द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके। द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके

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कोपयेव्स्काया ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

प्रमुख: पैट्रीकीवा गैलिना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक

एस.कोपयेवो, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 द्विघात समीकरण में प्राचीन बेबीलोन

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-ख्वारिज्मी में द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप XIII - XVII सदियों में द्विघात समीकरण

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

प्राचीन काल में न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता सैन्य प्रकृति की भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। गणित ही. द्विघात समीकरण लगभग 2000 ईसा पूर्व हल करने में सक्षम थे। इ। बेबीलोनियन।

आधुनिक बीजगणितीय संकेतन को लागू करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अधूरे लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं:

एक्स2 + एक्स= ¾; एक्स2 - एक्स= 14,5

बेबीलोनियाई ग्रंथों में बताए गए इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक समीकरणों से मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनियों को यह नियम कैसे मिला। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में बताए गए समाधानों वाली समस्याएं देते हैं, और यह कैसे पाया गया, इसका कोई संकेत नहीं दिया गया है।

इसके बावजूद उच्च स्तरबेबीलोन में बीजगणित का विकास, कीलाकार ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की कोई अवधारणा नहीं है सामान्य तरीकेद्विघात समीकरणों का समाधान.

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

डायोफैंटस के अंकगणित में बीजगणित की व्यवस्थित व्याख्या नहीं है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला शामिल है, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरण बनाकर हल किया गया है।

समीकरणों को संकलित करते समय, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाने के लिए कुशलतापूर्वक अज्ञात को चुनता है।

उदाहरण के लिए, यहाँ उनके कार्यों में से एक है।

कार्य 11."यह जानते हुए दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए कि उनका योग 20 है और उनका गुणनफल 96 है"

डायोफैंटस इस प्रकार तर्क देता है: समस्या की स्थिति से यह निष्कर्ष निकलता है कि वांछित संख्याएँ समान नहीं हैं, क्योंकि यदि वे समान होतीं, तो उनका गुणनफल 96 नहीं, बल्कि 100 होता। इस प्रकार, उनमें से एक उनके आधे से अधिक होगा योग, यानी. 10+x, दूसरा छोटा है, अर्थात्। 10 का. उनके बीच का अंतर 2x.

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100 का 2 = 96

एक्स 2 - 4 = 0 (1)

यहाँ से एक्स = 2. वांछित संख्याओं में से एक है 12 , अन्य 8 . समाधान एक्स = -2डायोफैंटस मौजूद नहीं है, क्योंकि ग्रीक गणित केवल सकारात्मक संख्याएं जानता था।

यदि हम वांछित संख्याओं में से किसी एक को अज्ञात के रूप में चुनकर इस समस्या को हल करें, तो हम समीकरण के समाधान पर आ जायेंगे

वाई(20 - वाई) = 96,

पर2 - 20y + 96 = 0. (2)

यह स्पष्ट है कि डायोफैंटस वांछित संख्याओं के आधे अंतर को अज्ञात के रूप में चुनकर समाधान को सरल बनाता है; वह समस्या को अपूर्ण द्विघात समीकरण (1) को हल करने में सक्षम बनाता है।

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय पथ "आर्यभट्टम" में द्विघात समीकरणों की समस्याएं पहले से ही पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए सामान्य नियम की रूपरेखा प्रस्तुत की:

ओह2 + बीएक्स = सी, ए > 0. (1)

समीकरण (1) में, गुणांकों को छोड़कर ए, नकारात्मक भी हो सकता है। ब्रह्मगुप्त का शासन मूलतः हमारे शासन से मेल खाता है।

प्राचीन भारत में कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ आम थीं। पुरानी भारतीय पुस्तकों में से एक में, ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहा गया है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से सितारों को मात देता है, वैसे ही वैज्ञानिक आदमीसार्वजनिक बैठकों, प्रस्ताव देने और बीजगणितीय समस्याओं को हल करने में दूसरे की महिमा को ग्रहण करें। कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप दिया जाता था।

यहां बारहवीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक है। भास्कर.

कार्य 13.

"बंदरों का एक डरावना झुंड और बेलों में बारह ...

बिजली खा कर मौज कर ली. वे कूदने लगे, लटकने लगे...

भाग आठ उनमें से एक वर्ग में कितने बंदर थे,

घास के मैदान में मज़ा आ रहा है. तुम बताओ, इस झुंड में?

भास्कर का समाधान इंगित करता है कि वह द्विघात समीकरणों की जड़ों की द्वि-मूल्यांकन के बारे में जानते थे (चित्र 3)।

समस्या 13 से संबंधित समीकरण है:

(एक्स/8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर इसकी आड़ में लिखते हैं:

एक्स2 - 64x = -768

और पूरक करने के लिए बाईं तरफइस समीकरण का वर्ग, दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , फिर प्राप्त करना:

एक्स2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x-32)2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

एक्स1 = 16, एक्स2 = 48.

1.4 अल-खोरज़मी में द्विघात समीकरण

अल-खोरज़मी का बीजगणितीय ग्रंथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण देता है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। ओह2 + के साथ =बीएक्स।

2) "वर्ग संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात्। ओह2 = एस.

3) "मूल संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात। आह = एस.

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं", अर्थात्। ओह2 + के साथ =बीएक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। ओह2 + बीएक्स= एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात्।बीएक्स+ सी = कुल्हाड़ी2 .

अल-खोरेज़मी, 17वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि यह विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं में कोई मायने नहीं रखता है। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-खोरज़मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करके हल करने के नियम और फिर ज्यामितीय प्रमाण निर्धारित करते हैं।

कार्य 14.“वर्ग और संख्या 21, 10 मूलों के बराबर हैं। जड़ खोजें" (समीकरण x का मूल मानते हुए2 + 21 = 10x).

लेखक का समाधान कुछ इस प्रकार है: जड़ों की संख्या को आधे में विभाजित करें, आपको 5 मिलता है, 5 को स्वयं से गुणा करें, गुणनफल में से 21 घटाएं, 4 बचता है। 4 का मूल लें, आपको 2 मिलता है। 5 में से 2 घटाएं, आपको 3 प्राप्त करें, यह वांछित रूट होगा। अथवा 5 में 2 जोड़ें, जिससे 7 आएगा, यह भी एक मूल है।

ग्रंथ अल-खोरज़मी पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जिसमें द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण व्यवस्थित रूप से बताया गया है और उनके समाधान के सूत्र दिए गए हैं।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरणतेरहवें- XVIIसदियों

यूरोप में अल-खोरेज़मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र पहली बार इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा 1202 में लिखी गई "बुक ऑफ द अबेकस" में दिए गए थे। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम और दोनों देशों पर गणित के प्रभाव को दर्शाता है प्राचीन ग्रीस, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों में भिन्न है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। अबेकस की पुस्तक की कई समस्याएं 16वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में शामिल हो गईं। और आंशिक रूप से XVIII.

पृष्ठ ब्रेक--

द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने का सामान्य नियम:

एक्स2 + बीएक्स= साथ,

गुणांकों के चिह्नों के सभी संभावित संयोजनों के लिए बी, साथयूरोप में केवल 1544 में एम. स्टिफ़ेल द्वारा तैयार किया गया था।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति सामान्य रूप से देखेंवियत ने किया है, लेकिन वियत ने केवल सकारात्मक जड़ों को ही पहचाना। इटालियन गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी के पहले गणितज्ञों में से थे। सकारात्मक के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखें। केवल XVII सदी में. गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और उसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला प्रमेय, जिसका नाम विएटा है, 1591 में पहली बार उनके द्वारा इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी+ डीसे गुणा ए- ए2 , बराबर है बी.डी, वह एके बराबर होती है मेंऔर बराबर डी».

विएटा को समझने के लिए उसे याद रखना होगा ए, किसी भी स्वर की तरह, उसके लिए अज्ञात (हमारा) का मतलब था एक्स), स्वरों में,डी- अज्ञात के लिए गुणांक. आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विएटा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है: यदि

(ए+बी)एक्स - एक्स2 = अब,

एक्स2 - (ए+बी)एक्स + एबी= 0,

एक्स1 = ए, एक्स2 = बी.

समीकरणों के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध को प्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी दूर है आधुनिक रूप. वह ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी मूल सकारात्मक हैं।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और पारलौकिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (कक्षा 8) से लेकर स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में द्विघात समीकरणों के मूलों के सूत्रों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी सहायता से आप किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। हालाँकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके भी हैं जो आपको कई समीकरणों को बहुत जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की अनुमति देते हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के दस तरीके हैं। अपने काम में, मैंने उनमें से प्रत्येक का विस्तार से विश्लेषण किया।

1. विधि : समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंडन.

आइए समीकरण हल करें

एक्स2 + 10x - 24 = 0.

आइए बाईं ओर का गुणनखंड करें:

एक्स2 + 10एक्स - 24 = एक्स2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2)।

इसलिए, समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

(एक्स + 12)(एक्स - 2) = 0

चूँकि उत्पाद शून्य है, तो इसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य है। इसलिए, समीकरण का बायां भाग गायब हो जाता है एक्स = 2, साथ ही साथ एक्स = - 12. इसका मतलब यह है कि संख्या 2 और - 12 समीकरण की जड़ें हैं एक्स2 + 10x - 24 = 0.

2. विधि : पूर्ण वर्ग चयन विधि.

आइए समीकरण हल करें एक्स2 + 6x - 7 = 0.

आइए बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग चुनें।

ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति x2 + 6x को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

एक्स2 + 6एक्स = एक्स2 + 2 x 3.

परिणामी अभिव्यक्ति में, पहला पद संख्या x का वर्ग है, और दूसरा x का 3 से दोगुना गुणनफल है। इसलिए, पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको 32 जोड़ने की आवश्यकता है, क्योंकि

x2+ 2 x 3 + 32 = (एक्स + 3)2 .

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को बदलते हैं

एक्स2 + 6x - 7 = 0,

इसमें जोड़ने और घटाने पर 32. हमें प्राप्त होता है:

एक्स2 + 6x - 7 = x2+ 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 = (एक्स + 3)2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16.

इस प्रकार, इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(एक्स + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16.

इस तरह, एक्स + 3 - 4 = 0, एक्स1 = 1, या x + 3 = -4, x2 = -7.

3. विधि :सूत्र द्वारा द्विघात समीकरणों का समाधान.

समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें

ओह2 + बीएक्स + सी = 0, ए ≠ 0

4ए पर और क्रमिक रूप से हमारे पास:

4 ए2 एक्स2 +4एबीएक्स + 4एसी = 0,

((2आह)2 + 2axबी+ बी2 ) - बी2 + 4 एसी= 0,

(2ax+बी)2 = बी2 - 4एसी,

2ax + b = ± √ b2 - 4एसी,

2ax = - b ± √ b2 - 4एसी,

उदाहरण.

ए)आइए समीकरण हल करें: 4 एक्स2 + 7x + 3 = 0.

ए = 4,बी= 7, सी = 3,डी= बी2 - 4 एसी= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

डी> 0, दो अलग-अलग जड़ें;

इस प्रकार, एक सकारात्मक विवेचक के मामले में, अर्थात् पर

बी2 - 4 एसी>0 , समीकरण ओह2 + बीएक्स + सी = 0दो अलग-अलग जड़ें हैं.

बी)आइए समीकरण हल करें: 4 एक्स2 - 4x + 1 = 0,

ए = 4,बी= - 4, सी = 1,डी= बी2 - 4 एसी= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

डी= 0, एक जड़;

तो, यदि विवेचक शून्य है, अर्थात बी2 - 4 एसी= 0 , फिर समीकरण

ओह2 + बीएक्स + सी = 0एक ही जड़ है

वी)आइए समीकरण हल करें: 2x2 + 3x + 4 = 0,

ए = 2,बी= 3, सी = 4,डी= बी2 - 4 एसी= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, डी< 0.

विस्तार
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इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है.

इसलिए, यदि विवेचक नकारात्मक है, अर्थात। बी2 - 4 एसी< 0 ,

समीकरण ओह2 + बीएक्स + सी = 0कोई जड़ नहीं है.

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र (1)। ओह2 + बीएक्स + सी = 0आपको जड़ें ढूंढने की अनुमति देता है कोई द्विघात समीकरण (यदि कोई हो), जिसमें घटा हुआ और अधूरा शामिल है। सूत्र (1) को मौखिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया गया है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें एक अंश के बराबर होती हैं जिसका अंश दूसरे गुणांक के बराबर होता है, विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, इस गुणांक के वर्ग के वर्गमूल को घटाकर मुक्त पद से पहले गुणांक के उत्पाद को चौगुना किए बिना, और हर पहले गुणांक का दोगुना है।

4. विधि: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

जैसा कि ज्ञात है, दिए गए द्विघात समीकरण का रूप है

एक्स2 + पिक्सल+ सी= 0. (1)

इसकी जड़ें विएटा प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, जो, कब ए =1रूप है

/>एक्स1 एक्स2 = क्यू,

एक्स1 + एक्स2 = - पी

इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं (मूलों के संकेतों का अनुमान गुणांक p और q से लगाया जा सकता है)।

ए) यदि सारांश शब्द क्यूघटे हुए समीकरण का (1) सकारात्मक है ( क्यू> 0 ), तो समीकरण में एक ही चिह्न की दो जड़ें हैं और यह दूसरे गुणांक की ईर्ष्या है पी. अगर आर< 0 , तो दोनों जड़ें नकारात्मक हैं यदि आर< 0 , तो दोनों जड़ें सकारात्मक हैं।

उदाहरण के लिए,

एक्स2 – 3 एक्स+ 2 = 0; एक्स1 = 2 और एक्स2 = 1, क्योंकि क्यू= 2 > 0 और पी= - 3 < 0;

एक्स2 + 8 एक्स+ 7 = 0; एक्स1 = - 7 और एक्स2 = - 1, क्योंकि क्यू= 7 > 0 और पी= 8 > 0.

ख) यदि कोई स्वतंत्र सदस्य है क्यूघटे हुए समीकरण का (1) ऋणात्मक है ( क्यू< 0 ), तो समीकरण में अलग-अलग चिह्न की दो जड़ें हैं, और निरपेक्ष मान में बड़ी जड़ सकारात्मक होगी यदि पी< 0 , या नकारात्मक यदि पी> 0 .

उदाहरण के लिए,

एक्स2 + 4 एक्स– 5 = 0; एक्स1 = - 5 और एक्स2 = 1, क्योंकि क्यू= - 5 < 0 और पी= 4 > 0;

एक्स2 – 8 एक्स– 9 = 0; एक्स1 = 9 और एक्स2 = - 1, क्योंकि क्यू= - 9 < 0 और पी= - 8 < 0.

5. विधि: "स्थानांतरण" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

द्विघात समीकरण पर विचार करें

ओह2 + बीएक्स + सी = 0,कहाँ ए ≠ 0.

इसके दोनों भागों को a से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

ए2 एक्स2 + एबीएक्स + एसी = 0.

होने देना आह = य, कहाँ एक्स = वाई/ए; फिर हम समीकरण पर आते हैं

पर2 + द्वारा+ एसी = 0,

इस के बराबर. इसकी जड़ें पर1 और पर 2 को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है।

अंततः हम पाते हैं

एक्स1 =य1 /एऔर एक्स1 =य2 /ए.

इस विधि से गुणांक एमुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक" दिया जाता है, इसलिए इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि. इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ें ढूंढना आसान होता है और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 2x2 – 11x + 15 = 0.

समाधान।आइए गुणांक 2 को मुक्त पद पर "स्थानांतरित" करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें समीकरण मिलता है

पर2 – 11y + 30 = 0.

विएटा के प्रमेय के अनुसार

/>/>/>/>/>पर1 = 5 एक्स1 = 5/2 एक्स1 = 2,5

पर2 = 6 एक्स2 = 6/2 एक्स2 = 3.

उत्तर: 2.5; 3.

6. विधि: द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण.

एक। चलो द्विघात समीकरण

ओह2 + बीएक्स + सी = 0,कहाँ ए ≠ 0.

1) यदि, ए+बी+ c = 0 (अर्थात् गुणांकों का योग शून्य है), तो x1 = 1,

एक्स2 = एस/ए.

सबूत।हम समीकरण के दोनों पक्षों को ≠ 0 से विभाजित करते हैं, हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त होता है

एक्स2 + बी/ ए एक्स+ सी/ ए= 0.

/>विएटा के प्रमेय के अनुसार

एक्स1 + एक्स2 = - बी/ ए,

एक्स1 एक्स2 = 1 सी/ ए.

शर्त से ए -बी+ सी = 0,कहाँ बी= ए + सी.इस प्रकार,

/>एक्स1 + एक्स2 = - ए+ बी / ए = -1 - सी / ए,

एक्स1 एक्स2 = - 1 (-सी/ए),

वे। एक्स1 = -1 और एक्स2 = सी/ ए, जिसे हमें साबित करना था।

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 345x2 - 137x - 208 = 0.

समाधान।क्योंकि एक +बी+ सी = 0 (345 - 137 - 208 = 0),वह

एक्स1 = 1, एक्स2 = सी/ ए= -208/345.

उत्तर 1; -208/345.

2) समीकरण हल करें 132x2 – 247x + 115 = 0.

समाधान।क्योंकि एक +बी+ सी = 0 (132 - 247 + 115 = 0),वह

एक्स1 = 1, एक्स2 = सी/ ए= 115/132.

उत्तर 1; 115/132.

बी। यदि दूसरा गुणांक बी= 2 कएक सम संख्या है, तो मूलों का सूत्र

विस्तार
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उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 3x2 - 14x + 16 = 0.

समाधान. अपने पास: ए = 3,बी= - 14, सी = 16,क= - 7 ;

डी= क2 – एसी= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, डी> 0, दो अलग-अलग जड़ें;

उत्तर: 2; 8/3

में। घटा हुआ समीकरण

एक्स2 +px+क्यू= 0

सामान्य समीकरण से मेल खाता है, जिसमें ए = 1, बी= पीऔर सी =क्यू. इसलिए, कम किए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का सूत्र

रूप लेता है:

फॉर्मूला (3) का उपयोग तब विशेष रूप से सुविधाजनक होता है जब आर- सम संख्या।

उदाहरण।आइए समीकरण हल करें एक्स2 – 14x – 15 = 0.

समाधान।अपने पास: एक्स1,2 =7±

उत्तर: एक्स1 = 15; एक्स2 = -1.

7. विधि: द्विघात समीकरण का आलेखीय समाधान.

यदि समीकरण में

एक्स2 + पिक्सल+ क्यू= 0

दूसरे और तीसरे पद को दाईं ओर ले जाएँ, हमें मिलता है

एक्स2 = - पिक्सल- क्यू.

आइए निर्भरता ग्राफ y \u003d x2 और y \u003d - px - q बनाएं।

पहली निर्भरता का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाला एक परवलय है। दूसरी निर्भरता का ग्राफ -

सीधी रेखा (चित्र 1)। निम्नलिखित मामले संभव हैं:

एक सीधी रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज एक द्विघात समीकरण की जड़ें हैं;

रेखा और परवलय स्पर्श कर सकते हैं (केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु), अर्थात। समीकरण का एक ही हल है;

सीधी रेखा और परवलय में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते, अर्थात्। द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं होता.

उदाहरण।

1) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें एक्स2 - 3x - 4 = 0(अंक 2)।

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स2 = 3x + 4.

आइए एक परवलय बनाएं वाई = एक्स2 और प्रत्यक्ष y = 3x + 4. प्रत्यक्ष

y = 3x + 4दो बिंदुओं से बनाया जा सकता है एम (0; 4)और

एन(3; 13) . एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं

एऔर मेंएब्सिस्सा के साथ एक्स1 = - 1 और एक्स2 = 4 . उत्तर : एक्स1 = - 1;

एक्स2 = 4.

2) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें (चित्र 3) एक्स2 - 2x + 1 = 0.

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स2 = 2x - 1.

आइए एक परवलय बनाएं वाई = एक्स2 और प्रत्यक्ष y = 2x - 1.

प्रत्यक्ष y = 2x - 1दो बिंदुओं पर निर्माण करें एम (0; - 1)

और एन(1/2; 0) . रेखा और परवलय एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं एसाथ

सूच्याकार आकृति का भुज एक्स = 1. उत्तर: एक्स = 1.

3) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें एक्स2 - 2x + 5 = 0(चित्र 4)।

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स2 = 5x - 5. आइए एक परवलय बनाएं वाई = एक्स2 और प्रत्यक्ष y = 2x - 5. प्रत्यक्ष y = 2x - 5दो बिंदुओं M(0; - 5) और N(2.5; 0) से निर्माण करें। सीधी रेखा और परवलय का कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है, अर्थात। इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है.

उत्तर।समीकरण एक्स2 - 2x + 5 = 0कोई जड़ नहीं है.

8. विधि: कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना।

परवलय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने का ग्राफिकल तरीका असुविधाजनक है। यदि आप बिंदु दर बिंदु एक परवलय बनाते हैं, तो इसमें बहुत समय लगता है, और प्राप्त परिणामों की सटीकता की डिग्री कम होती है।

मैं द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि प्रस्तावित करता हूँ ओह2 + बीएक्स + सी = 0कम्पास और रूलर का उपयोग करना (चित्र 5)।

आइए मान लें कि वांछित वृत्त अक्ष को प्रतिच्छेद करता है

भुजाओं को अंकों में बी(एक्स1 ; 0) और डी(एक्स2 ; 0), कहाँ एक्स1 और एक्स2 - समीकरण की जड़ें ओह2 + बीएक्स + सी = 0, और बिंदुओं से होकर गुजरता है

ए(0; 1)और सी(0;सी/ ए) y-अक्ष पर. फिर, सेकेंट प्रमेय द्वारा, हमारे पास है ओबी आयुध डिपो= ओए ओसी, कहाँ ओसी= ओबी आयुध डिपो/ ओए= एक्स1 एक्स2 / 1 = सी/ ए.

वृत्त का केंद्र लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर है एस एफऔर एसके, जीवाओं के मध्यबिंदुओं पर पुनर्स्थापित किया गया एसीऔर बी.डी, इसीलिए

1) बिंदु (वृत्त का केंद्र) बनाएं और ए(0; 1) ;

2) त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं एसए;

3) अक्ष के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज ओहमूल द्विघात समीकरण की जड़ें हैं।

इस मामले में, तीन मामले संभव हैं।

1) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से अधिक है (जैसा> एसके, याआर> ए+ सी/2 ए) , वृत्त x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है (चित्र 6, a) बी(एक्स1 ; 0) और डी(एक्स2 ; 0) , कहाँ एक्स1 और एक्स2 - द्विघात समीकरण की जड़ें ओह2 + बीएक्स + सी = 0.

2) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि के बराबर होती है (जैसा= एसबी, याआर= ए+ सी/2 ए) , वृत्त बिंदु पर ऑक्स अक्ष (चित्र 6, बी) को छूता है बी(एक्स1 ; 0) , जहां x1 द्विघात समीकरण का मूल है।

विस्तार
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3) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से कम है, वृत्त में भुज अक्ष के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है (चित्र 6, सी), इस स्थिति में समीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें एक्स2 - 2x - 3 = 0(चित्र 7)।

समाधान।सूत्र द्वारा वृत्त के केंद्र के बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें:

आइए त्रिज्या SA का एक वृत्त बनाएं, जहां A (0; 1)।

उत्तर:एक्स1 = - 1; एक्स2 = 3.

9. विधि: नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

यह द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक पुरानी और अवांछनीय रूप से भुला दी गई विधि है, जिसे पृष्ठ 83 पर रखा गया है (ब्रैडिस वी.एम. चार-मूल्यवान गणितीय तालिकाएँ देखें। - एम., एनलाइटनमेंट, 1990)।

तालिका XXII. समीकरण हल करने के लिए नामोग्राम जेड2 + पी.जे+ क्यू= 0 . यह नॉमोग्राम, द्विघात समीकरण को हल किए बिना, समीकरण की जड़ों को उसके गुणांकों द्वारा निर्धारित करने की अनुमति देता है।

नॉमोग्राम का वक्ररेखीय पैमाना सूत्रों के अनुसार बनाया गया है (चित्र 11):

यह मानते हुए ओएस = पी,ईडी= क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), त्रिभुजों की समानता से सैनऔर सीडीएफहमें अनुपात मिलता है

जहां से, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण इस प्रकार आता है

जेड2 + पी.जे+ क्यू= 0,

और पत्र जेडइसका अर्थ है घुमावदार पैमाने पर किसी बिंदु का लेबल।

उदाहरण।

1) समीकरण के लिए जेड2 - 9 जेड+ 8 = 0 नॉमोग्राम जड़ें देता है

जेड1 = 8,0 और जेड2 = 1,0 (चित्र 12)।

2) हम नॉमोग्राम का उपयोग करके समीकरण को हल करते हैं

2 जेड2 - 9 जेड+ 2 = 0.

हम इस समीकरण के गुणांकों को 2 से विभाजित करते हैं, हमें समीकरण प्राप्त होता है

जेड2 - 4,5 जेड+ 1 = 0.

नोमोग्राम जड़ें देता है जेड1 = 4 और जेड2 = 0,5.

3) समीकरण के लिए

जेड2 - 25 जेड+ 66 = 0

गुणांक पी और क्यू पैमाने से बाहर हैं, हम प्रतिस्थापन करेंगे जेड= 5 टी, हमें समीकरण मिलता है

टी2 - 5 टी+ 2,64 = 0,

जिसे हम नॉमोग्राम के माध्यम से हल करते हैं और प्राप्त करते हैं टी1 = 0,6 और टी2 = 4,4, कहाँ जेड1 = 5 टी1 = 3,0 और जेड2 = 5 टी2 = 22,0.

10. विधि: द्विघात समीकरणों को हल करने का ज्यामितीय तरीका।

प्राचीन काल में, जब ज्यामिति बीजगणित से अधिक विकसित थी, तब द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से नहीं, बल्कि ज्यामितीय रूप से हल किया जाता था। मैं एक उदाहरण दूंगा जो अल-ख्वारिज्मी के "बीजगणित" से प्रसिद्ध हुआ है।

उदाहरण।

1) समीकरण हल करें एक्स2 + 10x = 39.

मूल में, यह समस्या इस प्रकार तैयार की गई है: "वर्ग और दस जड़ें 39 के बराबर हैं" (चित्र 15)।

समाधान।भुजा x वाले एक वर्ग पर विचार करें, इसकी भुजाओं पर आयत इस प्रकार बनाए गए हैं कि उनमें से प्रत्येक की दूसरी भुजा 2.5 है, इसलिए, प्रत्येक का क्षेत्रफल 2.5x है। फिर परिणामी आकृति को एक नए वर्ग एबीसीडी में पूरक किया जाता है, जो कोनों में चार समान वर्गों को पूरा करता है, उनमें से प्रत्येक का पक्ष 2.5 है, और क्षेत्र 6.25 है।

वर्ग एसवर्ग ए बी सी डीक्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: मूल वर्ग एक्स2 , चार आयत (4 2.5x = 10x)और चार संलग्न वर्ग (6,25 4 = 25) , अर्थात। एस= एक्स2 + 10x + 25.की जगह

एक्स2 + 10xसंख्या 39 , हमें वह मिल गया एस= 39 + 25 = 64 , जहां से यह वर्ग की भुजा का अनुसरण करता है ए बी सी डी, अर्थात। रेखा खंड एबी = 8. इच्छित पक्ष के लिए एक्समूल वर्ग हमें मिलता है

2) लेकिन, उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानियों ने समीकरण को कैसे हल किया पर2 + 6y - 16 = 0.

समाधानअंजीर में दिखाया गया है। 16, कहाँ

पर2 + 6y = 16, या y2 + 6y + 9 = 16 + 9.

समाधान।अभिव्यक्ति पर2 + 6य + 9और 16 + 9 ज्यामितीय रूप से समान वर्ग और मूल समीकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं पर2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0वही समीकरण है. वह हमें कहां से मिलता है y + 3 = ± 5,या पर1 = 2, य2 = - 8 (चित्र 16)।

3) ज्यामितीय समीकरण हल करें पर2 - 6y - 16 = 0.

समीकरण को बदलने पर, हम पाते हैं

पर2 - 6y = 16.

अंजीर पर. 17 अभिव्यक्ति की "छवियाँ" खोजें पर2 - 6यू,वे। y भुजा वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल से बराबर भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल का दोगुना घटाएँ 3 . तो, यदि अभिव्यक्ति पर2 - 6 वर्षजोड़ना 9 , तो हमें एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल प्राप्त होता है य - 3. अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन पर2 - 6 वर्षइसकी समान संख्या 16 है,

हम पाते हैं: (य-3)2 = 16 + 9, वे। y - 3 = ± √25, या y - 3 = ± 5, जहाँ पर1 = 8 और पर2 = - 2.

निष्कर्ष

त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और पारलौकिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

हालाँकि, द्विघात समीकरणों का मूल्य न केवल समस्याओं को हल करने की सुंदरता और संक्षिप्तता में निहित है, हालांकि यह बहुत महत्वपूर्ण है। यह तथ्य भी कम महत्वपूर्ण नहीं है कि समस्याओं को हल करने में द्विघात समीकरणों के उपयोग के परिणामस्वरूप, अक्सर नए विवरण खोजे जाते हैं, दिलचस्प सामान्यीकरण किए जा सकते हैं और परिशोधन किए जा सकते हैं, जो प्राप्त सूत्रों और संबंधों के विश्लेषण से प्रेरित होते हैं।

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि इस कार्य में प्रस्तुत विषय का अभी भी बहुत कम अध्ययन किया गया है, वे बस इससे निपटते नहीं हैं, इसलिए यह बहुत सारे छिपे हुए और अज्ञात से भरा हुआ है, जो इस पर आगे काम करने का एक उत्कृष्ट अवसर प्रदान करता है। .

यहाँ मैंने द्विघात समीकरणों को हल करने के प्रश्न पर निर्णय लिया, और क्या,

क्या उन्हें हल करने के अन्य तरीके हैं?! फिर से, सुंदर पैटर्न, कुछ तथ्य, स्पष्टीकरण ढूंढें, सामान्यीकरण करें, सब कुछ नया और नया खोजें। लेकिन ये भविष्य के कार्यों के लिए प्रश्न हैं।

संक्षेप में, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: गणित के विकास में द्विघात समीकरण बहुत बड़ी भूमिका निभाते हैं। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (कक्षा 8) से लेकर स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए। यह ज्ञान जीवन भर हमारे काम आ सकता है।

चूँकि द्विघात समीकरणों को हल करने की इन विधियों का उपयोग करना आसान है, इसलिए ये निश्चित रूप से उन छात्रों के लिए रुचिकर होनी चाहिए जो गणित में रुचि रखते हैं। मेरा काम उन समस्याओं पर एक अलग नज़र डालना संभव बनाता है जो गणित हमारे सामने रखता है।

साहित्य:

1. अलीमोव एस.ए., इलिन वी.ए. और अन्य. बीजगणित, 6-8. ग्रेड 6-8 के लिए परीक्षण पाठ्यपुस्तक उच्च विद्यालय. - एम., शिक्षा, 1981।

2. ब्रैडिस वी.एम. हाई स्कूल के लिए चार अंकों की गणितीय तालिकाएँ। एड। 57वां. - एम., शिक्षा, 1990. एस. 83.

3. क्रुज़ेपोव ए.के., रुबानोव ए.टी. बीजगणित और प्रारंभिक कार्यों पर समस्या पुस्तक। माध्यमिक विशेष के लिए प्रशिक्षण मैनुअल शिक्षण संस्थानों. - एम., हायर स्कूल, 1969।

4. ओकुनेव ए.के. द्विघात फलन, समीकरण और असमानताएँ। शिक्षक के लिए एक मार्गदर्शिका. - एम., शिक्षा, 1972।

5. प्रेसमैन ए.ए. कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ द्विघात समीकरण को हल करना। - एम., क्वांट, संख्या 4/72। एस 34.

6. सोलोमनिक वी.एस., मिलोव पी.आई. गणित में प्रश्नों और कार्यों का संग्रह। ईडी। - चौथा, जोड़ें. - एम., हायर स्कूल, 1973।

7. ख़ुदोबिन ए.आई. बीजगणित और प्रारंभिक कार्यों में समस्याओं का संग्रह। शिक्षक के लिए एक मार्गदर्शिका. ईडी। दूसरा. - एम., शिक्षा, 1970।

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

ब्रांस्क क्षेत्र ज़ुकोवस्की जिला

एमओयू रज़ानित्सकाया माध्यमिक विद्यालय

शोध करना

समाधान के तरीके

पावलिकोव दिमित्री, 9वीं कक्षा

नेता: यूरी प्रिखोडको
व्लादिमीरोविच,

गणित शिक्षक.

ब्रांस्क, 2009

मैं. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास ……………………….2

1. प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण…………………………..2

2. डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया…………2

3. भारत में द्विघात समीकरण……………………………………3

4. अल-ख्वारिज्मी के द्विघात समीकरण ……………………………4

5. यूरोप में XIII - XVII सदियों में द्विघात समीकरण…………………………5

6. विएटा प्रमेय के बारे में …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… …………

द्वितीय. द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके ……………………….7

विधि…………………………………………………………7

विधि…………………………………………………………..9

विधि……………………………………………………10

विधि……………………………………………………12

विधि……………………………………………………13

विधि…………………………………………………………15

विधि…………………………………………………………16

तृतीय. निष्कर्ष…………………………………………………..............18

साहित्य……………………………………………………………….19

द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास.

1. प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण।

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

बेबीलोन में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में नकारात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों का अभाव है।

2. डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

उदाहरण के लिए, यहाँ उनके कार्यों में से एक है।

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100 का 2 = 96

एक्स 2 - 4 = 0 (1)

वाई(20 - वाई) = 96,

पर 2 - 20y + 96 = 0. (2)

3. भारत में द्विघात समीकरण.

ओह 2 + बीएक्स = सी, और 0. (1)

प्राचीन भारत में कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक में, ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहा गया है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से सितारों को मात देता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति सार्वजनिक बैठकों में, प्रस्ताव देने और बीजगणितीय समस्याओं को हल करने में दूसरे की महिमा को मात देगा।" कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप दिया जाता था।

कार्य 13.

"बंदरों का एक डरावना झुंड और बेलों में बारह ...

बिजली खा कर मौज कर ली. वे कूदने लगे, लटकने लगे...

भाग आठ उनमें से एक वर्ग में कितने बंदर थे,

घास के मैदान में मज़ा आ रहा है. तुम बताओ, इस झुंड में?

समस्या 13 से संबंधित समीकरण है:

(एक्स/8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर इसकी आड़ में लिखते हैं:

एक्स 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, वह दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , फिर प्राप्त करना:

एक्स 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x-32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

एक्स 1 = 16, एक्स 2 = 48.

4. अल-खोरज़मी में द्विघात समीकरण।

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। ओह 2 + के साथ =बीएक्स।

2) "वर्ग संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात्। ओह 2 = एस.

3) "मूल संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात। आह = एस.

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं", अर्थात्। ओह 2 + के साथ =बीएक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। ओह 2 + बीएक्स= एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात्।बीएक्स+ सी = कुल्हाड़ी 2 .

अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो नकारात्मक संख्याओं के उपयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण के पद जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक अल-जबर और अल-मुकाबला के तरीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है। निःसंदेह, उनके निर्णय हमारे निर्णयों से पूरी तरह मेल नहीं खाते। इस तथ्य का उल्लेख न करते हुए कि यह विशुद्ध रूप से आलंकारिक है, उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-खोरेज़मी, 17वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में रखते हैं, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक कार्यों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-खोरज़मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करके हल करने के नियम और फिर ज्यामितीय प्रमाण निर्धारित करते हैं।

यहाँ एक उदाहरण है:

कार्य 14.“वर्ग और संख्या 21, 10 मूलों के बराबर हैं। जड़ खोजें"

(समीकरण x का मूल मानते हुए 2 + 21 = 10x).

5. यूरोप में द्विघात समीकरणतेरहवें - XVIIसदियों

यूरोप में अल-खोरेज़मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र पहली बार इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा 1202 में लिखी गई "बुक ऑफ द अबेकस" में दिए गए थे। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम और प्राचीन ग्रीस दोनों देशों में गणित के प्रभाव को दर्शाता है, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों द्वारा प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। अबेकस की पुस्तक की कई समस्याएं 16वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में शामिल हो गईं। और आंशिक रूप से XVIII.

द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने का सामान्य नियम:

एक्स 2 + बीएक्स= साथ,

विएटा के पास द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन विएटा ने केवल सकारात्मक जड़ों को ही मान्यता दी है। इटालियन गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी के पहले गणितज्ञों में से थे। सकारात्मक के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखें। केवल XVII सदी में. गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।

6. विएटा के प्रमेय पर.

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और उसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला प्रमेय, जिसका नाम विएटा है, 1591 में पहली बार उनके द्वारा इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी + डीसे गुणा ए - ए 2 , बराबर है बी.डी, वह एके बराबर होती है मेंऔर बराबर डी».

(ए+बी)एक्स - एक्स 2 = अब,

एक्स 2 - (ए+बी)एक्स + एबी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 = बी.

समीकरणों के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध को प्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक स्वरूप से बहुत दूर है। वह ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी मूल सकारात्मक हैं।

इसलिए: द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और पारलौकिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (कक्षा 8) से लेकर स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

1. विधि : समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंडन.

आइए समीकरण हल करें एक्स 2 + 10x - 24 = 0. आइए बाईं ओर का गुणनखंड करें:

एक्स 2 + 10एक्स - 24 = एक्स 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2)।

इसलिए, समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

(एक्स + 12)(एक्स - 2) = 0

2. विधि : पूर्ण वर्ग चयन विधि.

आइए समीकरण हल करें एक्स 2 + 6x - 7 = 0. आइए बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग चुनें।

ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति x 2 + 6x को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

एक्स 2 + 6एक्स = एक्स 2 + 2 एक्स 3.

परिणामी अभिव्यक्ति में, पहला पद संख्या x का वर्ग है, और दूसरा x का 3 से दोगुना गुणनफल है। इसलिए, पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको 3 2 जोड़ने की आवश्यकता है, क्योंकि

एक्स 2+ 2 एक्स 3 + 3 2 = (एक्स + 3) 2 .

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को बदलते हैं

एक्स 2 + 6x - 7 = 0,

इसमें 3 2 जोड़ना और घटाना। अपने पास:

एक्स 2 + 6x - 7 =एक्स 2+ 2 एक्स 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (एक्स + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

इस प्रकार, इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(एक्स + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

इस तरह, एक्स + 3 - 4 = 0, एक्स 1 = 1, या x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. विधि :सूत्र द्वारा द्विघात समीकरणों का समाधान.

समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें

ओह 2 + बीएक्स + सी = 0, ए ≠ 0

4ए पर और क्रमिक रूप से हमारे पास:

4 ए 2 एक्स 2 +4एबीएक्स + 4एसी = 0,

((2आह) 2 + 2ax बी + बी 2 ) - बी 2 + 4 एसी = 0,

(2ax+बी) 2 = बी 2 - 4एसी,

2ax + b = ± √ b 2 - 4एसी,

2ax = - b ± √ b 2 - 4एसी,

उदाहरण.

ए)आइए समीकरण हल करें: 4 एक्स 2 + 7x + 3 = 0.

ए = 4,बी= 7, सी = 3,डी = बी 2 - 4 एसी = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

डी 0, दो अलग-अलग जड़ें;

इस प्रकार, एक सकारात्मक विवेचक के मामले में, अर्थात् पर

बी 2 - 4 एसी 0 , समीकरण ओह 2 + बीएक्स + सी = 0दो अलग-अलग जड़ें हैं.

बी)आइए समीकरण हल करें: 4 एक्स 2 - 4x + 1 = 0,

ए = 4,बी= - 4, सी = 1,डी = बी 2 - 4 एसी = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

डी = 0, एक जड़;

तो, यदि विवेचक शून्य है, अर्थात बी 2 - 4 एसी = 0 , फिर समीकरण

ओह 2 + बीएक्स + सी = 0एक ही जड़ है

वी)आइए समीकरण हल करें: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

ए = 2,बी= 3, सी = 4,डी = बी 2 - 4 एसी = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , डी

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है.

इसलिए, यदि विवेचक नकारात्मक है, अर्थात। बी 2 - 4 एसी, समीकरण

ओह 2 + बीएक्स + सी = 0कोई जड़ नहीं है.

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र (1)। ओह 2 + बीएक्स + सी = 0आपको जड़ें ढूंढने की अनुमति देता है कोई द्विघात समीकरण (यदि कोई हो), जिसमें घटा हुआ और अधूरा शामिल है। सूत्र (1) को मौखिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया गया है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें एक अंश के बराबर होती हैं जिसका अंश दूसरे गुणांक के बराबर होता है, विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, इस गुणांक के वर्ग के वर्गमूल को घटाकर मुक्त पद से पहले गुणांक के उत्पाद को चौगुना किए बिना, और हर पहले गुणांक का दोगुना है।

4. विधि: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

जैसा कि ज्ञात है, दिए गए द्विघात समीकरण का रूप है

एक्स 2 + पिक्सल + सी = 0. (1)

इसकी जड़ें विएटा प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, जो, कब ए =1रूप है

एक्स 1 एक्स 2 = क्यू,

एक्स 1 + एक्स 2 = - पी

ए) यदि सारांश शब्द क्यूघटे हुए समीकरण का (1) सकारात्मक है ( क्यू 0 ), तो समीकरण में एक ही चिह्न की दो जड़ें हैं और यह दूसरे गुणांक की ईर्ष्या है पी. अगर p, तो दोनों मूल ऋणात्मक हैं यदि p, तो दोनों मूल धनात्मक हैं।

उदाहरण के लिए,

एक्स 2 – 3 एक्स + 2 = 0; एक्स 1 = 2 और एक्स 2 = 1, क्योंकि क्यू = 2 0 और पी = - 3

एक्स 2 + 8 एक्स + 7 = 0; एक्स 1 = - 7 और एक्स 2 = - 1, क्योंकि क्यू = 7 0 और पी= 8 0.

ख) यदि कोई स्वतंत्र सदस्य है क्यूघटे हुए समीकरण का (1) ऋणात्मक है ( क्यू), तो समीकरण में अलग-अलग चिह्न की दो जड़ें हैं, और निरपेक्ष मान में बड़ी जड़ सकारात्मक होगी यदि पी, या नकारात्मक यदि पी 0 .

उदाहरण के लिए,

एक्स 2 + 4 एक्स – 5 = 0; एक्स 1 = - 5 और एक्स 2 = 1, क्योंकि क्यू=-5 और पी = 4 0;

एक्स 2 – 8 एक्स – 9 = 0; एक्स 1 = 9 और एक्स 2 = - 1, क्योंकि क्यू=-9 और पी = - 8

5. विधि: "स्थानांतरण" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

द्विघात समीकरण पर विचार करें

ओह 2 + बीएक्स + सी = 0,कहाँ ए ≠ 0.

इसके दोनों भागों को a से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

ए 2 एक्स 2 + एबीएक्स + एसी = 0.

होने देना आह = य, कहाँ एक्स = वाई/ए; फिर हम समीकरण पर आते हैं

पर 2 + द्वारा+ एसी = 0,

इस के बराबर. इसकी जड़ें पर 1 और पर 2 को विएटा के प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है।

अंततः हम पाते हैं एक्स 1 =य 1 /एऔर एक्स 1 =य 2 /ए. इस विधि से गुणांक एमुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक" दिया जाता है, इसलिए इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि. इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ें ढूंढना आसान होता है और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 2x 2 – 11x + 15 = 0.

पर 2 – 11y + 30 = 0.

विएटा के प्रमेय के अनुसार

पर1 = 5 एक्स 1 = 5/2 एक्स 1 = 2,5

पर 2 = 6 एक्स 2 = 6/2 एक्स 2 = 3.

उत्तर: 2.5; 3.

6. विधि: द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण.

एक। चलो द्विघात समीकरण ओह 2 + बीएक्स + सी = 0,कहाँ ए ≠ 0.

1) यदि, ए+बी+ c = 0 (अर्थात् गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 = 1,

एक्स 2 = एस/ए.

एक्स 2 + बी/ ए एक्स + सी/ ए = 0.

विएटा के प्रमेय के अनुसार

एक्स 1 + एक्स 2 = - बी/ ए,

एक्स 1 एक्स 2 = 1 सी/ ए.

शर्त से ए -बी+ सी = 0,कहाँ बी= ए + सी.इस प्रकार,

एक्स 1 + एक्स 2 = - ए +बी/ ए= -1 – सी/ ए,

एक्स 1 एक्स 2 = - 1 (- सी/ ए),

वे। एक्स 1 = -1 और एक्स 2 = सी/ ए, जिसे हमें साबित करना था।

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 345x 2 - 137x - 208 = 0.

समाधान।क्योंकि एक +बी+ सी = 0 (345 - 137 - 208 = 0),वह

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = सी/ ए = -208/345.

उत्तर 1; -208/345.

2) समीकरण हल करें 132x 2 – 247x + 115 = 0.

समाधान।क्योंकि एक +बी+ सी = 0 (132 - 247 + 115 = 0),वह

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = सी/ ए = 115/132.

उत्तर 1; 115/132.

बी। यदि दूसरा गुणांक बी = 2 क एक सम संख्या है, तो मूलों का सूत्र

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 3x2 - 14x + 16 = 0.

समाधान. अपने पास: ए = 3,बी= - 14, सी = 16,क = - 7 ;

डी = क 2 – एसी = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, डी 0, दो अलग-अलग जड़ें;

उत्तर: 2; 8/3

में। घटा हुआ समीकरण

एक्स 2 +px+क्यू= 0

रूप लेता है:

फॉर्मूला (3) का उपयोग तब विशेष रूप से सुविधाजनक होता है जब आर- सम संख्या।

उदाहरण।आइए समीकरण हल करें एक्स 2 – 14x – 15 = 0.

समाधान।अपने पास: एक्स 1,2 =7±

उत्तर: एक्स 1 = 15; एक्स 2 = -1.

7. विधि: द्विघात समीकरण का आलेखीय समाधान.

इ यदि समीकरण में

एक्स 2 + पिक्सल + क्यू = 0

दूसरे और तीसरे पद को दाईं ओर ले जाएँ, हमें मिलता है

एक्स 2 = - पिक्सल - क्यू.

आइए निर्भरता ग्राफ y \u003d x 2 और y \u003d - px - q बनाएं।

सीधी रेखा (चित्र 1)। निम्नलिखित मामले संभव हैं:

एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं,

प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज द्विघात समीकरण की जड़ें हैं;

उदाहरण।

1) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें एक्स 2 - 3x - 4 = 0(अंक 2)।

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स 2 = 3x + 4.

आइए एक परवलय बनाएं वाई = एक्स 2 और प्रत्यक्ष y = 3x + 4. प्रत्यक्ष

y = 3x + 4दो बिंदुओं से बनाया जा सकता है एम (0; 4)और

एन (3; 13) . एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं

एऔर मेंएब्सिस्सा के साथ एक्स 1 = - 1 और एक्स 2 = 4 . उत्तर : एक्स 1 = - 1;

एक्स 2 = 4.

2) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें (चित्र 3) एक्स 2 - 2x + 1 = 0.

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स 2 = 2x - 1.

आइए एक परवलय बनाएं वाई = एक्स 2 और प्रत्यक्ष y = 2x - 1.

प्रत्यक्ष y = 2x - 1दो बिंदुओं पर निर्माण करें एम (0; - 1)

और एन(1/2; 0) . रेखा और परवलय एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं एसाथ

सूच्याकार आकृति का भुज एक्स = 1. उत्तर: एक्स = 1.

3) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें एक्स 2 - 2x + 5 = 0(चित्र 4)।

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स 2 = 5x - 5. आइए एक परवलय बनाएं वाई = एक्स 2 और प्रत्यक्ष y = 2x - 5. प्रत्यक्ष y = 2x - 5दो बिंदुओं M(0; - 5) और N(2.5; 0) से निर्माण करें। सीधी रेखा और परवलय का कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है, अर्थात। इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है.

उत्तर।समीकरण एक्स 2 - 2x + 5 = 0कोई जड़ नहीं है.

8. विधि: कम्पास के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना और

शासकों

मैं द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि प्रस्तावित करता हूँ ओह 2 + बीएक्स + सी = 0कम्पास और रूलर का उपयोग करना (चित्र 5)।

आइए मान लें कि वांछित वृत्त अक्ष को प्रतिच्छेद करता है

भुजाओं को अंकों में बी(एक्स 1 ; 0) और डी(एक्स 2 ; 0), कहाँ एक्स 1 और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें ओह 2 + बीएक्स + सी = 0, और बिंदुओं से होकर गुजरता है

ए(0; 1)और सी(0;सी/ ए) y-अक्ष पर. फिर, सेकेंट प्रमेय द्वारा, हमारे पास है ओबी आयुध डिपो = ओए ओसी, कहाँ ओसी = ओबी आयुध डिपो/ ओए= एक्स 1 एक्स 2 / 1 = सी/ ए.

1) बिंदु (वृत्त का केंद्र) बनाएं और ए(0; 1) ;

2) त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं एसए;

इस मामले में, तीन मामले संभव हैं।

1) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से अधिक है (जैसा एसके, याआर ए + सी/2 ए) वृत्त x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है (चित्र 6,a) बी(एक्स 1 ; 0) और डी(एक्स 2 ; 0) , कहाँ एक्स 1 और एक्स 2 - द्विघात समीकरण की जड़ें ओह 2 + बीएक्स + सी = 0.

2) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि के बराबर होती है (जैसा = एसबी, याआर = ए + सी/2 ए) , वृत्त ऑक्स अक्ष को बिंदु पर स्पर्श करता है (चित्र 6,बी)। बी(एक्स 1 ; 0) , जहां x 1 द्विघात समीकरण का मूल है।

3) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से कम है

वृत्त में भुज अक्ष के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है (चित्र 6, सी), इस स्थिति में समीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें एक्स 2 - 2x - 3 = 0(चित्र 7)।

आइए त्रिज्या SA का एक वृत्त बनाएं, जहां A (0; 1)।

उत्तर: एक्स 1 = - 1; एक्स 2 = 3.

9. विधि: द्विघात समीकरणों को हल करना

नामांकित.

यह द्विघात समीकरणों को हल करने का एक पुराना और अवांछनीय रूप से भुला दिया गया तरीका है,

पृष्ठ 83 पर रखा गया है (ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणितीय तालिकाएँ देखें। - एम., एनलाइटनमेंट, 1990)।

तालिका XXII. समीकरण हल करने के लिए नामोग्राम जेड 2 + पी.जे + क्यू = 0 . यह नॉमोग्राम, द्विघात समीकरण को हल किए बिना, उसके गुणांक के अनुसार अनुमति देता है

समीकरण की जड़ें खोजें.

नॉमोग्राम का वक्ररेखीय पैमाना बनाया गया है

सूत्रों के अनुसार (चित्र 11):

यह मानते हुए ओएस = पी,ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), से

त्रिकोण समानताएँ सैनऔर सीडीएफहम पाते हैं

अनुपात

जहां से, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण इस प्रकार आता है

जेड 2 + पी.जे + क्यू = 0,

और पत्र जेडइसका अर्थ है घुमावदार पैमाने पर किसी बिंदु का लेबल।

उदाहरण।

1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9 जेड + 8 = 0 नॉमोग्राम जड़ें देता है जेड 1 = 8,0 और जेड 2 = 1,0 (चित्र 12)।

2) आइए नॉमोग्राम का उपयोग करके समीकरण को हल करें

2 जेड 2 - 9 जेड + 2 = 0.

इस समीकरण के गुणांकों को 2 से विभाजित करें,

हमें समीकरण मिलता है

जेड 2 - 4,5 जेड + 1 = 0.

नोमोग्राम जड़ें देता है जेड 1 = 4 और जेड 2 = 0,5.

3) समीकरण के लिए

जेड 2 - 25 जेड + 66 = 0

गुणांक पी और क्यू पैमाने से बाहर हैं, हम प्रतिस्थापन करेंगे जेड = 5 टी,

हमें समीकरण मिलता है

टी 2 - 5 टी + 2,64 = 0,

जिसे हम नॉमोग्राम के माध्यम से हल करते हैं और प्राप्त करते हैं टी 1 = 0,6 और टी 2 = 4,4, कहाँ जेड 1 = 5 टी 1 = 3,0 और जेड 2 = 5 टी 2 = 22,0.

10. विधि: वर्ग को हल करने का ज्यामितीय तरीका

समीकरण.

उदाहरण।

1) समीकरण हल करें एक्स 2 + 10x = 39.

वर्ग एस वर्ग ए बी सी डीक्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: मूल वर्ग एक्स 2 , चार आयत (4 2.5x = 10x)और चार संलग्न वर्ग (6,25 4 = 25) , अर्थात। एस = एक्स 2 + 10x + 25.की जगह

एक्स 2 + 10xसंख्या 39 , हमें वह मिल गया एस = 39 + 25 = 64 , जहां से यह वर्ग की भुजा का अनुसरण करता है ए बी सी डी, अर्थात। रेखा खंड एबी = 8. इच्छित पक्ष के लिए एक्समूल वर्ग हमें मिलता है

2) लेकिन, उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानियों ने समीकरण को कैसे हल किया पर 2 + 6y - 16 = 0.

समाधानअंजीर में दिखाया गया है। 16, कहाँ

पर 2 + 6y = 16, या y 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

समाधान।अभिव्यक्ति पर 2 + 6य + 9और 16 + 9 ज्यामितीय रूप से निरूपित करें

वही वर्ग, और मूल समीकरण पर 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0वही समीकरण है. वह हमें कहां से मिलता है y + 3 = ± 5,या पर 1 = 2, य 2 = - 8 (चित्र 16)।

3) ज्यामितीय समीकरण हल करें पर 2 - 6y - 16 = 0.

समीकरण को बदलने पर, हम पाते हैं

पर 2 - 6y = 16.

अंजीर पर. 17 अभिव्यक्ति की "छवियाँ" खोजें पर 2 - 6यू,वे। y भुजा वाले एक वर्ग के क्षेत्रफल से बराबर भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल का दोगुना घटाएँ 3 . तो, यदि अभिव्यक्ति पर 2 - 6 वर्षजोड़ना 9 , तो हमें एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल प्राप्त होता है य - 3. अभिव्यक्ति का प्रतिस्थापन पर 2 - 6 वर्षइसकी समान संख्या 16 है,

हम पाते हैं: (य-3) 2 = 16 + 9, वे। y - 3 = ± √25, या y - 3 = ± 5, जहाँ पर 1 = 8 और पर 2 = - 2.

निष्कर्ष

यहां हमने द्विघात समीकरणों को हल करने के सवाल पर फैसला किया, लेकिन क्या होगा यदि उन्हें हल करने के अन्य तरीके हों?! फिर से, सुंदर पैटर्न, कुछ तथ्य, स्पष्टीकरण ढूंढें, सामान्यीकरण करें, सब कुछ नया और नया खोजें। लेकिन ये भविष्य के कार्यों के लिए प्रश्न हैं।

चूँकि द्विघात समीकरणों को हल करने की इन विधियों का उपयोग करना आसान है, इसलिए ये निश्चित रूप से उन छात्रों के लिए रुचिकर होनी चाहिए जो गणित में रुचि रखते हैं। हमारा काम उन समस्याओं पर एक अलग नज़र डालना संभव बनाता है जो गणित हमारे सामने रखता है।

साहित्य:

1. अलीमोव एस.ए., इलिन वी.ए.और अन्य. बीजगणित, 6-8. 6-8 ग्रेड हाई स्कूल के लिए परीक्षण पाठ्यपुस्तक। - एम., शिक्षा, 1981।

2. ब्रैडिस वी.एम.हाई स्कूल के लिए चार अंकों की गणित तालिकाएँ।

ईडी। 57वां. - एम., शिक्षा, 1990. एस. 83.

3. क्रुज़ेपोव ए.के., रुबानोव ए.टी.बीजगणित और प्रारंभिक कार्यों पर समस्या पुस्तक। माध्यमिक विशिष्ट शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम., हायर स्कूल, 1969।

4. ओकुनेव ए.के.द्विघात फलन, समीकरण और असमानताएँ। शिक्षक के लिए एक मार्गदर्शिका. - एम., शिक्षा, 1972।

5. प्रेसमैन ए.ए.कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ द्विघात समीकरण को हल करना। - एम., क्वांट, संख्या 4/72। एस 34.

6. सोलोमनिक वी.एस., मिलोव पी.आई.गणित में प्रश्नों और कार्यों का संग्रह। ईडी। - चौथा, जोड़ें. - एम., हायर स्कूल, 1973।

7. ख़ुदोबिन ए.आई.बीजगणित और प्रारंभिक कार्यों में समस्याओं का संग्रह। शिक्षक के लिए एक मार्गदर्शिका. ईडी। दूसरा. - एम., शिक्षा, 1970।

मार्गदर्शन के लिए आवेदन

अनुसंधान कार्य

पर्यवेक्षक: प्रिखोडको यूरी व्लादिमीरोविच (गणित शिक्षक)

सुझाया गया विषय: "द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके"

सलाहकार:

प्रिखोडको यूरी व्लादिमीरोविच (गणित शिक्षक);

एरोशेनकोव दिमित्री अलेक्जेंड्रोविच (कंप्यूटर विज्ञान के शिक्षक)

ज्ञान का शैक्षिक क्षेत्र, शैक्षिक विषय जिसके अंतर्गत परियोजना पर कार्य किया जाता है अंक शास्त्र

परियोजना के विषय के करीब शैक्षणिक विषय: अंक शास्त्र

अध्ययन की कक्षा: श्रेणी 9

अनुसंधान समूह की संरचना: कुरसिन दिमित्री, पावलिकोव दिमित्री

छात्र की प्रमुख गतिविधि पर प्रोजेक्ट का प्रकार: द्विघात समीकरणों को हल करने के तर्कसंगत तरीकों का अध्ययन

अवधि के अनुसार परियोजना का प्रकार: दीर्घकालिक

शिक्षा का प्रकार: वैकल्पिक पाठ्यक्रम

आवश्यक उपकरण: द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार से संबंधित लोकप्रिय विज्ञान साहित्य

परियोजना का इच्छित उत्पाद: द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए तर्कसंगत तरीकों के उपयोग पर शैक्षिक और पद्धति संबंधी सामग्री का निर्माण

कोपयेव्स्काया ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

प्रमुख: पैट्रीकीवा गैलिना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक

एस.कोपयेवो, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-ख्वारिज्मी में द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप XIII - XVII सदियों में द्विघात समीकरण

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

उदाहरण के लिए, यहाँ उनके कार्यों में से एक है।

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

वाई(20 - वाई) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

आह 2+बीएक्स = सी, ए > 0. (1)

कार्य 13.

"बंदरों का एक डरावना झुंड और बेलों में बारह ...

बिजली खा कर मौज कर ली. वे कूदने लगे, लटकने लगे...

भाग आठ उनमें से एक वर्ग में कितने बंदर थे,

घास के मैदान में मज़ा आ रहा है. तुम बताओ, इस झुंड में?

समस्या 13 से संबंधित समीकरण है:

(एक्स/8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर इसकी आड़ में लिखते हैं:

x 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, वह दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , फिर प्राप्त करना:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(एक्स - 32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 अल-खोरज़मी में द्विघात समीकरण

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी =बीएक्स।

2) "वर्ग संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात्। कुल्हाड़ी 2 = एस.

3) "मूल संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात। आह = एस.

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं", अर्थात्। कुल्हाड़ी 2 + सी =बीएक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह 2+बीएक्स= एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात्।बीएक्स+ सी = कुल्हाड़ी 2।

कार्य 14.“वर्ग और संख्या 21, 10 मूलों के बराबर हैं। जड़ खोजें" (समीकरण x 2 + 21 = 10x का मूल मानते हुए)।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरणतेरहवें - XVIIसदियों

यूरोप में अल-खोरेज़मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र पहली बार इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा 1202 में लिखी गई "बुक ऑफ द अबेकस" में दिए गए थे। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम और प्राचीन ग्रीस दोनों देशों में गणित के प्रभाव को दर्शाता है, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों द्वारा प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। अबेकस की पुस्तक की कई समस्याएं 16वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में शामिल हो गईं। और आंशिक रूप से XVIII.

द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने का सामान्य नियम:

एक्स 2+बीएक्स= साथ,

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और उसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला प्रमेय, जिसका नाम विएटा है, 1591 में पहली बार उनके द्वारा इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी + डीसे गुणा ए - ए 2 , बराबर है बी.डी, वह एके बराबर होती है मेंऔर बराबर डी».

(ए+बी)एक्स - एक्स 2 =अब,

एक्स 2 - (ए +बी)एक्स + एबी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 =बी.

समीकरणों के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध को प्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक स्वरूप से बहुत दूर है। वह ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी मूल सकारात्मक हैं।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" ऊंचाई = "952"> एमओयू "सर्गिएव्स्काया सेकेंडरी स्कूल"

द्वारा पूरा किया गया: सिज़िकोव स्टानिस्लाव

अध्यापक:

साथ। सर्गिएव्का, 2007

1 परिचय। प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण……………….3

2. डायफैंट में द्विघात समीकरण…………………………………….4

3. भारत में द्विघात समीकरण ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………

4. अल-खोरज़मी में द्विघात समीकरण …………………………………..6

5. यूरोप में द्विघात समीकरण XIII - XYII…………………………7

6. विएटा प्रमेय के बारे में ……………………………………………………..9

7. द्विघात समीकरणों को हल करने के दस तरीके……………………..10

8. निष्कर्ष ……………………………………………………20

9. सन्दर्भ ………………………………………………21

परिचय

द्विघातीय समीकरण

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय समीकरणों को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हम सभी कक्षा 8 से प्रारंभ करके द्विघात समीकरणों को हल करना जानते हैं। लेकिन द्विघात समीकरणों को हल करने का इतिहास कैसे उत्पन्न और विकसित हुआ?

प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, प्राचीन काल में, भूमि के क्षेत्रों को खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी; सैन्य प्रकृति के भूकंप, साथ ही खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ। द्विघात समीकरण लगभग 2000 ईसा पूर्व हल करने में सक्षम थे। इ। बेबीलोनियन। आधुनिक बीजगणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में, अपूर्ण के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण हैं: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width=”16” ऊंचाई=”41 src=”>)2 + 12 = x; भास्कर आड़ में लिखते हैं

x2- 64एक्स = - 768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को वर्ग में पूरा करने के लिए, वह दोनों पक्षों में 322 जोड़ता है, फिर प्राप्त करता है: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(एक्स- 32)2 = 256; एक्स - 32 = ± 16, xt = 16, एचजी= 48.

अल-खोरेज़मी में द्विघात समीकरण

अल-ख्वारिज्मी का बीजगणितीय ग्रंथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण देता है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। ax2 = में.

2) "वर्ग संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात्। आह2= साथ।

3) "मूल संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात। आह = एस.

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं", अर्थात्। आह2+ सी = में.

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात्। आह2+ में = एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात्। में+ सी \u003d ax2.अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो नकारात्मक संख्याओं के उपयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण के पद जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक ने इन समीकरणों को हल करने के तरीके बताए हैं। निःसंदेह, उनका निर्णय हमारे निर्णय से पूरी तरह मेल नहीं खाता। इस तथ्य का उल्लेख न करते हुए कि यह विशुद्ध रूप से आलंकारिक है, उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी, 17वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य को ध्यान में नहीं रखता है समाधान, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक कार्यों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों और फिर उनके ज्यामितीय प्रमाणों का उपयोग करके उन्हें हल करने के लिए नियम निर्धारित करते हैं।

चलिए एक उदाहरण लेते हैं.

समस्या 14. “वर्ग और संख्या 21, 10 मूलों के बराबर हैं। मूल खोजें "(अर्थात् समीकरण का मूल x2+ 21 = 10एक्स)।

अल-ख्वारिज्मी का ग्रंथ वह पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जिसमें द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत किया गया है और उनके समाधान के सूत्र दिए गए हैं।

यूरोप में द्विघात समीकरणतेरहवें- XVIIसदियों

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले अबेकस की पुस्तक (पिछली शताब्दी के मध्य में रोम में प्रकाशित, अबेकस की फाइबोनैचि पुस्तक में 459 पृष्ठ हैं) में लिखे गए थे। 1202 इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फाइबोनैचि द्वारा। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम और प्राचीन ग्रीस दोनों देशों के गणित के प्रभाव को दर्शाता है, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों द्वारा प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और पहला वीयूरोप ने ऋणात्मक संख्याओं की शुरूआत की। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। अबेकस की पुस्तक के कई कार्य 16वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में पारित हो गए। और आंशिक रूप से XVIII.

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य नियम को एकल विहित रूप में घटा दिया गया है x2+ में = एस,गुणांकों के चिह्नों के सभी संभावित संयोजनों के लिए इसके साथ मेंयूरोप में केवल 1544 में तैयार किया गया था। एम. स्टिफ़ेल.

विएटा के पास द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन विएटा ने केवल सकारात्मक जड़ों को ही मान्यता दी है। इटालियन गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डाको, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी के पहले गणितज्ञों में से थे। सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों के अलावा, ध्यान में रखें। केवल XVII सदी में. गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि आधुनिक रूप लेती है।

विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और उसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला प्रमेय, जिसका नाम विएटा है, 1591 में पहली बार उनके द्वारा इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि में+ डी, से गुणा एऋण ए2,के बराबर होती है बी.डी, वह एके बराबर होती है मेंऔर बराबर डी».

विएटा को समझने के लिए उसे याद रखना होगा ए,किसी तरह
स्वर, उसके लिए अज्ञात (हमारा) का मतलब है एक्स),स्वर वर्ण
में,डी- अज्ञात के लिए गुणांक. आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विएटा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है: यदि

(ए+ ग) एक्स - एक्स 2 = अब, x2 - (ए+ बी) एक्स + अब = 0, X1 = ए, x2 = बी.

समीकरणों के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध को प्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक स्वरूप से बहुत दूर है। वह ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी मूल सकारात्मक हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के दस तरीके

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में द्विघात समीकरणों के मूलों के सूत्रों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी सहायता से आप किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। हालाँकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके भी हैं जो आपको कई समीकरणों को बहुत जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की अनुमति देते हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के दस तरीके हैं। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।

1. समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंडन

आइए समीकरण हल करें x2+ 10एक्स- 24 = 0. आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

एक्स(एक्स + एक्स + 12) = (एक्स + 12)(एक्स - 2)।

इसलिए, समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

(एक्स + 12)(x - 2) = 0.

चूँकि उत्पाद शून्य है, इसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य है। इसलिए, जब समीकरण का बायां भाग गायब हो जाता है एक्स = 2, साथ ही एक्स= - 12. इसका मतलब है कि संख्याएँ 2 और - 12 समीकरण x2 + 10x - 24 = 0 के मूल हैं।

2. पूर्ण वर्ग चयन विधि

आइए इस विधि को एक उदाहरण से समझाते हैं।

आइए समीकरण x2 + 6x - 7 = 0 को हल करें। बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग चुनें। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति x2 + 6x को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को बदलते हैं

x2 + 6x - 7 = 0,

इसमें जोड़ने और घटाने पर 32. हमें प्राप्त होता है:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 एक्स 3 +– 7 = (एक्स- = (एक्स - जेड) 2 - 16 .

इस प्रकार, इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(x + = 0, यानी (x + 3)2 = 16.

इस तरह, एक्स+ 3 = 4 x1 = 1, या x + 3 = - 4, x2 = - 7।

3. द्विघात समीकरणों का सूत्र द्वारा समाधान

समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें

आह2+ में+ सी = 0, एक ≠ 0, पर 4 एऔर क्रमिक रूप से हमारे पास है:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + बी2 ) - बी2 + 4ac= 0,

(2ax+बी)2 = इन2- 4एसी,

2ax+ बी= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif' width='71' ऊंचाई='27'>, x1,2 =

एक सकारात्मक विवेचक के मामले में, यानी, के साथ v2 - 4ac > 0, समीकरण आह2+ इन + एस= 0 के दो अलग-अलग मूल हैं।

यदि विवेचक शून्य है, अर्थात v2 - 4ac = 0, तो समीकरण आह2+ में+ साथ= 0 का एक ही मूल है, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width='14' ऊँचाई='62'> इसकी जड़ें Vieta प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, जो, कब ए= 1 का रूप है

x1 x2 = क्यू,

x1 + x2 = - आर।

इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं (गुणांकों द्वारा)। आरऔर क्यूमूल संकेतों की भविष्यवाणी की जा सकती है)।

क) यदि कोई स्वतंत्र सदस्य है क्यूघटा हुआ समीकरण (1)
सकारात्मक (क्यू> 0), तो समीकरण में दो समान हैं
मूल के चिह्न से और यह दूसरे गुणांक पर निर्भर करता है आर
अगर आर> 0, तो दोनों मूल ऋणात्मक हैं यदि आर< 0, फिर दोनों
जड़ें सकारात्मक हैं.

उदाहरण के लिए,

x2- 3एक्स + 2 = 0; x1= 2 और x2 = 1, चूँकि क्यू = 2 > 0 यू पी = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 और x2 = - 1, चूँकि क्यू= 7 > 0 और आर = 8 > 0.

ख) यदि कोई स्वतंत्र सदस्य है क्यूघटा हुआ समीकरण (1)
नकारात्मक (क्यू < 0), तो समीकरण में अलग-अलग चिह्न की दो जड़ें हैं, और निरपेक्ष मान में बड़ी जड़ सकारात्मक होगी यदि आर< 0, या नकारात्मक यदि पी > 0.

उदाहरण के लिए,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 = - 5 और x2 = 1, चूँकि क्यू = - 5 < 0 и आर= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 और x2=-1 क्योंकि क्यू = - 9 < и आर= - 8 < 0.

5. "स्थानांतरण" विधि द्वारा समीकरणों का समाधान

द्विघात समीकरण पर विचार करें ax2 + में+ सी = 0, कहाँ एक ≠ 0. इसके दोनों भागों को इससे गुणा करना ए,हमें समीकरण मिलता है a2x2 +abx+ इक्का= 0.

होने देना आह = यकहाँ एक्स=; फिर हम समीकरण पर आते हैं

y2+ द्वारा+ एसी = 0,

इस के बराबर. इसकी जड़ें y1और y2विएटा के प्रमेय की सहायता से खोजें। अंततः हम पाते हैं x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif' width='24' ऊंचाई='43'>.

इस विधि से गुणांक एमुक्त पद से गुणा किया जाता है, मानो इसे "फेंक" दिया गया हो, इसीलिए इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि.इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ें ढूंढना आसान होता है और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

1. समीकरण 2x2 - 11x + 15 = 0 को हल करें।

y2 - 11 पर+ 30 = 0.

विएटा प्रमेय के अनुसार, y1 = 5, y2 = 6, इसलिए x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width=”16 ऊंचाई=41” ऊंचाई=”41” >, टी ई.

x1 = 2.5 x2 = 3.

उत्तर: 2,5; 3.

6. वर्ग के गुणांकों के गुणसमीकरण

A. मान लीजिए कि एक द्विघात समीकरण दिया गया है

ax2 + in + c= 0, कहाँ ए ≠ 0.

1. यदि एक + में + के साथ= 0 (अर्थात, समीकरण के गुणांकों का योग शून्य के बराबर है), तो x1 = 1, x2 = .

2. यदि ए - बी + सी= 0, याबी = ए + सी, तो x1 = - 1, एक्स 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width=”44 ऊंचाई=41″ ऊंचाई=”41”>.

उत्तर: 1; 184">

निम्नलिखित मामले संभव हैं:

एक सीधी रेखा और एक परवलय (केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु) को छू सकते हैं, अर्थात समीकरण का एक ही हल है;

सीधी रेखा और परवलय में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते, अर्थात द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं होता।

उदाहरण।

1. आइए समीकरण x2 - 3x - 4 = 0 को आलेखीय रूप से हल करें (चित्र 2)।

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं x2 = 3x + 4.

आइए एक परवलय बनाएं y = x2और प्रत्यक्ष आप= 3x + 4. प्रत्यक्ष पर= 3x + 4 का निर्माण दो बिंदुओं M(0; 4) और N(3; 13) से किया जा सकता है। एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं क से खएब्सिस्सा के साथ x1= - 1 और x2 = 4.

उत्तर: X1= - 1, एक्स, = 4.

8. कम्पास और स्ट्रेटएज के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना

हम द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि प्रस्तावित करते हैं

आह2+ में+ साथ= 0

कम्पास और रूलर का उपयोग करना (चित्र)।

आइए मान लें कि वांछित वृत्त भुज अक्ष को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है बी(x1; 0) और डी(एक्स2 ; 0), कहाँ x1और x2- समीकरण की जड़ें ax2 + में+साथ=0,
और y-अक्ष पर बिंदु A(0; 1) और C(0; ) से होकर गुजरती है..gif" width="197" ऊंचाई="123">

तो: 1) बिंदु बनाएं https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width='171' ऊंचाई=45'> वृत्त OX अक्ष को बिंदु B(x1;0) पर प्रतिच्छेद करता है ), और डी(x1 ; 0), जहां X1 और x2 - द्विघात समीकरण ax2+bx+c की जड़ें = 0.

2) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि के बराबर होती है , वृत्त x-अक्ष को बिंदु B(x1; 0) पर स्पर्श करता है, जहाँ xxद्विघात समीकरण का मूल है.

3) वृत्त की त्रिज्या बाईं ओर केंद्र की कोटि से कम है">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width=”612” ऊंचाई=”372”>40” ऊंचाई=”14”>

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width=”612” ऊंचाई=”432 src=”>

प्रतिस्थापन के बाद कहां से और

सरलीकरण, समीकरण z2+pz+q=0 अनुसरण करता है, और अक्षर z का अर्थ वक्ररेखीय पैमाने के किसी भी बिंदु का लेबल है।

10. द्विघात समीकरणों को हल करने की ज्यामितीय विधि

प्राचीन काल में, जब ज्यामिति बीजगणित से अधिक विकसित थी, तब द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से नहीं, बल्कि ज्यामितीय रूप से हल किया जाता था। आइये एक उदाहरण देते हैं जो अल-ख्वारिज्मी द्वारा बीजगणित से प्रसिद्ध हुआ है।

और चार संलग्न वर्ग यानी S=x2+10x+25. x2+10x को 39 से प्रतिस्थापित करने पर, हमें S = 39 + 25 = 64 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि वर्ग की भुजा ए बी सी डी, यानी खंड अब= 8. वांछित पक्ष के लिए एक्समूल वर्ग हमें मिलता है

निष्कर्ष

स्कूल से लेकर ग्रेजुएशन तक हम सभी जानते हैं कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। लेकिन गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में द्विघात समीकरणों के मूलों के सूत्रों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी सहायता से किसी भी द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है। हालाँकि, इस मुद्दे का अधिक गहराई से अध्ययन करने के बाद, मुझे विश्वास हो गया कि द्विघात समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके भी हैं जो आपको कई समीकरणों को बहुत जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की अनुमति देते हैं।

हो सकता है कि गणित कहीं अन्य आयामों में हो, आंखों से दिखाई न दे - सब कुछ लिखा हुआ है और हमें दुनिया के छेद से सभी नए तथ्य मिलते हैं? ... ईश्वर जानता है; लेकिन यह पता चला है कि यदि भौतिकविदों, रसायनज्ञों, अर्थशास्त्रियों या पुरातत्वविदों को दुनिया की संरचना के एक नए मॉडल की आवश्यकता है, तो इस मॉडल को हमेशा उस शेल्फ से लिया जा सकता है जहां गणितज्ञों ने इसे तीन सौ साल पहले रखा था, या उसी पर पड़े हिस्सों से इकट्ठा किया जा सकता है। दराज। शायद इन हिस्सों को मोड़ना होगा, एक-दूसरे के साथ समायोजित करना होगा, पॉलिश करना होगा, जल्दी से कुछ नई प्रमेय झाड़ियों को मशीनीकृत करना होगा; लेकिन परिणाम का सिद्धांत न केवल उत्पन्न हुई वास्तविक स्थिति का वर्णन करेगा, बल्कि परिणामों की भविष्यवाणी भी करेगा! ...

अजीब बात है ये दिमाग का खेल, जो हमेशा सही होता है...

साहित्य

1. अलीमोव एसएचए., इलिन वीए। और अन्य. बीजगणित, 6-8. हाई स्कूल की 6-8वीं कक्षा के लिए परीक्षण पाठ्यपुस्तक। - एम., शिक्षा, 1981।

2. हाई स्कूल के लिए ब्रैडिस गणित टेबल। ईडी। 57वां. - एम., शिक्षा, 1990. एस. 83.

3. ज़्लॉट्स्की - गणित पढ़ाने में कार्य। शिक्षक के लिए किताब. - एम., शिक्षा, 1992।

4.एम., गणित (समाचार पत्र "फर्स्ट ऑफ सितंबर" का पूरक), संख्या 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98।

5. ओकुनेव कार्य, समीकरण और असमानताएँ। शिक्षक के लिए एक मार्गदर्शिका. - एम., शिक्षा, 1972।

6. सोलोमनिक बी.सी., गणित में मीठे प्रश्न और समस्याएं। ईडी। चौथा, जोड़ें. - एम., हायर स्कूल, 1973।

7.एम., गणित (समाचार पत्र "फर्स्ट सितंबर" का पूरक), संख्या 40, 2000।

समीक्षा

एमओयू "सर्गिएव्स्काया सेकेंडरी" के 11वीं कक्षा के एक छात्र के काम के लिए

समावेशी स्कूल"

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पाठ्यक्रम के उद्देश्य: द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए नए तरीकों से परिचित होना, "चतुर्भुज समीकरण" विषय पर ज्ञान को गहरा करना, गणितीय, बौद्धिक क्षमताओं, अनुसंधान कौशल का विकास, व्यक्ति के आत्म-साक्षात्कार के लिए परिस्थितियाँ बनाना।

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पाठ्यक्रम के उद्देश्य: छात्रों को द्विघात समीकरणों को हल करने के नए तरीकों से परिचित कराना, ज्ञात तरीकों का उपयोग करके समीकरणों को हल करने की क्षमता को सुदृढ़ करना, ऐसे प्रमेयों का परिचय देना जो गैर-मानक तरीकों से समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं, सामान्य शैक्षिक कौशल, गणितीय संस्कृति के गठन को जारी रखना, गठन को बढ़ावा देना अनुसंधान गतिविधियों में रुचि छात्रों के लिए गणित विषय में रुचि को समझने और विकसित करने के लिए परिस्थितियाँ बनाना छात्रों को प्रोफ़ाइल दिशा के सही विकल्प के लिए तैयार करना

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कार्यक्रम की सामग्री विषय 1. परिचय. 1 घंटा। द्विघात समीकरण की परिभाषा. पूर्ण एवं अपूर्ण वर्ग समीकरण. उनके समाधान के उपाय. प्रश्न करना. विषय 2. वर्ग का समाधान. समीकरण. फैक्टरिंग विधि पूर्ण वर्ग चयन विधि समाधान वर्ग। सूत्रों द्वारा समीकरण समाधान वर्ग। स्थानांतरण विधि द्वारा समीकरण समाधान वर्ग। टी. विएटा समाधान वर्ग का उपयोग करते हुए समीकरण। गुणांक समाधान वर्ग का उपयोग कर समीकरण। ग्राफिकल तरीके से समीकरणों का समाधान वर्ग। कम्पास और शासक का उपयोग करके समीकरण समाधान वर्ग। ज्यामितीय तरीके से समीकरण समाधान वर्ग। "नोमोग्राम" का उपयोग करते हुए समीकरण

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थोड़ा सा इतिहास... द्विघात समीकरण वह नींव है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और पारलौकिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण। भारत में द्विघात समीकरण. अल-खोरज़मी में द्विघात समीकरण। यूरोप XIII - XVII सदियों में द्विघात समीकरण।

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प्रसिद्ध फ्रांसीसी वैज्ञानिक फ्रेंकोइस वियत (1540-1603) पेशे से वकील थे। उन्होंने अपना खाली समय खगोल विज्ञान को समर्पित किया। खगोल विज्ञान कक्षाओं के लिए त्रिकोणमिति और बीजगणित का ज्ञान आवश्यक था। वियत ने इन विज्ञानों को अपनाया और जल्द ही इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि उनमें सुधार करना आवश्यक था, जिस पर उन्होंने कई वर्षों तक काम किया। उनके काम के लिए धन्यवाद, बीजगणित शाब्दिक कलन पर आधारित बीजगणितीय समीकरणों का सामान्य विज्ञान बन गया है। अत: समीकरणों के गुणों तथा उनके मूलों को सामान्य सूत्रों द्वारा व्यक्त करना संभव हो गया।

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कार्य करते समय, निम्नलिखित पर ध्यान दिया गया: वे विधियाँ जिनका मैं उपयोग करूँगा: विएटा का प्रमेय गुणांकों के गुण "स्थानांतरण" विधि बाईं ओर के कारकों में गुणनखंडन ग्राफ़िकल विधि विधियाँ दिलचस्प हैं, लेकिन उनमें बहुत समय लगता है और हमेशा सुविधाजनक नहीं होते. ग्राफ़िकल विधि, नॉमोग्राम शासकों और परकार की सहायता से एक पूर्ण वर्ग का चयन मैं उन वैज्ञानिकों को नमन करता हूँ जिन्होंने इन विधियों की खोज की और विज्ञान को "द्विघात समीकरणों को हल करना" विषय में विकास के लिए प्रोत्साहन दिया।

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समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंडन आइए समीकरण x2 + 10x - 24=0 को हल करें। बाईं ओर का गुणनखंड: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2)। (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 या x - 2=0 x= -12 x= 2 उत्तर: x1= -12, x2 = 2. समीकरण हल करें: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

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पूर्ण वर्ग चयन विधि समीकरण को हल करें x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 या x-3=-4 x=1 x=-7 उत्तर: x1=1, x2=-7. समीकरण हल करें: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

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सूत्र के अनुसार द्विघात समीकरणों का समाधान मूल सूत्र: यदि b विषम है, तो D= b2-4ac और x 1.2=, (यदि D> 0) यदि b सम है, तो D1= और x1.2=, (यदि D >0) समीकरण हल करें: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

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स्थानांतरण विधि द्वारा समीकरणों का समाधान आइए समीकरण ax2 +bx+c=0 को हल करें। समीकरण के दोनों पक्षों को a से गुणा करने पर हमें a2 x2 +abx+ac=0 प्राप्त होता है। माना ax = y, जहाँ से x = y/a. फिर U2 +खरीद+ac=0. इसकी जड़ें y1 और y2 हैं। अंततः x1 = y1/a, x1 = y2/a. आइए समीकरण 2x2 -11x + 15=0 को हल करें। आइए गुणांक 2 को मुक्त पद पर स्थानांतरित करें: Y2 -11y+30=0। विएटा प्रमेय के अनुसार, y1 =5 और y2 =6. X1 = 5/2 और x2 = 6/2 x1 = 2.5 और x2 = 3 उत्तर: =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

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विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना आइए समीकरण x2 +10x-24=0 को हल करें। चूँकि x1 * x2 = -24 , x2 = -12। समीकरण हल करें: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

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द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण यदि a+b+c=0, तो x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 आइए समीकरण को हल करें 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, इसलिए x1 =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, इसलिए x1= - 1, x2 = -1/2 उत्तर: x1=1, x2 = -7. उत्तर: x1=-1, x2=-1/2. समीकरण हल करें: 5x2 - 7x +2 =0 समीकरण हल करें: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2=0 3x2 + 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

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