mustahkamlash mashqlari

Belgini o'rnatish qoidalarini tushuntirib bo'lgach, shunga o'xshash vazifalarni bajarishda mashq qilishingiz kerak.

Shu maqsadda ushbu turdagi vazifalar mos keladi:

1. "Belgi qo'ying" (4 va 5 - "kamroq" belgisi kerak).
2. "Ko'proq kamroq" - bola ikkala qo'lning bosh barmog'i va ko'rsatkich barmog'i bilan turli xil narsalarning o'lchamlarini yoki ularning sonini taqqoslab belgilarni ko'rsatadi (samolyot ninachidan kattaroq, qulupnay tarvuzdan kichikroq).
3. "Qaysi raqam" - belgilar bor, bir tomonda raqam yozilgan, boshqa tomonda qanday raqam bo'lishini taxmin qilishingiz kerak ("_" iborasida<5» на месте пропуска могут стоять числа 0 – 4).
4. "Raqamlarni to'ldiring" - ko'rsatilgan belgining chap va o'ng tomonidagi raqamlarni to'g'ri qo'yishingiz kerak (8 raqami "kattaroq" belgisining chap tomonida, 2 raqami esa o'ngda bo'ladi).

Mantiq va fikrlashni rivojlantirish uchun siz mashqlarni quyidagi vazifalar bilan to'ldirishingiz mumkin:

• "Ob'ekt qaysi tomondan qochib ketdi?" - Chapda 3 ta uchburchak, o'ngda 2 ta kvadrat chizilgan va ular orasida “=” belgisi mavjud. Bola tenglik to'g'ri bo'lishi uchun o'ng tomonda kvadrat etarli emasligini taxmin qilishi kerak. Agar buni darhol qila olmasangiz, avval chap tomonda uchburchakni, so'ngra o'ngdagi kvadratni qo'shish orqali muammoni amalda hal qilishingiz mumkin.
• "Tengsizlikni to'g'rilash uchun nima qilish kerak?" - vaziyatni hisobga olgan holda, bola belgining to'g'ri turishi uchun qaysi tomonni olib tashlash yoki narsalarni qo'shish kerakligini aniqlaydi.

Video darsligi sizga belgilar haqida aytib beradi: kattaroq, kichik va teng

Abstrakt algebra matnni soddalashtirish va qisqartirish uchun belgilardan, shuningdek, ayrim guruhlar uchun standart yozuvlardan keng foydalanadi. Quyida eng keng tarqalgan algebraik yozuvlar ro'yxati, tegishli buyruqlar ... Vikipediya

Matematik belgilar matematik tenglamalar va formulalarni ixcham tarzda yozish uchun ishlatiladigan belgilardir. Turli alifbolardagi raqamlar va harflardan tashqari (lotin, shu jumladan gotika, yunon va ibroniy), ... ... Vikipediya

Maqolada matematik funktsiyalar, operatorlar va boshqa matematik atamalar uchun umumiy qisqartmalar ro'yxati keltirilgan. Mundarija 1 Qisqartmalar 1.1 Lotin 1.2 Yunon alifbosi ... Vikipediya

Unicode yoki Unicode (ing. Unicode) deyarli barcha yozma tillarning belgilarini ifodalash imkonini beruvchi belgilarni kodlash standartidir. Standart 1991 yilda Unicode Consortium (Eng. Unicode Consortium, ... ... Vikipediya) notijorat tashkiloti tomonidan taklif qilingan.

Matematikada qoʻllaniladigan oʻziga xos belgilar roʻyxatini Matematik belgilar jadvali maqolasida koʻrish mumkin. Matematik belgilar (“matematika tili”) — bu maʼlumotni taqdim etish uchun foydalaniladigan murakkab grafik yozuv tizimi ... ... Vikipediya

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Plus minus (maʼnolari). ± ∓ Plus minus belgisi (±) matematik belgi boʻlib, u qandaydir ifoda oldiga qoʻyiladi va bu ifodaning qiymati ham ijobiy, ham ... Vikipediya boʻlishi mumkinligini bildiradi.

Tarjima sifatini tekshirish va maqolani Vikipediyaning stilistik qoidalariga muvofiqlashtirish zarur. Siz yordam bera olasiz ... Vikipediya

Yoki matematik belgilar ma'lum matematik amallarni o'z argumentlari bilan ifodalovchi belgilardir. Eng keng tarqalganlari: Plyus: + Minus:, - Ko'paytirish belgisi: ×, ∙ Bo'linish belgisi::, ∕, ÷ Ko'rgazma belgisi ... ... Vikipediya

Amaliyot belgilari yoki matematik belgilar ma'lum matematik amallarni argumentlari bilan ifodalovchi belgilardir. Eng keng tarqalganlari: Plus: + Minus:, - Ko'paytirish belgisi: ×, ∙ Bo'lish belgisi::, ∕, ÷ Qurilish belgisi ... ... Vikipediya

Matematik simvolizmning rivojlanishi matematika tushunchalari va usullarining umumiy rivojlanishi bilan chambarchas bog'liq edi. Birinchidan Matematik belgilar raqamlarni tasvirlash uchun belgilar mavjud edi - raqamlar, paydo bo'lishi, aftidan, yozishdan oldin bo'lgan. Eng qadimgi raqamlash tizimlari - Bobil va Misr - miloddan avvalgi 3 1/2 ming yillikda paydo bo'lgan. e.

Birinchidan Matematik belgilar chunki o'zboshimchalik bilan qadriyatlar ancha keyinroq (miloddan avvalgi 5-4-asrlardan boshlab) Gretsiyada paydo bo'lgan. Miqdorlar (maydon, hajmlar, burchaklar) segmentlar sifatida va ikkita ixtiyoriy bir hil miqdorning mahsuloti - mos keladigan segmentlar ustiga qurilgan to'rtburchaklar sifatida ko'rsatilgan. "Boshlanishlar" da Evklid (miloddan avvalgi 3-asr) miqdorlar ikkita harf bilan ko'rsatilgan - tegishli segmentning bosh va oxirgi harflari, ba'zan esa bitta. Da Arximed (miloddan avvalgi 3-asr) oxirgi usul keng tarqalgan. Bunday belgi harfiy hisobni rivojlantirish imkoniyatlarini o'z ichiga olgan. Biroq, klassik antik matematikada harfiy hisob yaratilmagan.

Harf tasviri va hisobning boshlanishi ellinistik davrning oxirlarida algebrani geometrik shakldan ozod qilish natijasida vujudga keladi. Diofant (ehtimol 3-asr) noma'lum ( X) va uning darajalari quyidagi belgilar bilan ifodalanadi:

[ - yunoncha dunamiV (dynamis - kuch) atamasidan, noma'lumning kvadratini bildiradi, - yunoncha cuboV (k_ybos) - kub]. Noma'lum yoki uning darajalarining o'ng tomonida Diophantus koeffitsientlarni yozgan, masalan, 3x5 tasvirlangan.

(bu erda = 3). Qo'shishda Diofant atamalarni bir-biriga bog'lagan, ayirish uchun u maxsus belgidan foydalangan; Diofant i harfi bilan tenglikni belgilagan [yunoncha isoV (isos) - teng]. Masalan, tenglama

(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X

Diofant buni shunday yozadi:

(Bu yerga

birlikning noma'lumning kuchi ko'rinishidagi ko'paytuvchisi yo'qligini bildiradi).

Bir necha asr o'tgach, hindular turli xil narsalarni kiritdilar Matematik belgilar bir nechta noma'lumlar uchun (noma'lumlarni bildiruvchi ranglarning nomlari uchun qisqartmalar), kvadrat, kvadrat ildiz, ayirilgan raqam. Shunday qilib, tenglama

3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

Yozib olishda Brahmagupta (7-asr) quyidagicha ko'rinadi:

Ya va 3 yo 10 ru 8

Ya va 1 yo 0 ru 1

(ya - yavatdan - tavot - noma'lum, va - vargadan - kvadrat son, ru - rupadan - rupiya tanga - erkin a'zo, son ustidagi nuqta ayirilishi kerak bo'lgan sonni bildiradi).

Zamonaviy algebraik simvolizmning yaratilishi 14—17-asrlarga toʻgʻri keladi; amaliy arifmetika va tenglamalarni o'rganish muvaffaqiyatlari bilan aniqlandi. Turli mamlakatlarda o'z-o'zidan paydo bo'ladi Matematik belgilar ba'zi harakatlar uchun va noma'lum miqdordagi kuchlar uchun. U yoki bu qulay ramz ishlab chiqilgunga qadar ko'p o'n yillar va hatto asrlar o'tadi. Shunday qilib, 15 va oxirida. N. Shuke va L. Pacioli qo‘shish va ayirish belgilaridan foydalaniladi

(lot. plyus va minus dan), nemis matematiklari zamonaviy + (ehtimol, lat. et ning qisqartmasi) va -. 17-asrda o'nga yaqin hisoblash mumkin Matematik belgilar ko'paytirish operatsiyasi uchun.

boshqacha edi va Matematik belgilar noma'lum va uning darajalari. 16-17-asr boshlarida. o'ndan ortiq notation faqat noma'lum kvadrat uchun raqobat, masalan se(ro'yxatga olishdan - yunoncha dunamiV ning tarjimasi bo'lib xizmat qilgan lotincha atama, Q(kvadratdan), , A (2), , Aii, aa, a 2 va hokazo. Shunday qilib, tenglama

x 3 + 5 x = 12

italyan matematigi G. Kardano (1545) quyidagi shaklga ega bo'ladi:

nemis matematigi M. Shtifeldan (1544):

italyan matematigi R. Bombelli (1572):

Fransuz matematigi F.Vyeta (1591):

ingliz matematigi T. Xarriotdan (1631):

16-asr va 17-asr boshlarida teng belgilar va qavslar qo'llaniladi: kvadrat (R. Bombelli , 1550), dumaloq (N. Tartalya, 1556), jingalak (F. viet, 1593). 16-asrda zamonaviy ko'rinish kasrlarni qabul qiladi.

Matematik simvolizm rivojlanishidagi muhim qadam Vyeta tomonidan kiritilgan (1591) edi. Matematik belgilar lotin alifbosining B, D bosh undoshlari ko'rinishidagi ixtiyoriy doimiylar uchun, bu unga birinchi marta ixtiyoriy koeffitsientli algebraik tenglamalarni yozish va ular bilan ishlash imkonini berdi. Noma'lum Viet katta harflar bilan unlilar tasvirlangan A, E, ... Misol uchun, rekord Vieta

Bizning belgilarimizda u quyidagicha ko'rinadi:

x 3 + 3bx = d.

Vyet algebraik formulalarning yaratuvchisi edi. R. Dekart (1637) latning oxirgi harflari bilan nomaʼlumlarni bildiruvchi algebra belgilariga zamonaviy koʻrinish berdi. alifbo x, y, z, va o'zboshimchalik bilan berilgan miqdorlar - bosh harflarda a, b, c. U, shuningdek, darajaning hozirgi rekordiga ham ega. Dekartning yozuvlari avvalgilaridan katta ustunlikka ega edi. Shuning uchun ular tez orada universal e'tirofga sazovor bo'lishdi.

Keyingi rivojlanish Matematik belgilar cheksiz kichik analizning yaratilishi bilan chambarchas bog'liq edi, uning ramziyligini rivojlantirish uchun asosi allaqachon algebrada katta darajada tayyorlangan.

Ba'zi matematik belgilarning paydo bo'lish sanalari

va cheksiz kichik o'sish uchun o. Biroz oldinroq, J. Uollis (1655) ¥ cheksizlik belgisini taklif qildi.

Differensial va integral hisoblarning zamonaviy simvolizmining yaratuvchisi G. Leybnits. U, xususan, hozirda ishlatiladiganlarga tegishli Matematik belgilar farqlar

dx, d 2 x, d 3 x

va integral

Zamonaviy matematikaning ramziyligini yaratishda katta xizmat L. Eyler. U (1734) oʻzgaruvchan amalning birinchi belgisini, yaʼni funksiya belgisini umumiy foydalanishga kiritdi. f(x) (lot. functio dan). Eyler ishidan so'ng trigonometrik funktsiyalar kabi ko'plab individual funktsiyalarning belgilari standart xususiyatga ega bo'ldi. Eyler doimiylar uchun yozuvga ega e(tabiiy logarifmlar asosi, 1736), p [ehtimol, yunoncha perijereia (periferiya) — aylana, periferiya, 1736], xayoliy birlik

(frantsuz imaginaire dan - xayoliy, 1777, 1794 yilda nashr etilgan).

19-asrda ramziylikning roli kuchaymoqda. Bu vaqtda mutlaq qiymat belgilari |x| (TO. Weierstrass, 1841), vektor (O. Koshi, 1853), aniqlovchi

(A. Kayli, 1841) va boshqalar.19-asrda paydo boʻlgan koʻpgina nazariyalarni, masalan, Tensor hisobini mos simvolizmsiz ishlab chiqish mumkin emas edi.

Belgilangan standartlashtirish jarayoni bilan bir qatorda Matematik belgilar zamonaviy adabiyotda tez-tez uchratish mumkin Matematik belgilar alohida mualliflar tomonidan faqat ushbu tadqiqot doirasida foydalaniladi.

Matematik mantiq nuqtai nazaridan, orasida Matematik belgilar quyidagi asosiy guruhlarni ajratib ko'rsatish mumkin: A) ob'ektlar belgilari, B) operatsiyalar belgilari, C) munosabatlar belgilari. Masalan, 1, 2, 3, 4 belgilari raqamlarni, ya'ni arifmetika bilan o'rganiladigan narsalarni tasvirlaydi. Qo'shish belgisi + o'zi hech qanday ob'ektni bildirmaydi; u qaysi raqamlar qo'shilganligi ko'rsatilganda mavzu mazmunini oladi: 1 + 3 belgisi 4 raqamini tasvirlaydi. > (katta) belgisi raqamlar orasidagi munosabat belgisidir. Munosabat belgisi qaysi ob'ektlar o'rtasida munosabat ko'rib chiqilishi ko'rsatilganda juda aniq mazmun oladi. Yuqoridagi uchta asosiy guruhga Matematik belgilar to‘rtinchisiga qo‘shiladi: D) asosiy belgilarning birikma tartibini o‘rnatuvchi yordamchi belgilar. Bunday belgilar to'g'risida etarli tushuncha, harakatlarni bajarish tartibini ko'rsatadigan qavslar orqali beriladi.

A), B) va C) uchta guruhning har birining belgilari ikki xil: 1) aniq belgilangan ob'ektlar, amallar va munosabatlarning individual belgilari, 2) "takrorlanmaydigan" yoki "noma'lum" ob'ektlarning umumiy belgilari. , operatsiyalar va munosabatlar.

Birinchi turdagi belgilarga misollar xizmat qilishi mumkin (shuningdek, jadvalga qarang):

A 1) Afsonalar natural sonlar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transsendental raqamlar e va p; xayoliy birlik i.

B 1) Arifmetik amallarning belgilari +, -, ·, ´,:; ildiz chiqarish, farqlash

to'plamlarning yig'indisi (birlashmasi) È va ko'paytmasi (kesishmasi) Ç belgilari; bunga sin, tg, log va hokazo individual funksiyalarning belgilari ham kiradi.

1) Tenglik va tengsizlik belgilari =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Ikkinchi turdagi belgilar ixtiyoriy ob'ektlarni, ma'lum bir sinfning operatsiyalari va munosabatlarini yoki oldindan belgilangan shartlarga bog'liq bo'lgan ob'ektlarni, operatsiyalarni va munosabatlarni tasvirlaydi. Masalan, shaxsni yozishda ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 harf A Va b ixtiyoriy sonlarni belgilash; funktsional qaramlikni o'rganayotganda da = X 2 harf X Va y - berilgan nisbat bilan bog'langan ixtiyoriy sonlar; tenglamani yechishda

X berilgan tenglamani qanoatlantiradigan har qanday raqamni bildiradi (ushbu tenglamani echish natijasida biz ushbu shartga faqat ikkita mumkin bo'lgan +1 va -1 qiymat mos kelishini bilib olamiz).

Mantiqiy nuqtai nazardan, o'zgaruvchining "o'zgarish hududi" bittadan iborat bo'lishi mumkinligidan qo'rqmasdan, matematik mantiqda odatiy bo'lganidek, bunday umumiy belgilarni o'zgaruvchilarning belgilari deb atash qonuniydir. ob'ekt yoki hatto "bo'sh" (masalan, yechimsiz tenglamalar uchun). Bunday belgilarga qo'shimcha misollar:

A 2) Geometriyada nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar va murakkabroq geometrik shakllarni harflar bilan belgilash.

B 2) Belgilash f, , j funksiyalar va operator hisobining yozuvlari uchun, bir harf bo'lganda L masalan, shaklning ixtiyoriy operatorini tasvirlang:

"O'zgaruvchan nisbatlar" belgisi kamroq tarqalgan va faqat matematik mantiqda qo'llaniladi (qarang. Mantiq algebrasi ) va nisbatan mavhum, asosan aksiomatik, matematik tadqiqotlarda.

Lit.: Cajori, Matematik belgilar tarixi, v. 1-2, Chi., 1928-29.

So'z haqida maqola Matematik belgilar Buyuk Sovet Entsiklopediyasida 39931 marta o'qilgan

Cheksizlik.J. Uollis (1655).

Birinchi marta ingliz matematigi Jon Valisning "Konusli kesmalar haqida" risolasida uchraydi.

Natural logarifmlar asosi. L. Eyler (1736).

Matematik doimiy, transsendental son. Bu raqam ba'zan chaqiriladi Perov bo'lmagan Shotlandiya sharafiga olim Nepier, "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi" asari muallifi (1614). Birinchi marta doimiy 1618 yilda nashr etilgan Nepierning yuqorida tilga olingan asarining ingliz tiliga tarjimasi ilovasida yashirincha mavjud. Xuddi shu konstanta birinchi marta shveytsariyalik matematik Yakob Bernulli tomonidan foizli daromadning chegaraviy qiymati masalasini hal qilish jarayonida hisoblab chiqilgan.

2,71828182845904523...

Bu doimiyning birinchi ma'lum qo'llanilishi, bu erda u harf bilan belgilangan b, Leybnitsning 1690-1691 yillardagi Gyuygensga maktublarida topilgan. xat e 1727 yilda Eylerdan foydalanishni boshlagan va bu maktub bilan birinchi nashr uning "Mexanika" yoki "Harakat ilmi", 1736 yilda analitik tarzda bayon qilingan. Mos ravishda, e odatda deyiladi Eyler raqami. Nima uchun xat tanlangan? e, aniq ma'lum emas. Ehtimol, bu so'zning u bilan boshlanishi bilan bog'liqdir eksponentsial("eksponensial", "eksponensial"). Yana bir taxmin, harflar a, b, c Va d allaqachon boshqa maqsadlarda keng qo'llaniladi va e birinchi "bepul" xat edi.

Doira aylanasining diametriga nisbati. V. Jons (1706), L. Eyler (1736).

Matematik konstanta, irratsional son. "Pi" raqami, eski nomi - Ludolfning raqami. Har qanday irratsional son singari, p cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr bilan ifodalanadi:

p=3,141592653589793...

Birinchi marta bu raqamni yunoncha p harfi bilan belgilash ingliz matematigi Uilyam Jons tomonidan "Matematikaga yangi kirish" kitobida ishlatilgan va Leonard Eyler ishidan keyin umumiy qabul qilingan. Bu belgi yunoncha pērīya - aylana, periferiya va pīrīmos - perimetr so'zlarining bosh harfidan kelib chiqqan. Iogann Geynrix Lambert 1761 yilda p ning irratsional emasligini, 1774 yilda Adrien Mari Legendre p 2 ning irratsionalligini isbotladi. Legendre va Eyler p ning transsendental bo'lishi mumkinligini taxmin qilishdi, ya'ni. butun sonli koeffitsientli hech qanday algebraik tenglamani qanoatlantira olmaydi, oxir-oqibat 1882 yilda Ferdinand fon Lindemann tomonidan isbotlangan.

xayoliy birlik. L. Eyler (1777, matbuotda - 1794).

Ma'lumki, tenglama x 2 \u003d 1 ikkita ildizga ega: 1 Va -1 . Xayoliy birlik tenglamaning ikkita ildizidan biridir x 2 \u003d -1, lotin harfi bilan belgilanadi i, boshqa ildiz: -i. Bu belgini Lotin so'zining birinchi harfini olgan Leonhard Eyler taklif qilgan xayolparast(xayoliy). Shuningdek, u barcha standart funktsiyalarni murakkab domenga kengaytirdi, ya'ni. shaklda ifodalanadigan raqamlar to'plami a+ib, Qayerda a Va b haqiqiy sonlardir. "Murakkab son" atamasi 1831 yilda nemis matematigi Karl Gauss tomonidan keng qo'llanila boshlandi, garchi bu atama ilgari 1803 yilda frantsuz matematigi Lazar Karno tomonidan xuddi shu ma'noda ishlatilgan.

Birlik vektorlari. V. Gamilton (1853).

Birlik vektorlari ko'pincha koordinata tizimining koordinata o'qlari bilan bog'lanadi (xususan, Dekart koordinata tizimining o'qlari bilan). O'q bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektori X, belgilangan i, eksa bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektor Y, belgilangan j, va o'q bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektori Z, belgilangan k. Vektorlar i, j, k orts deb ataladi, ular identifikatsiya modullariga ega. "Ort" atamasi ingliz matematiki va muhandisi Oliver Xevisayd (1892) tomonidan kiritilgan va yozuv i, j, k Irlandiyalik matematik Uilyam Hamilton.

Sonning butun qismi, antie. K. Gauss (1808).

X sonining [x] sonining butun qismi x dan oshmaydigan eng katta butun sondir. Demak, =5, [-3,6]=-4. [x] funksiyasi “x ga qarshi” deb ham ataladi. Butun qism funksiya belgisi 1808 yilda Karl Gauss tomonidan kiritilgan. Ba'zi matematiklar o'rniga 1798 yilda Legendre tomonidan taklif qilingan E (x) belgisidan foydalanishni afzal ko'rishadi.

Parallellik burchagi. N.I. Lobachevskiy (1835).

Lobachevskiy tekisligida - chiziq orasidagi burchakbnuqtadan o'tishHAQIDAto'g'ri chiziqqa parallela, nuqtadan iborat emasHAQIDA, va dan perpendikulyarHAQIDA yoqilgan a. α bu perpendikulyarning uzunligi. Nuqta olib tashlanganligi sababliHAQIDA to'g'ridan-to'g'ri aparallellik burchagi 90° dan 0° gacha kamayadi. Lobachevskiy parallellik burchagi formulasini berdiP( α )=2arctg e - α /q , Qayerda q Lobachevskiy fazosining egriligi bilan bog'liq bo'lgan ba'zi doimiydir.

Noma'lum yoki o'zgaruvchan miqdorlar. R. Dekart (1637).

Matematikada o'zgaruvchi - bu qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami bilan tavsiflangan miqdor. Bu vaqtincha fizik kontekstdan ajratilgan holda ko'rib chiqilgan haqiqiy jismoniy miqdorni ham, haqiqiy dunyoda o'xshashi bo'lmagan ba'zi mavhum miqdorni ham anglatishi mumkin. O'zgaruvchi tushunchasi 17-asrda paydo bo'lgan. dastlab tabiatshunoslik talablari ta’sirida bo‘lib, u faqat holatlarni emas, balki harakat, jarayonlarni o‘rganishni birinchi o‘ringa olib chiqdi. Bu kontseptsiya o'zining ifodalanishi uchun yangi shakllarni talab qildi. Rene Dekartning literal algebrasi va analitik geometriyasi ana shunday yangi shakllar edi. Birinchi marta to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasi va x, y yozuvi Rene Dekart tomonidan 1637 yilda o‘zining “Usul haqida so‘z” asarida kiritilgan. Per Ferma ham koordinata usulining rivojlanishiga hissa qo'shgan, ammo uning ishi birinchi marta vafotidan keyin nashr etilgan. Dekart va Ferma koordinata usulidan faqat tekislikda foydalandilar. Uch o'lchovli makon uchun koordinata usuli birinchi marta 18-asrda Leonhard Eyler tomonidan qo'llanilgan.

Vektor. O.Koshi (1853).

Eng boshidan vektor deganda kattalik, yo'nalish va (ixtiyoriy) qo'llash nuqtasi bo'lgan ob'ekt tushuniladi. Vektor hisobining boshlanishi Gaussda (1831) kompleks sonlarning geometrik modeli bilan birga paydo bo'ldi. Vektorlar bo'yicha ilg'or operatsiyalar Gamilton tomonidan o'zining kvaternion hisobining bir qismi sifatida nashr etilgan (kvarternionning xayoliy komponentlari vektor hosil qilgan). Bu atamani Hamilton kiritgan vektor(lotincha so'zdan vektor, tashuvchi) va ba'zi vektor tahlil operatsiyalarini tasvirlab berdi. Ushbu formalizm Maksvell tomonidan elektromagnetizmga oid asarlarida qo'llanilgan va shu bilan olimlar e'tiborini yangi hisob-kitoblarga qaratgan. Tez orada Gibbsning Vektor tahlilining elementlari (1880-yillar) paydo bo'ldi va keyin Heaviside (1903) vektor tahliliga zamonaviy ko'rinish berdi. Vektor belgisining o'zi 1853 yilda frantsuz matematigi Avgustin Lui Koshi tomonidan kiritilgan.

Qo'shish, ayirish. J. Vidman (1489).

Ko'rinishidan, ortiqcha va minus belgilari nemis "kossistlar" (ya'ni algebraistlar) matematik maktabida ixtiro qilingan. Ular Yan (Iohannes) Vidmanning 1489 yilda nashr etilgan “Barcha savdogarlar uchun tez va yoqimli hisob” darsligida qo'llaniladi. Bundan oldin qo'shimcha harf bilan belgilangan p(lotin tilidan ortiqcha"ko'proq") yoki lotincha so'z va boshqalar("va" birikmasi) va ayirish - harf bilan m(lotin tilidan minus"kamroq, kamroq"). Vidmanda plyus belgisi nafaqat qo'shimchani, balki "va" birlashmasini ham almashtiradi. Ushbu belgilarning kelib chiqishi noma'lum, ammo ular ilgari savdoda foyda va zarar belgisi sifatida ishlatilgan. Tez orada ikkala ramz ham Evropada keng tarqalgan bo'lib qoldi - Italiya bundan mustasno, u eski belgilarni taxminan bir asr davomida ishlatgan.

Ko'paytirish. V.Outred (1631), G.Leybnits (1698).

Eğimli xoch ko'rinishidagi ko'paytirish belgisi 1631 yilda ingliz Uilyam Outred tomonidan kiritilgan. Undan oldin, eng ko'p ishlatiladigan harf M, garchi boshqa belgilar ham taklif qilingan bo'lsa-da: to'rtburchakning ramzi (frantsuz matematigi Erigon, 1634), yulduzcha (shveytsariyalik matematik Iogan Rahn, 1659). Keyinchalik Gotfrid Vilgelm Leybnits harf bilan adashmaslik uchun xochni nuqta bilan almashtirdi (17-asr oxiri). x; undan oldin bunday ramziylikni nemis astronomi va matematigi Regiomontanus (XV asr) va ingliz olimi Tomas Xarriot (1560 -1621) topgan.

Bo'lim. I.Ran (1659), G.Leybnits (1684).

Uilyam Outred bo'linish belgisi sifatida / slashdan foydalangan. Yo'g'on ichak bo'limi Gotfrid Leybnitsni bildira boshladi. Ulardan oldin xat ham tez-tez ishlatilgan D. Fibonachchidan boshlab, fraksiyaning gorizontal chizig'i ham qo'llaniladi, bu Heron, Diophantus tomonidan va arab yozuvlarida ishlatilgan. Angliya va Qo'shma Shtatlarda 1659 yilda Iogan Rahn (ehtimol Jon Pell ishtirokida) taklif qilgan ÷ (obelus) belgisi keng tarqaldi. Matematik standartlar bo'yicha Amerika milliy qo'mitasining urinishi ( Matematik talablar milliy qo'mitasi) obelusni amaliyotdan olib tashlash (1923) natijasiz edi.

Foiz. M. de la Port (1685).

Birlik sifatida olingan butunning yuzdan bir qismi. "Foiz" so'zining o'zi lotincha "pro centum" dan kelib chiqqan bo'lib, "yuz" degan ma'noni anglatadi. 1685 yilda Parijda Matye de la Portning "Tijorat arifmetikasi qo'llanmasi" kitobi nashr etildi. Bir joyda, bu foizlar haqida edi, keyin "cto" (cento uchun qisqa) degan ma'noni anglatadi. Biroq, yozuvchi bu "cto" ni kasr deb adashib, "%" deb yozgan. Shunday qilib, matn terish xatosi tufayli bu belgi qo'llanila boshlandi.

Darajalar. R. Dekart (1637), I. Nyuton (1676).

Ko'rsatkichning zamonaviy yozuvi Rene Dekart tomonidan o'zining " geometriyalar"(1637), ammo ko'rsatkichlari 2 dan katta bo'lgan tabiiy kuchlar uchun. Keyinchalik, Isaak Nyuton bu yozuv shaklini manfiy va kasr ko'rsatkichlarga kengaytirdi (1676), talqini shu vaqtga qadar taklif qilingan: Flaman matematiki va muhandis Simon Stevin, ingliz matematigi Jon Vallis va frantsuz matematigi Albert Jirard.

arifmetik ildiz n haqiqiy sonning th darajasi A≥0, - manfiy bo'lmagan son n--chi darajaga teng A. 2-darajali arifmetik ildiz kvadrat ildiz deyiladi va darajani ko'rsatmasdan yozilishi mumkin: √. 3-darajali arifmetik ildiz kub ildiz deyiladi. O'rta asr matematiklari (masalan, Kardano) kvadrat ildizni R x belgisi bilan belgilagan (lotin tilidan olingan). Radiks, ildiz). Zamonaviy belgi birinchi marta 1525 yilda Kossist maktabidan nemis matematigi Kristof Rudolf tomonidan ishlatilgan. Bu belgi xuddi shu so'zning stilize qilingan birinchi harfidan kelib chiqqan radix. Radikal ifoda ustidagi chiziq dastlab yo'q edi; uni keyinchalik Dekart (1637) boshqa maqsadda (qavslar o'rniga) kiritgan va bu xususiyat tez orada ildiz belgisi bilan birlashgan. 16-asrda kub ildizi quyidagicha belgilangan: R x .u.cu (lot. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) ixtiyoriy darajaning ildizi uchun odatiy belgidan foydalanishni boshladi. Ushbu format Isaak Nyuton va Gotfrid Leybnits tufayli yaratilgan.

Logarifm, o'nlik logarifm, natural logarifm. I. Kepler (1624), B. Kavalyeri (1632), A. Prinsheym (1893).

"Logarifm" atamasi shotland matematigi Jon Nepierga tegishli. "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi", 1614); u yunoncha ligos (so'z, munosabat) va arifthmos (son) so'zlarining birikmasidan kelib chiqqan. J. Napier logarifmi ikki sonning nisbatini o'lchash uchun yordamchi sondir. Logarifmning zamonaviy ta'rifini birinchi marta ingliz matematigi Uilyam Gardiner (1742) bergan. Ta'rifga ko'ra, sonning logarifmi b sabab bilan a (a ≠ 1, a > 0) - ko'rsatkich m, bu raqamni oshirish kerak a(logarifm asosi deb ataladi) olish uchun b. Belgilangan log a b. Shunday qilib, m = log a b, Agar a m = b.

O'nlik logarifmlarning birinchi jadvallari 1617 yilda Oksford matematika professori Genri Briggs tomonidan nashr etilgan. Shuning uchun chet elda o'nlik logarifmlar ko'pincha briglar deb ataladi. "Tabiiy logarifm" atamasi Pietro Mengoli (1659) va Nikolas Merkator (1668) tomonidan kiritilgan, garchi londonlik matematika o'qituvchisi Jon Spidell 1619 yildayoq natural logarifmlar jadvalini tuzgan.

Oldin kech XIX asrda logarifm, asos uchun umumiy qabul qilingan yozuv yo'q edi a belgisining chap tomonida va tepasida ko'rsatilgan jurnal, keyin ustiga. Oxir-oqibat, matematiklar taglik uchun eng qulay joy belgidan keyin chiziq ostida joylashgan degan xulosaga kelishdi. jurnal. Logarifmning belgisi - "logarifm" so'zining qisqarishi natijasi - bu erda uchraydi. har xil turlari masalan, logarifmlarning birinchi jadvallari paydo bo'lishi bilan deyarli bir vaqtning o'zida Jurnal- I. Kepler (1624) va G. Briggs (1631), jurnal- B. Kavaleri (1632). Belgilanish ln chunki natural logarifmni nemis matematigi Alfred Pringsheym (1893) kiritgan.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens. V.Outred (17-asr oʻrtalari), I.Bernulli (18-asr), L.Eyler (1748, 1753).

Sinus va kosinusning qisqartmasi 17-asr oʻrtalarida Uilyam Outred tomonidan kiritilgan. Tangens va kotangens uchun qisqartmalar: tg, ctg 18-asrda Iogan Bernoulli tomonidan kiritilgan, ular Germaniya va Rossiyada keng tarqalgan. Boshqa mamlakatlarda bu funktsiyalarning nomlari qo'llaniladi. tan, karavot Albert Girard tomonidan ilgari, 17-asr boshlarida taklif qilingan. Leonard Euler (1748, 1753) trigonometrik funktsiyalar nazariyasini zamonaviy shaklga keltirdi va biz unga haqiqiy simvolizmni mustahkamlashimiz uchun ham qarzdormiz."Trigonometrik funktsiyalar" atamasi 1770 yilda nemis matematigi va fizigi Georg Simon Klugel tomonidan kiritilgan.

Hindiston matematiklarining sinus chizig'i dastlab deb nomlangan "arha jiva"("yarim simli", ya'ni akkordning yarmi), keyin so'z "archa" tashlandi va sinus chizig'i oddiygina chaqirila boshlandi "jiva". Arab tarjimonlari bu so‘zni tarjima qilmaganlar "jiva" Arabcha so'z "vatar", kamon va akkordni bildiradi va arab harflari bilan yoziladi va sinus chizig'ini chaqira boshladi. "jiba". Chunki arab tilida qisqa unlilar ko'rsatilmagan, so'zda esa uzun "va" "jiba""y" yarim unlisi bilan bir xil tarzda ifodalangan, arablar sinus qator nomini talaffuz qila boshladilar. "jibe", bu so'zma-so'z "bo'shliq", "ko'krak" degan ma'noni anglatadi. Arab tilidagi asarlarni lotin tiliga tarjima qilganda, yevropalik tarjimonlar bu so‘zni tarjima qilganlar "jibe" Lotin so'zi sinus, bir xil ma'noga ega."Tangent" atamasi (lot.tangenslar- teginish) daniyalik matematik Tomas Finke tomonidan o'zining "Davra geometriyasi" (1583) asarida kiritilgan.

Arksin. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).

Teskari trigonometrik funksiyalar - trigonometrik funktsiyalarga teskari bo'lgan matematik funktsiyalar. Teskari trigonometrik funktsiyaning nomi tegishli trigonometrik funktsiya nomidan "arc" prefiksini qo'shish orqali hosil bo'ladi (lat. yoy- yoy).Teskari trigonometrik funksiyalar odatda oltita funktsiyani o'z ichiga oladi: arksinus (arksin), arkkosin (arccos), arktangent (arctg), arkkotangent (arcctg), arksekant (arksekant) va arksekant (arccosec). Birinchi marta teskari trigonometrik funksiyalar uchun maxsus belgilar Daniel Bernulli (1729, 1736) tomonidan ishlatilgan.Teskari trigonometrik funksiyalarni prefiks bilan belgilash usuli yoy(latdan. yoy, arc) avstriyalik matematik Karl Sherferda paydo bo'lgan va frantsuz matematigi, astronomi va mexaniki Jozef Lui Lagranj tufayli mustahkam o'rin egallagan. Bu, masalan, odatiy sinus sizga aylana yoyi bo'ylab cho'zilgan akkordni topishga imkon beradi va teskari funktsiya qarama-qarshi masalani hal qiladi. 19-asrning oxirigacha ingliz va nemis matematika maktablari boshqa belgilarni taklif qildilar: sin -1 va 1/sin, lekin ular keng qo'llanilmaydi.

Giperbolik sinus, giperbolik kosinus. V. Rikkati (1757).

Tarixchilar giperbolik funksiyalarning birinchi ko'rinishini ingliz matematigi Avraam de Moivr (1707, 1722) asarlarida aniqladilar. Ularning zamonaviy ta'rifi va batafsil o'rganilishi italiyalik Vinchenzo Rikkati tomonidan 1757 yilda "Opusculorum" asarida amalga oshirilgan bo'lib, u ularni belgilashni ham taklif qilgan: sh,ch. Rikkati bitta giperbolani ko'rib chiqishdan chiqdi. Giperbolik funktsiyalarning xususiyatlarini mustaqil kashfiyot va keyingi o'rganishni nemis matematigi, fizigi va faylasufi Iogann Lambert (1768) amalga oshirdi, u oddiy va giperbolik trigonometriya formulalari o'rtasida keng parallellik o'rnatdi. N.I. Lobachevskiy keyinchalik bu parallelizmdan foydalanib, oddiy trigonometriya giperbolik bilan almashtirilgan Evklid bo'lmagan geometriyaning izchilligini isbotlashga harakat qildi.

Trigonometrik sinus va kosinus koordinata aylanasidagi nuqtaning koordinatalari bo'lgani kabi, giperbolik sinus va kosinus ham giperboladagi nuqtaning koordinatalari hisoblanadi. Giperbolik funktsiyalar ko'rsatkich bilan ifodalanadi va trigonometrik funktsiyalar bilan chambarchas bog'liq: sh(x)=0,5(e x-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Trigonometrik funktsiyalarga o'xshab, giperbolik tangens va kotangens mos ravishda giperbolik sinus va kosinus, kosinus va sinus nisbati sifatida aniqlanadi.

Differensial. G. Leybnits (1675, matbuotda 1684).

Funktsiya o'sishining asosiy, chiziqli qismi.Agar funktsiya y=f(x) bitta o'zgaruvchi x da mavjud x=x0hosila va o'sishDy \u003d f (x 0 +? x) -f (x 0)funktsiyalari f(x) sifatida ifodalanishi mumkinDy \u003d f "(x 0) Dx + R (Dx) , qaerda a'zo R bilan solishtirganda cheksiz kichikDx. Birinchi a'zody=f"(x 0 )Dxbu kengayishda funksiyaning differensiali deyiladi f(x) nuqtadax0. IN Gotfrid Leybnits, Yakob va Iogan Bernulli so'zining asarlari"differentsiya"o‘sish ma’nosida ishlatilgan, I. Bernulli D orqali ifodalagan. G. Leybnits (1675, 1684 yilda nashr etilgan) "cheksiz kichik farq" belgisini ishlatgan.d- so'zning birinchi harfi"differensial"dan tashkil topgan"differentsiya".

Noaniq integral. G. Leybnits (1675, matbuotda 1686).

"Integral" so'zini birinchi marta bosma nashrlarda Yakob Bernulli (1690) ishlatgan. Ehtimol, bu atama lotin tilidan olingan butun son- butun. Boshqa bir taxminga ko'ra, asos lotincha so'z edi integro- qayta tiklash, tiklash. ∫ belgisi matematikada integralni belgilash uchun ishlatiladi va lotincha so'zning birinchi harfining stilize qilingan tasviridir. xulosa - so'm. U birinchi marta 17-asr oxirida differensial va integral hisobining asoschisi, nemis matematigi Gotfrid Leybnits tomonidan qo'llanilgan. Differensial va integral hisoblash asoschilaridan yana biri Isaak Nyuton o'z asarlarida integralning muqobil ramziyligini taklif qilmagan, garchi u turli variantlarni sinab ko'rgan bo'lsa-da: funktsiya ustidagi vertikal chiziq yoki funktsiya oldida turgan kvadrat belgisi yoki chegaralaydi. Funktsiya uchun noaniq integral y=f(x) berilgan funksiyaning barcha antiderivativlari yig'indisidir.

Aniq integral. J. Furye (1819-1822).

Funktsiyaning aniq integrali f(x) pastki chegara bilan a va yuqori chegara b farq sifatida belgilanishi mumkin F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Qayerda F(x)- ba'zi antiderivativ funktsiya f(x) . Aniq integral a ∫ b f(x)dx son jihatdan x o'qi, to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydoniga teng x=a Va x=b va funksiya grafigi f(x). Aniq integralning bizga tanish ko'rinishdagi loyihasini frantsuz matematigi va fizigi Jan Baptist Jozef Furye taklif qilgan. XIX boshi asr.

Hosil. G. Leybnits (1675), J. Lagranj (1770, 1779).

Hosila - funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflovchi differentsial hisobning asosiy tushunchasi f(x) argument o'zgarganda x . Bu funktsiya o'sishining uning argumentining o'sishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlanadi, chunki agar bunday chegara mavjud bo'lsa, argumentning o'sishi nolga moyil bo'ladi. Bir nuqtada chekli hosilasi bo'lgan funksiya shu nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. Hosilni hisoblash jarayoni differentsiatsiya deb ataladi. Teskari jarayon integratsiyadir. Klassik differentsial hisoblashda hosila ko'pincha chegaralar nazariyasi tushunchalari orqali aniqlanadi, ammo tarixan chegaralar nazariyasi differensial hisobdan kechroq paydo bo'lgan.

"Loyima" atamasi 1797 yilda Jozef Lui Lagrange tomonidan kiritilgan; dy/dx- Gotfrid Leybnits 1675 yilda. Harf ustidagi nuqta bilan hosilani vaqtga nisbatan belgilash usuli Nyutondan (1691) kelgan.Ruscha "funktsiyaning hosilasi" atamasi birinchi marta rus matematiki tomonidan ishlatilganVasiliy Ivanovich Viskovatov (1779-1812).

Xususiy hosila. A. Legendre (1786), J. Lagranj (1797, 1801).

Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari uchun qisman hosilalar aniqlanadi - qolgan argumentlar doimiy deb hisoblangan argumentlardan biriga nisbatan hosilalar. Belgilash ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y 1786 yilda frantsuz matematigi Adrien Mari Legendre tomonidan kiritilgan; fx",zx"- Jozef Lui Lagranj (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ y- ikkinchi tartibli qisman hosilalar - nemis matematigi Karl Gustav Yakob Yakobi (1837).

Farq, o'sish. I. Bernulli (17-asr oxiri - 18-asrning birinchi yarmi), L. Eyler (1755).

O'sishning D harfi bilan belgilanishi birinchi marta shveytsariyalik matematik Iogan Bernulli tomonidan qo'llanilgan. IN umumiy amaliyot Delta belgisidan foydalanish 1755 yilda Leonhard Eyler ishidan keyin paydo bo'ldi.

so'm. L. Eyler (1755).

Yig'indi qiymatlarni qo'shish natijasidir (raqamlar, funktsiyalar, vektorlar, matritsalar va boshqalar). n ta a 1, a 2, ..., a n sonlarining yig‘indisini belgilash uchun yunoncha “sigma” S harfi ishlatiladi: a 1 + a 2 + ... + a n = S n i=1 a i = S n 1 a i. Yig'indi uchun S belgisi 1755 yilda Leonhard Eyler tomonidan kiritilgan.

Ish. K. Gauss (1812).

Mahsulot ko'paytirish natijasidir. n ta a 1, a 2, ..., a n sonlarning koʻpaytmasini belgilash uchun yunoncha “pi” P harfi ishlatiladi: a 1 a 2 ... a n = n n i=1 a i = n n 1 a i . Masalan, 1 3 5 ... 97 99 =? 50 1 (2i-1). Mahsulot uchun n belgisi 1812 yilda nemis matematigi Karl Gauss tomonidan kiritilgan. Rus matematik adabiyotida "ish" atamasi birinchi marta 1703 yilda Leonti Filippovich Magnitskiy tomonidan uchragan.

Faktorial. K.Krump (1808).

n sonining faktoriali (belgilangan n!, "en faktorial" deb talaffuz qilinadi) n gacha bo'lgan barcha natural sonlarning ko'paytmasi: n! = 1 2 3 ... n. Masalan, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Ta'rifi bo'yicha 0! = 1. Faktorial faqat manfiy bo'lmagan butun sonlar uchun aniqlanadi. n sonning faktoriali n ta elementning almashinishlari soniga teng. Masalan, 3! = 6, albatta,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Uch elementning barcha oltita va faqat oltita almashtirishlari.

"Faktorial" atamasi frantsuz matematigi va siyosatchisi Lui Fransua Antuan Arbogast (1800) tomonidan kiritilgan bo'lib, n! - fransuz matematigi Kristian Kramp (1808).

Modul, mutlaq qiymat. K. Weierstrass (1841).

Modul, haqiqiy sonning mutlaq qiymati x - manfiy bo'lmagan son quyidagicha aniqlanadi: |x| = x ≥ 0 uchun va |x| = -x uchun x ≤ 0. Masalan, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Kompleks sonning moduli z = a + ib √ (a 2 + b 2) ga teng haqiqiy sondir.

Taxminlarga ko'ra, "modul" atamasi ingliz matematiki va faylasufi, Nyutonning shogirdi Rojer Kotes tomonidan qo'llanilishini taklif qilgan. Gotfrid Leybnits ham ushbu funktsiyadan foydalangan, u "modul" deb atagan va quyidagicha belgilagan: mol x. Mutlaq qiymat uchun umumiy qabul qilingan belgi 1841 yilda nemis matematigi Karl Veyershtras tomonidan kiritilgan. Kompleks sonlar uchun bu tushunchani 19-asr boshlarida frantsuz matematiklari Avgustin Koshi va Jan Robert Argan kiritgan. 1903 yilda avstriyalik olim Konrad Lorenz vektor uzunligi uchun xuddi shu simvolizmdan foydalangan.

Norm. E. Shmidt (1908).

Norm bu vektor fazoda aniqlangan va vektor uzunligi yoki son moduli tushunchasini umumlashtiruvchi funktsiyadir. “Norm” belgisi (lotincha “norma” – “qoida”, “namuna” soʻzidan) 1908 yilda nemis matematigi Erxard Shmidt tomonidan kiritilgan.

Cheklash. S. Luillier (1786), V. Gamilton (1853), ko'plab matematiklar (20-asr boshlarigacha)

Limit - matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biri bo'lib, ko'rib chiqilayotgan o'zgaruvchan qiymat uning o'zgarishi jarayonida ma'lum bir doimiy qiymatga cheksiz yaqinlashadi. Cheklash tushunchasi 17-asrning ikkinchi yarmida Isaak Nyuton, shuningdek, Leonhard Eyler va Jozef Lui Lagranj kabi 18-asr matematiklari tomonidan intuitiv ravishda ishlatilgan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qat'iy ta'riflari 1816 yilda Bernard Bolzano va 1821 yilda Avgustin Koshi tomonidan berilgan. Lim belgisi (lotincha limes - chegara so'zining dastlabki 3 ta harfi) 1787 yilda shveytsariyalik matematik Simon Antoine Jan Lhuillier bilan paydo bo'lgan, ammo uning qo'llanilishi hali zamonaviyga o'xshamasdi. Bizga ko'proq tanish bo'lgan lim iborasi birinchi marta 1853 yilda irlandiyalik matematik Uilyam Hamilton tomonidan ishlatilgan.Weierstrass zamonaviyga yaqin belgini kiritdi, lekin odatdagi o'q o'rniga u teng belgisini ishlatdi. O'q 20-asrning boshlarida bir vaqtning o'zida bir nechta matematiklar bilan paydo bo'lgan - masalan, 1908 yilda ingliz matematigi Godfrid Hardi bilan.

Zeta funktsiyasi, d Riemann zeta funktsiyasi. B. Rimann (1857).

s = s + it kompleks o'zgaruvchining analitik funktsiyasi, s > 1 uchun, mutlaq va bir xil yaqinlashuvchi Dirixle qatori bilan aniqlanadi:

z(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

s > 1 uchun Eyler mahsuloti ko'rinishidagi tasvir amal qiladi:

z(lar) = n p (1-p -s) -s ,

bunda mahsulot barcha tub sonlar ustida olinadi p. Zeta funktsiyasi sonlar nazariyasida katta rol o'ynaydi.Haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida zeta funktsiyasi 1737 yilda (1744 yilda nashr etilgan) L. Eyler tomonidan kiritilgan bo'lib, uning mahsulotga parchalanishini ko'rsatdi. Keyin bu funktsiyani nemis matematigi L. Dirichlet va ayniqsa, rus matematigi va mexaniki P.L. Chebishev tub sonlarning taqsimot qonunini o'rganishda. Biroq zeta funksiyasining eng chuqur xossalari keyinroq, nemis matematigi Georg Fridrix Bernxard Riman (1859) ishidan so‘ng ochildi, bu yerda zeta funksiyasi kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida ko‘rib chiqildi; u 1857 yilda "zeta funktsiyasi" nomini va z(s) belgisini ham kiritgan.

Gamma funksiyasi, Eyler D-funksiyasi. A. Legendre (1814).

Gamma funksiya - bu faktorial tushunchani kompleks sonlar maydoniga kengaytiruvchi matematik funktsiya. Odatda D(z) bilan belgilanadi. z-funksiya birinchi marta 1729 yilda Leonhard Eyler tomonidan kiritilgan; formula bilan aniqlanadi:

D(z) = limn→∞ n!n z /z(z+1)...(z+n).

Ko'p sonli integrallar, cheksiz hosilalar va qatorlar yig'indilari G-funktsiyasi orqali ifodalanadi. Analitik sonlar nazariyasida keng qo'llaniladi. "Gamma funktsiyasi" nomi va D(z) belgisi 1814 yilda frantsuz matematigi Adrien Mari Legendre tomonidan taklif qilingan.

Beta funktsiyasi, B funktsiyasi, Eyler B funktsiyasi. J. Binet (1839).

Ikki o‘zgaruvchining p va q funksiyasi, p>0, q>0 uchun tenglik bilan aniqlangan:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Beta funksiyani D-funksiya bilan ifodalash mumkin: V(p, q) = D(p)G(q)/G(p+q).Butun sonlar uchun gamma funksiya faktorialni umumlashtirish bo‘lgani kabi, beta funksiya ham ma’lum ma’noda binom koeffitsientlarini umumlashtirishdir.

Ko'pgina xususiyatlar beta funksiyasi yordamida tasvirlangan.elementar zarralar ishtirok etish kuchli o'zaro ta'sir. Bu xususiyatni italyan nazariy fizigi payqaganGabriele Veneziano 1968 yilda. Boshlandi torlar nazariyasi.

"Beta-funksiya" nomi va B(p, q) yozuvi 1839 yilda frantsuz matematigi, mexaniki va astronomi Jak Filipp Mari Binet tomonidan kiritilgan.

Laplas operatori, Laplas. R. Merfi (1833).

X 1, x 2, ..., x n o‘zgaruvchilardan ph (x 1, x 2, ..., x n) funksiyasini bajaradigan D chiziqli differentsial operatori funktsiyani bog‘laydi:

Dph \u003d ∂ 2 ph / ∂x 1 2 + ∂ 2 ph / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 ph / ∂x n 2.

Xususan, bitta o‘zgaruvchining ph(x) funksiyasi uchun Laplas operatori 2-hosilning operatori bilan mos tushadi: Dph = d 2 ph/dx 2 . Dph = 0 tenglama odatda Laplas tenglamasi deb ataladi; bu erda "Laplas operatori" yoki "Laplas" nomlari kelib chiqadi. D belgisi 1833 yilda ingliz fizigi va matematigi Robert Merfi tomonidan kiritilgan.

Gamilton operatori, nabla operatori, Gamiltonian. O. Xevisayd (1892).

Shaklning vektor differentsial operatori

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,

Qayerda i, j, Va k- koordinata vektorlari. Nabla operatori orqali vektor tahlilining asosiy operatsiyalari, shuningdek, Laplas operatori tabiiy tarzda ifodalanadi.

1853 yilda irland matematigi Uilyam Rouen Hamilton ushbu operatorni taqdim etdi va uning uchun ∇ belgisini teskari yunoncha D (delta) harfi shaklida kiritdi. Gamiltonda ramzning nuqtasi chap tomonga ishora qilgan; keyinchalik Shotlandiya matematigi va fizigi Piter Gutri Teytning asarlarida ramz zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi. Hamilton bu belgini "atled" so'zi deb atadi ("delta" so'zi orqaga o'qiladi). Keyinchalik ingliz olimlari, jumladan, Oliver Xevisayd bu belgini Finikiya alifbosidagi ∇ harfi kelgan joyda nomidan keyin "nabla" deb atashni boshladilar. Harfning kelib chiqishi arfa kabi musiqa asbobi bilan bog'liq bo'lib, qadimiy yunoncha nabla (nabla) "arfa" degan ma'noni anglatadi. Operator Gamilton operatori yoki nabla operatori deb nomlangan.

Funktsiya. I. Bernulli (1718), L. Eyler (1734).

To'plamlar elementlari orasidagi munosabatni aks ettiruvchi matematik tushuncha. Aytishimiz mumkinki, funktsiya bu "qonun", "qoida" bo'lib, unga ko'ra bir to'plamning har bir elementi (ta'rif sohasi deb ataladi) boshqa to'plamning biron bir elementi (qiymatlar sohasi deb ataladi) bilan bog'lanadi. Funktsiyaning matematik kontseptsiyasi bir miqdor boshqa miqdorning qiymatini qanday to'liq aniqlashi haqidagi intuitiv fikrni ifodalaydi. Ko'pincha "funktsiya" atamasi sonli funktsiyani anglatadi; ya'ni ba'zi raqamlarni boshqalar bilan bir qatorga qo'yadigan funktsiya. Uzoq vaqt davomida matematiklar qavssiz dalillar keltirdilar, masalan, bu kabi - phx. Ushbu belgi birinchi marta 1718 yilda shveytsariyalik matematik Iogan Bernulli tomonidan qo'llanilgan.Qavslar faqat argumentlar ko'p bo'lsa yoki argument murakkab ifoda bo'lsa ishlatilgan. O'sha davrlarning aks-sadolari keng tarqalgan va hozirda qayd etilgansin x, lg xva hokazo. Ammo asta-sekin qavslardan foydalanish f(x) ga aylandi umumiy qoida. Bunda asosiy xizmat Leonhard Eylerga tegishli.

Tenglik. R. Rekord (1557).

Tenglik belgisi 1557 yilda uelslik shifokor va matematik Robert Rekord tomonidan taklif qilingan; qahramonning konturi hozirgisidan ancha uzunroq edi, chunki u ikkita parallel segmentlar tasviriga taqlid qilgan. Muallif dunyoda bir xil uzunlikdagi ikkita parallel segmentdan ko'ra tengroq narsa yo'qligini tushuntirdi. Bungacha qadimgi va o‘rta asrlar matematikasida tenglik og‘zaki ifodalangan (masalan, est egale). 17-asrda Rene Dekart æ dan (lat. aequalis), va u koeffitsient manfiy bo'lishi mumkinligini ko'rsatish uchun zamonaviy tenglik belgisidan foydalangan. Fransua Viet ayirishni tenglik belgisi bilan belgiladi. Rekordning ramzi darhol tarqalmadi. Rekord belgisining tarqalishiga qadim zamonlardan beri xuddi shu belgidan chiziqlar parallelligini ko'rsatish uchun foydalanilganligi to'sqinlik qilgan; oxirida parallelizm ramzini vertikal qilishga qaror qilindi. Kontinental Evropada "=" belgisi Gotfrid Leybnits tomonidan faqat 17-18-asrlar oxirida, ya'ni Robert Rekord vafotidan 100 yildan ko'proq vaqt o'tgach, uni birinchi marta ishlatgan.

Taxminan bir xil, taxminan bir xil. A. Gyunter (1882).

Imzo" ≈" 1882 yilda nemis matematigi va fizigi Adam Vilgelm Zigmund Gyunter tomonidan "tenglik haqida" munosabatlarining ramzi sifatida kiritilgan.

Ko'proq kamroq. T. Xarriot (1631).

Bu ikki belgi 1631 yilda ingliz astronomi, matematigi, etnografi va tarjimoni Tomas Xarriot tomonidan foydalanishga kiritilgan, undan oldin "ko'proq" va "kamroq" so'zlari ishlatilgan.

Taqqoslash qobiliyati. K. Gauss (1801).

Taqqoslash - ikki butun n va m sonlar orasidagi nisbat, ya'ni bu sonlarning n-m ayirmasi berilgan butun a soniga bo'linib, taqqoslash moduli deb ataladi; u yoziladi: n≡m(mod a) va "n va m raqamlari taqqoslanadigan modul a" deb o'qiladi. Masalan, 3≡11(mod 4), chunki 3-11 4 ga bo'linadi; 3 va 11 raqamlari mos modul 4. Taqqoslashlar tengliklarga o'xshash ko'plab xususiyatlarga ega. Demak, taqqoslashning bir qismidagi atama qarama-qarshi belgi bilan boshqa qismga o'tkazilishi va bir xil modulli taqqoslashlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish, taqqoslashning ikkala qismini bir xil songa ko'paytirish va hokazo. Masalan,

3≡9+2 (mod 4) va 3-2≡9 (mod 4)

Shu bilan birga haqiqiy taqqoslashlar. Va 3≡11 (mod 4) va 1≡5 (mod 4) juft haqiqiy taqqoslashlardan quyidagining to'g'riligi quyidagicha:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3 1≡11 5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3 23≡11 23(mod 4)

Raqamlar nazariyasida turli xil taqqoslashlarni echish usullari ko'rib chiqiladi, ya'ni. u yoki bu turdagi taqqoslashni qanoatlantiradigan butun sonlarni topish usullari. Modullarni taqqoslash birinchi marta nemis matematigi Karl Gauss tomonidan 1801 yilda chop etilgan "Arifmetik tadqiqotlar" kitobida ishlatilgan. U, shuningdek, taqqoslash uchun matematikada o'rnatilgan simvolizmni taklif qildi.

Identifikatsiya. B. Rimann (1857).

Identifikatsiya - ikkita analitik ifodaning tengligi, unga kiritilgan harflarning har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun amal qiladi. a+b = b+a tengligi a va b ning barcha sonli qiymatlari uchun amal qiladi va shuning uchun bir xillik hisoblanadi. Shaxslarni qayd qilish uchun ba'zi hollarda 1857 yildan boshlab "≡" ("bir xil teng" deb o'qing) belgisi qo'llanilgan, uning muallifi nemis matematigi Georg Fridrix Bernxard Rimanndir. Yozilishi mumkin a+b ≡ b+a.

Perpendikulyarlik. P.Erigon (1634).

Perpendikulyarlik - ikkita to'g'ri chiziq, tekislik yoki to'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro joylashishi, bu raqamlar to'g'ri burchak hosil qiladi. Perpendikulyarlikni bildirish uchun ⊥ belgisi 1634 yilda frantsuz matematiki va astronomi Per Erigon tomonidan kiritilgan. Perpendikulyarlik tushunchasi bir qator umumlashmalarga ega, ammo ularning barchasi, qoida tariqasida, ⊥ belgisi bilan birga keladi.

Parallellik. V. Outred (1677 yil vafotidan keyin nashri).

Parallellik - ayrim geometrik shakllar orasidagi munosabat; masalan, to'g'ri chiziqlar. Turli geometriyalarga qarab turlicha aniqlanadi; masalan, Evklid geometriyasida va Lobachevskiy geometriyasida. Parallelizm belgisi qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lib, uni Heron va Iskandariya Pappus ishlatgan. Dastlab, ramz joriy tenglik belgisiga o'xshardi (faqat kengaytirilgan), ammo ikkinchisining paydo bo'lishi bilan chalkashmaslik uchun belgi vertikal || aylantirildi. Ushbu shaklda birinchi marta 1677 yilda ingliz matematigi Uilyam Outred asarlarining vafotidan keyingi nashrida paydo bo'ldi.

Chorraha, birlashma. J. Peano (1888).

To'plamlar kesishmasi - bu barcha berilgan to'plamlarga bir vaqtning o'zida tegishli bo'lgan va faqat shu elementlarni o'z ichiga olgan to'plamdir. To'plamlar birlashmasi - bu asl to'plamlarning barcha elementlarini o'z ichiga olgan to'plam. Kesishish va birlashma yuqoridagi qoidalarga muvofiq ma'lum to'plamlarga yangi to'plamlarni tayinlaydigan to'plamlar ustidagi amallar deb ham ataladi. Mos ravishda ∩ va ∪ bilan belgilanadi. Masalan, agar

A= (♠ ♣ ) Va B= (♣ ♦ ),

Bu

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

O'z ichiga oladi, o'z ichiga oladi. E. Shreder (1890).

Agar A va B ikkita to'plam bo'lsa va A da B ga tegishli bo'lmagan elementlar bo'lmasa, ular A ni B tarkibida mavjud deb aytishadi. Ular A⊂B yoki B⊃A yozadilar (Bda A mavjud). Masalan,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

"O'z ichiga oladi" va "o'z ichiga oladi" belgilari 1890 yilda nemis matematigi va mantiqi Ernst Shreder bilan birga paydo bo'lgan.

Mansublik. J. Peano (1895).

Agar a A to'plamining elementi bo'lsa, u holda a∈A yozing va "a A ga tegishli" deb o'qing. Agar a A elementi bo'lmasa, a∉A deb yozing va "a A ga tegishli emas" deb o'qing. Dastlab, "o'z ichiga olgan" va "mansub" ("element hisoblanadi") munosabatlari ajratilmagan, ammo vaqt o'tishi bilan bu tushunchalar farqlashni talab qilgan. A'zolik belgisi ∈ birinchi marta 1895 yilda italiyalik matematik Juzeppe Peano tomonidan qo'llanilgan. ∈ belgisi yunoncha esti - bo'lish so'zining birinchi harfidan kelib chiqqan.

Umumjahon miqdor ko'rsatkichi, ekzistensial miqdor ko'rsatkichi. G. Gentzen (1935), C. Pirs (1885).

Kvantor - bu predikatning haqiqat sohasini ko'rsatadigan mantiqiy operatsiyalarning umumiy nomi (matematik bayonot). Faylasuflar uzoq vaqtdan beri predikatning haqiqat doirasini cheklaydigan mantiqiy operatsiyalarga e'tibor berishgan, lekin ularni operatsiyalarning alohida sinfi sifatida ajratib ko'rsatishmagan. Miqdor-mantiqiy konstruktsiyalar ilmiy va kundalik nutqda keng qo'llanilsa-da, ularning rasmiylashtirilishi faqat 1879 yilda nemis mantiqi, matematigi va faylasufi Fridrix Lyudvig Gotlob Fregening "Tushunchalar hisobi" kitobida sodir bo'lgan. Fregening yozuvi og'ir grafik konstruktsiyalarga o'xshardi va qabul qilinmadi. Keyinchalik, yana ko'plab muvaffaqiyatli belgilar taklif qilindi, ammo 1885 yilda amerikalik faylasuf, mantiq va matematik Charlz Pirs tomonidan taklif qilingan ekzistensial kvantifikator uchun ∃ belgisi ("mavjud", "bor" deb o'qing) va universal kvant uchun ∀ ( nemis matematigi va mantiqi Gerxard Karl Erich Gentzen tomonidan 1935 yilda ekzistensial kvant belgisiga o'xshatish yo'li bilan yaratilgan "har qanday", "har bir", "har bir" o'qing (inglizcha mavjudlik (mavjud) va Har qanday so'zlarning teskari birinchi harflari). har qanday)). Masalan, kirish

(∀e>0) (∃d>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

quyidagicha o'qiladi: "har qanday e>0 uchun d>0 mavjud bo'lib, barcha x uchun x 0 ga teng bo'lmagan va |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Bo'sh to'plam. N. Burbaki (1939).

Hech qanday elementni o'z ichiga olmaydigan to'plam. Bo'sh to'plam belgisi 1939 yilda Nikolas Burbakining kitoblarida kiritilgan. Bourbaki 1935 yilda tashkil etilgan fransuz matematiklari guruhining umumiy taxallusidir. Bourbaki guruhi a'zolaridan biri Ø belgisining muallifi Andre Vayl edi.

Q.E.D. D. Knut (1978).

Matematikada dalil deganda ma'lum bir fikrning to'g'riligini ko'rsatuvchi, ma'lum qoidalarga asoslangan fikrlashning ketma-ketligi tushuniladi. Uyg'onish davridan beri isbotning oxiri matematiklar tomonidan "Q.E.D.", lotincha "Quod Erat Demonstrandum" iborasidan - "Nima isbotlanishi kerak edi" deb belgilandi. 1978 yilda amerikalik kompyuter fanlari professori Donald Edvin Knut kompyuterni joylashtirish tizimini yaratishda ramzdan foydalangan: to'ldirilgan kvadrat, vengriyalik amerikalik matematik Pol Richard Halmos nomi bilan atalgan "Halmos belgisi". Bugungi kunda isbotning tugallanishi odatda Halmos belgisi bilan belgilanadi. Shu bilan bir qatorda, boshqa belgilar ishlatiladi: bo'sh kvadrat, to'g'ri burchakli uchburchak, // (ikki chiziq), shuningdek, ruscha "ch.t.d." qisqartmasi.